การนับจำนวนเส้นทางอย่างง่ายในกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทาง

18

ฉันจะกำหนดจำนวนเส้นทางง่ายๆที่ไม่ซ้ำกันภายในกราฟที่ไม่ได้ทำการบอกทิศทางได้อย่างไร อาจมีความยาวที่แน่นอนหรือมีความยาวที่ยอมรับได้

โปรดจำไว้ว่าเส้นทางที่เรียบง่ายเป็นเส้นทางที่ไม่มีรอบดังนั้นฉันกำลังพูดถึงการนับจำนวนของเส้นทางที่ไม่มีรอบ

graph-theory co.combinatorics counting-complexity

— ไรอัน
แหล่งที่มา

2

มีการถามเรื่องนี้ใน mathoverflow แล้ว: mathoverflow.net/questions/18603/…

— รายการ

5

ที่จริงแล้วคำถามที่ mathoverflow เกี่ยวกับการค้นหาเส้นทางทั้งหมดและไม่นับพวกเขา การค้นหาพวกเขาอาจเป็นเรื่องยากมาก

— DCTLib

1

นอกจากการอ้างอิงที่ให้ไว้ในคำตอบแล้วการสังเกตเพียงเล็กน้อยก็คือถ้าเราสามารถนับจำนวนเส้นทางที่มีความยาว

ก็สามารถตอบคำถามการมีอยู่ของเส้นทางแฮมิลตัน ดังนั้นน่าจะไม่ใช่ P.

n - 1

$n-1$

— Saeed

20

มีอัลกอริธึมหลายอย่างที่นับเส้นทางที่เรียบง่ายของความยาวในเวลาเวลาซึ่งดีกว่าทั้งแรงเดรัจฉาน ( ) ดูเช่นVassilevska และวิลเลียมส์ 2009 $k$ $f(k)n^{k/2+O(1)}$ $O(n^k)$

— Andreas Björklund
แหล่งที่มา

18

มัน # P-complete (Valiant, 1979) ดังนั้นคุณไม่น่าจะทำอะไรได้ดีไปกว่าการใช้กำลังดุร้ายถ้าคุณต้องการคำตอบที่แน่นอน การประมาณถูกกล่าวถึงโดย Roberts และ Kroese (2007)

B. โรเบิร์ตและ DP โครเซ่ " การประมาณจำนวนเส้นทาง - ในกราฟ $s$ $t$ " บันทึกประจำวันของอัลกอริทึมกราฟและการใช้งาน , 11 (1): 195-214, 2007

LG Valiant " ความซับซ้อนของปัญหาการแจงนับและความน่าเชื่อถือ " วารสารสยามคอมพิวเตอร์ 8 (3): 410-421, 1979

— David Richerby
แหล่งที่มา

4

กระดาษโรเบิร์ตและโครเซดูเหมือนจะไม่รับประกันการประมาณ มี PTAS ที่รู้จักสำหรับปัญหานี้หรือไม่?

— Sasho Nikolov

3

@SashoNikolov ดูเหมือนว่าไม่น่าเป็นไปได้ว่ามีอัลกอริทึมการประมาณที่เหมาะสม รับ

รับ

จาก

โดยแทนที่แต่ละโหนดด้วยกลุ่มขนาด

โดยที่

และ

1

สำหรับแต่ละเส้นทางที่เรียบง่ายของความยาว

ใน

มีประมาณ

เส้นทางใน

'

ดังนั้นถ้า

มี

G = (V, E)

$G=(V,E)$

G^{'}

$G'$

G

$G$

N = n^{c}

$N=n^c$

n = | V |

$n=|V|$

c ≫ 1

$c\gg 1$

ℓ

$\ell$

G

$G$

(N!)^{ℓ}

$(N!)^\ell$

G^{'}

$G'$

G

$G$

เส้นทาง Hamiltonian จะมีอย่างน้อย

หรือเส้นทาง

อย่างง่าย ๆใน

และอย่างน้อยที่สุดก็จะชอบ

ง่าย

เส้นทาง ดังนั้นจึงควรประมาณยากภายในตัวประมาณ

s - t

$s-t$

(N!)^{n}

$(N!)^{n}$

s - t

$s-t$

G^{'}

$G'$

(n - 1)! (N!)^{n - 1}

$(n-1)!(N!)^{n-1}$

s - t

$s-t$

.

N! / (n - 1)! ≫ n^{c - 1}!

$N!/(n-1)! \gg n^{c-1}!$

— Neal Young

6

ฉันต้องการเพิ่มอัลกอริทึมการประมาณค่าอีกอันหนึ่งอันหนึ่ง: สำหรับค่าคงที่ (หรือมากกว่า preciesly, $\delta>0$ ) คุณสามารถคำนวณ-approximation ของจำนวนเส้นทางที่เรียบง่ายทั้งในกราฟไม่มีทิศทางหรือกำกับของความยาวในเวลา) $\delta =\Omega(\frac{1}{poly(k)})$ $(1+\delta)$ $k$ $O^*(2^{O(k)})$

— RB
แหล่งที่มา