ตัดสินใจว่าเคอร์เนลของเมทริกซ์มีเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ใด ๆ ซึ่งรายการทั้งหมดเป็น -1, 0 หรือ 1

ให้ $m$ โดย $n$ เมทริกซ์ไบนารี $M$ (รายการเป็น $0$ หรือ $1$ ) ปัญหาคือการตรวจสอบว่ามีสองเวกเตอร์ไบนารี $v_1 \ne v_2$ เช่นนั้น $Mv_1 = Mv_2$ (การดำเนินการทั้งหมดดำเนินการมากกว่า $\mathbb{Z}$ ) ปัญหานี้เกิดจากปัญหา NP-hard หรือไม่

มันชัดเจนใน NP ที่คุณสามารถให้เวกเตอร์สองตัวเป็นพยานได้

เท่ากับ: ให้ $M$ มีเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ $v\in \{-1,0,1\}^n$ ซึ่งนั่นคือ $Mv=0$ หรือไม่

เท่ากัน: รับ $n$ เวกเตอร์ $X=\{x_1,\dots,x_n\}$ เกิน $\{0,1\}^m$ , มีเซตย่อยสองแบบ $A,B \subseteq X$ เช่นนั้น $\sum_{x \in A} x = \sum_{x \in B} x$ หรือไม่

cc.complexity-theory np-hardness linear-algebra

— Mohammad Al-Turkistany
แหล่งที่มา

ยกเว้นว่าฉันเข้าใจผิดคำถามนี่ไม่เทียบเท่ากับการพิจารณาว่ามี

ไม่เป็นศูนย์

v

$v$ ซึ่ง

M v = 0

$Mv = 0$ หรือไม่ และนี่ไม่ได้ถูกแก้ไขโดยการพิจารณาอันดับของ

M

$M$ หรือไม่?

— mhum

@mhum ไม่มีก็เทียบเท่ากับการกำหนดถ้ามีไม่ใช่ศูนย์

v \in {- 1, 0, 1}^{n}

$v \in \{-1, 0, 1\}^n$ ดังกล่าวว่า

M v = 0

$Mv = 0$ 0

— Sasho Nikolov

อา ฉันพลาด

v_{i}

$v_i$ ต้องเป็นเลขฐานสอง ความผิดพลาดของฉัน.

— mhum

ดูเหมือนว่าปัญหาความเป็นไปได้สำหรับการเขียนโปรแกรม 0/1-Integer การดำเนินการกับ

Z

$\mathbb{Z}$ หรือมากกว่า

Z_{2}

$\mathbb{Z_2}$ หรือไม่

— Kaveh

reformulation ของปัญหา: ให้

n

$n$ เวกเตอร์

X = {x_{1}, \dots, x_{n}}

$X = \{ x_1,\dots,x_n \}$ มากกว่า

{0, 1}^{m}

$\{ 0,1 \}^m$ เมตร

มีเซตย่อยที่ต่างกัน

A, B \subseteq X

$A,B \subseteq {X}$ เช่นนั้น

\sum_{x \in A} x = \sum_{x \in B} x

$\sum_{x \in A} x = \sum_{x \in B} x$ หรือไม่? ฉันคิดว่ามันมีแนวโน้มที่จะเป็น NP-hard มากกว่าถ้าผลรวมไม่ได้รับโมดูโลสองนั่นคือการดำเนินการมากกว่า

Z

$\mathbb{Z}$

— John D.

คำตอบ:

ฉันใช้สูตรเทียบเท่ากับผู้ใช้ 17410:

อินพุต: vector บน , เป็นส่วนหนึ่งของอินพุต คำถาม: มีเซตย่อยสองชุดเช่นนั้น $n$ $X = \{ x_1, \dots, x_m \}$ $\{0,1\}^n$ $n$
$A,B \subseteq X$

\sum_{x \in A} x = \sum_{x \in B} x

$\sum_{x \in A} x = \sum_{x \in B} x$

การพิสูจน์ความกระด้างเกี่ยวข้องกับการลดระดับกลางจำนวนมากซึ่งเป็นไปตาม "โซ่" เดียวกันที่ใช้เพื่อพิสูจน์ความแข็งของปัญหาผลรวมเท่ากับ SUBSET SUBSET SUM:

X3C กลุ่มย่อย SUM PARTITION แม้ ODD PARTITION เท่ากับกลุ่มย่อย SUM $\leq$ $\leq$ $\leq$ $\leq$

(ฉันยังตรวจสอบอยู่ดังนั้นจึงอาจผิด :)

ขั้นตอนที่ 1

ปัญหาต่อไปนี้ ( 0-1 VECTOR SUBSET SUM ) คือ NP-complete: กำหนด , เวกเตอร์มากกว่าและเวกเตอร์รวมเป้าหมายตัดสินใจว่ามีเช่นนั้น พิสูจน์ : การลดโดยตรงจากปกที่แน่นอนโดย 3-SETS (X3C): กำหนดชุดขององค์ประกอบ $X = \{ x_1, \dots, x_m \}$ $x_i$ $\{0,1\}^n$ $t$ $A \subseteq X$

\sum_{x \in A} x = t

$\sum_{x \in A} x = t$

n

$n$

และชุด

ของ

สามองค์ประกอบย่อย

เราสร้างการตั้งค่าอินสแตนซ์ 0-1 VECTOR SUM ที่สอดคล้องกัน

ถ้าหากองค์ประกอบ

รวมอยู่ใน

;

Y = {y_{1}, . . ., y_{n}}

$Y = \{y_1,...,y_n\}$

C

$C$

m

$m$

C = {C_{1}, . . ., C_{m}}

$C = \{C_1,...,C_m\}$

x_{i} [j] = 1

$x_i[j] = 1$

j

$j$

C_{i}

$C_i$

t = [1, 1, . . .1]

$t = [1,1,...1]$

ขั้นตอนที่ 2 การหาผลรวมสองส่วนย่อยเท่ากับหมู่ 0-1 เวกเตอร์บนเทียบเท่ากับการหาผลรวมสองส่วนย่อยเท่ากับของเวกเตอร์ที่มีองค์ประกอบของขนาด bounded ที่สำหรับการแก้ไขk $A,B$ $m$ $\{0,1\}^n$ $A,B$ $x_1 ... x_m$ $max\{x_i\} = O((mn)^k)$ $k$

เช่นชุดของเวกเตอร์:

x1 2 1 0 1
x2 1 2 3 1

เทียบเท่ากับเวกเตอร์ 0-1:

x1  1 1 0 1   1 0   0 0 0
    1 0 0 0   0 1   0 0 0 
    0 0 0 0   1 1   0 0 0 
              ^ ^
                +-- 0 elsewhere

x2  1 1 1 1   0 0   1 0 0
    0 1 1 0   0 0   0 1 0
    0 0 1 0   0 0   0 0 1
    0 0 0 0   0 0   1 1 1
                    ^ ^ ^
                      +-- 0 elsewhere

เวกเตอร์ 0-1 ถูกจัดกลุ่มอย่างไม่เป็นทางการ (ถ้าคุณเลือกหนึ่งเวกเตอร์ของกลุ่ม x2 และเพิ่มลงในเซตย่อยคุณจะถูกบังคับให้รวมในอีกสองคนและใส่สุดท้ายในเซตย่อย ) และผลรวมจะเสร็จสิ้น เอกภาพ (นี่คือเหตุผลที่เวกเตอร์ไบนารีที่ไม่ใช่ที่สอดคล้องกันนั้นต้องมีองค์ประกอบที่ล้อมรอบพหุนามด้วยความเคารพต่อ ) $A$ $A$ $B$ $mn$

ดังนั้นปัญหาต่อไปนี้คือ NP-complete

ขั้นตอนที่ 3

ปัญหาต่อไปนี้ ( 0-1 VECTOR PARTITION ) คือปัญหา NP-complete: กำหนด , เวกเตอร์มากกว่าตัดสินใจว่าสามารถแบ่งพาร์ติชันได้ในเซตย่อยสองชุดเช่นนั้น $B = \{ x_1, \dots, x_m \}$ $x_i$ $\{0,1\}^n$ $X$ $B_1, B_2$

\sum_{x \in B_{1}} x = \sum_{x \in B_{2}} x

$\sum_{x \in B_1} x = \sum_{x \in B_2} x$

$X = \{ x_1, \dots, x_m \}$ $t$ $S = \sum x_i$ $X$ $b' = -t + 2S$ $b'' = t + S\;$ $B = X \cup \{b',b''\}$

( ) สมมติว่ามีเช่นนั้น ; เราตั้งและ ; เรามี $\Rightarrow$ $A \subseteq X$ $\sum_{x \in A} x= t$ $B_1 = A \cup \{b'\}$ $B_2 =B \setminus B_1 = X \setminus \{A\} \cup \{b''\}$

\sum_{x \in B_{1}} = b^{'} + \sum_{x \in A} x = t - t + S = 2 S

$\sum_{x \in B_1} = b'+\sum_{x \in A} x = t - t + S = 2S$

\sum_{x \in B_{2}} = b^{″} + \sum_{x \in X ∖ A} x = b^{″} + S - \sum_{x \in A} x = 2 S

$\sum_{x \in B_2} = b'' + \sum_{x \in X\setminus A} x = b'' + S - \sum_{x \in A} x=2S$

( ) สมมติว่าและมีผลรวมเท่ากัน ไม่สามารถอยู่ในเซตเดียวกันได้ (ไม่เช่นนั้นผลรวมคือและไม่สามารถ "สมดุล" โดยองค์ประกอบในชุดอื่น) สมมติว่า ; เรามี: $\Leftarrow$ $B_1$ $B_2$ $b', b''$ $\geq 3S$ $b' = -t + 2S \in B_1$

- t + 2 S + \sum_{x \in B_{1} ∖ {b^{'}}} x = t + S + \sum_{x \in B_{2} ∖ {b^{″}}} x

$-t +2S+ \sum_{x \in B_1 \setminus\{b'\}} x = t + S + \sum_{x \in B_2 \setminus\{b''\}} x$

ดังนั้นเราต้องมีและเป็นทางออกที่ถูกต้องสำหรับ 0-1 VECTOR SUM $\sum_{x \in B_1 \setminus\{b'\}} x = t$ $B_1 \setminus\{b'\}$

เราอนุญาตให้มีเวกเตอร์ 0-1 ในเซตเท่านั้นดังนั้นเวกเตอร์จะต้อง "แสดงเป็นเอกนารี" ดังแสดงในขั้นตอนที่ 2 $B$ $b', b''$

ขั้นตอนที่ 3

ปัญหายังคงเป็นปัญหาที่สมบูรณ์ถ้าเวกเตอร์มีหมายเลขจากและเซตย่อยสองชุดต้องมีขนาดเท่ากันและเราต้องการให้มีหนึ่งในสำหรับ (ดังนั้นโดยข้อ จำกัด ขนาดเท่ากันองค์ประกอบอื่น ๆ ของคู่จะต้องรวมอยู่ใน ) ( 0-1 VECTOR EVEN-ODD PARTITION ) $x_1,...,x_2n$ $X_1,X_2$ $X_1$ $x_{2i-1},x_{2i}$ $1 \leq i \leq n$ $X_2$

หลักฐาน:การลดลงมาจาก 0-1 VECTOR PARTITION และคล้ายกับการลดลงจาก PARTITION ไปเป็น EVEN-ODD PARTITION ถ้าเป็นเวกเตอร์แทนที่แต่ละเวกเตอร์ด้วยเวกเตอร์สองตัวที่ : $X = \{x_1,...,x_m\}$ $m$ $\{0,1\}^n$ $\{0,1\}^{2n+2m}$

       1   2       n
 --------------------
 x_i  b_1 b_2 ... b_n

 becomes:

           1 2 ... 2i ... 2m
  --------------------------
  x'_2i-1  0 0 ...  1 ...  0  b_1 b_2 ... b_n   0   0  ...  0  
  x'_2i    0 0 ...  1 ...  0   0   0  ...  0   b_1 b_2 ... b_n

เนื่องจากองค์ประกอบจึงไม่สามารถมีเวกเตอร์และในเซ็ตย่อยเดียวกัน และทางออกที่ถูกต้องสำหรับ 0-1 VECTOR EVEN-ODD PARTITION สอดคล้องกับวิธีแก้ปัญหาที่ถูกต้องของ Part1 0-1 VECTOR ดั้งเดิม (เพียงแค่เลือกองค์ประกอบ 2m + 1..2m + n ของแต่ละเวกเตอร์ของการแก้ปัญหาทิ้งเวกเตอร์ที่มีทั้งหมด ศูนย์ในตำแหน่งเหล่านั้น) $2i$ $x'_{2i-1}$ $x'_{2i}$

ขั้นตอนที่ 4

0-1 VECTOR Equal SUBSET SUM (ปัญหาในคำถาม) คือ NP-complete: ลดลงจาก 0-1 VECTOR EVEN-ODD PARTITION คล้ายกับการลดลงจาก EVEN-ODD PARTITION ไปเป็น SUBSET ส่วนแบ่งเท่าที่พิสูจน์แล้วในGerhard J. Woeginger , Zhongliang Yu, ในปัญหาเท่ากับส่วนย่อย : ได้รับชุดคำสั่งของเวกเตอร์มากกว่าเราสร้าง ชุดของเวกเตอร์บนn} $A = \{x_1,...,x_{2m}\}$ $2m$ $\{0,1\}^n$ $Y$ $3m$ $\{0,1\}^{2m+n}$

สำหรับทุกเวกเตอร์เราสร้างเวกเตอร์มากกว่าด้วยวิธีนี้: $x_{2i-1}, 1 \leq i \leq m$ $y_{2i-1}$ $\{0,1\}^{2m+n}$

  1 2 ... i i+1 ... m  m+1 m+2 ... m+i ... 2m  2m+1 ... 2m+n
  ------------------------------------------------------
  0 0 ... 2  0  ... 0   0   0       1       0  x_{2i-1}

สำหรับทุกเวกเตอร์เราสร้างเวกเตอร์มากกว่าด้วยวิธีนี้: $x_{2i}, 1 \leq i \leq m-1$ $y_{2i}$ $\{0,1\}^{2m+n}$

  1 2 ... i i+1 ... m  m+1 m+2 ... m+i ... 2m  2m+1 ... 2m+n
  ------------------------------------------------------
  0 0 ... 0  2  ... 0   0   0       1       0  x_{2i}

เราจับคู่องค์ประกอบกับ $x_{2m}$

  1 2 ...       ... m  m+1 m+2 ...  . 2m  2m+1 ... 2m+n
  ------------------------------------------------------
  2 0 ...       ... 0   0   0          1  x_{2m}

สุดท้ายเราเพิ่มหุ่นองค์ประกอบ: $m$

  1 2 ...       ... m  m+1 m+2 ...  ... 2m  2m+1 ... 2m+n
  ------------------------------------------------------
  4 0 ...       ... 0   0   0            0  0    ... 0
  0 4 ...       ... 0   0   0            0  0    ... 0
  ...
  0 0 ...       ... 4   0   0            0  0    ... 0

โปรดทราบอีกครั้งว่าเวกเตอร์ที่มีค่าสามารถแสดงใน "unary" โดยใช้กลุ่มของเวกเตอร์ 0-1 เช่นที่แสดงในขั้นตอนที่ 2 $> 1$

$Y$ มีสอง disjointเซ็ตย่อยมีผลรวมเท่ากันถ้ามีพาร์ติชั่นคี่คู่ $Y_1,Y_2$ $X$

— Marzio De Biasi
แหล่งที่มา

สิ่งที่คุณเรียก 0-1 เวกเตอร์พาร์ทิชันเทียบเท่ากับปัญหาในการพิจารณาว่าระบบชุดมีความคลาดเคลื่อน 0 นี่คือ NP hard เนื่องจากมันจับเช่นปัญหา 2-2-set-splitting แยกดู thm 9 ในบทความนี้โดย guruswami cs.cmu.edu/~venkatg/pubs/papers/ss-jl.ps ; กระดาษของฉันมีความแข็งของpaul.rutgers.edu/~anikolov/Files/charikarM.pdf

— Sasho Nikolov

ฉันยังเชื่อว่าคุณผิดรัฐปัญหาพาร์ทิชันที่แปลก หากไม่มีเวกเตอร์ที่ต่อเนื่องกันสองตัวที่สามารถอยู่ในเซตเดียวกัน ฉันเชื่อว่าคุณหมายถึงจำเป็นสำหรับและ

| X_{i} \cap {x_{2 j - 1}, x_{2 j}} | = 1

$|X_i \cap \{x_{2j-1}, x_{2j}\}| = 1$

i \in {1, 2}

$i \in \{1, 2\}$

1 \leq j \leq m

$1 \leq j \leq m$

— Sasho Nikolov

@SashoNikolov: ใช่ฉันหมายความว่าสำหรับทุกคู่ (และในการพิสูจน์ ) อย่างใดอย่างหนึ่งคือ รวมอยู่ใน ; ฉันจะแก้ไขคำตอบ

(x_{2 i - 1}, x_{2 i})

$(x_{2i-1},x_{2i})$

(x_{2 i - 1}^{'}, x_{2 i}^{'})

$(x'_{2i-1}, x'_{2i})$

X_{1}

$X_1$

— Marzio De Biasi

แก้ไข: หลักฐานดั้งเดิมของฉันมีข้อบกพร่อง ตอนนี้ฉันเชื่อว่ามันได้รับการแก้ไขแล้ว

เราลดปัญหาของจำนวนสมาชิกเท่ากับปัญหานี้ เท่ากับผลรวมย่อยเป็นปัญหาของ: กำหนดชุดของจำนวนเต็มหาสองส่วนย่อยที่แยกจากกันซึ่งมีผลรวมเดียวกัน SUALSET เท่ากับผลรวมเป็นที่รู้จักกันว่าNP- สมบูรณ์ $m$

สมมติว่าสตริงบิตเหล่านี้ไม่ใช่เวกเตอร์ แต่เป็นตัวแทนของตัวเลข bit ในไบนารี จากนั้นปัญหาจะเป็นปัญหาที่สมบูรณ์โดยการลดลงจากจำนวนสมาชิกเท่ากับ ฉันจะแสดงวิธีทำให้เวกเตอร์เหล่านี้ทำงานเหมือนพวกมันเป็นเลขฐานสอง สิ่งที่เราต้องการคือสามารถแบก; นั่นคือสำหรับทุกคู่ของพิกัดที่อยู่ติดกันเราจำเป็นต้องสามารถแทนที่เวกเตอร์ .. 02 .. โดย .. 10 .. $n$

เราจะทำสิ่งนั้นได้อย่างไร เราต้องการอุปกรณ์ที่ช่วยให้เราทำเช่นนั้นได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเราต้องการชุดย่อยสองชุดที่มีผลรวมเป็น .. 02 .. x และ .. 10 .. x โดยที่ x เป็นสตริงบิตโดยใช้พิกัดใหม่ (เช่นพิกัดที่ไม่ใช่พิกัดใด ๆ ที่ประกอบเป็นไบนารี การเป็นตัวแทน) และตำแหน่งที่มีเพียงวิธีเดียวในการสร้างสองชุดย่อยที่มีผลรวมเดียวกันในตำแหน่งบิตใหม่ที่สอดคล้องกับ x $n$

มันค่อนข้างง่ายที่จะทำ สำหรับตำแหน่งบิตที่อยู่ติดกันทุกคู่ให้เพิ่มสามเวกเตอร์ของแบบฟอร์มต่อไปนี้ ที่นี่สองบิตสุดท้ายเป็นพิกัดที่ไม่เป็นศูนย์เฉพาะในสามเวกเตอร์เหล่านี้และทุกบิตที่ไม่ได้รับอย่างชัดเจนด้านล่างเป็น 0

..10 .. 11
..01 .. 10
..01 .. 01

ขอยกตัวอย่าง เราต้องการแสดงให้เห็นว่า 5 + 3 = 8 ทำงานอย่างไร

นี่คือ 8 = 5 + 3 ในไบนารี:

1000

0101
0011

สตริงบิตเหล่านี้ให้ผลรวมเท่ากันในไบนารี่ แต่ไม่ใช่ในการบวกเวกเตอร์

ทีนี้, เรามีอุ้มใน 1, 2, 4 แห่ง, ดังนั้นเราต้องเพิ่มเวกเตอร์สามชุดลงในสมการเพื่อทำการอุ้มเหล่านี้

1,000 00 00 00
0001 00 00 01
0001 00 00 10
0010 00 01 00
0010 00 10 00
0100 01 00 00
0100 10 00 00

0101 00 00 00
0011 00 00
0010 00 00 11
0100 00 11 00
1000 11 00 00

ชุดเหล่านี้มีผลรวมเท่ากันในการเพิ่มเวกเตอร์ ผลรวมคือ:

1222 11 11 11 11

ในทั้งสองกรณี.

การก่อสร้างนี้ใช้งานได้ดีหากมีการพกเพียงครั้งเดียวต่อตำแหน่ง แต่อาจมีได้ถึงบรรทุกต่อตำแหน่งและคุณต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่าการก่อสร้างของคุณสามารถจัดการได้สูงสุดถึงบรรทุกและการดำเนินการที่แตกต่างกัน กับแต่ละอื่น ๆ ตัวอย่างเช่นหากคุณเพิ่มเวกเตอร์สามชุดที่แตกต่างกันสองชุดสำหรับคู่ตำแหน่งเดียวกันที่อยู่ติดกัน (ซึ่งเป็นสิ่งที่ฉันเสนอในหลักฐานดั้งเดิมของฉัน): $n$ $n$

..01 .. 01 00
..01 .. 10 00
..10 .. 11 00
..01 .. 00 01
.. 01 .. .. 00 10
..10 .. 00 11

คุณมีปัญหาที่คุณจะได้เวกเตอร์สองชุดที่ให้ผลรวมเท่ากัน:

..01 .. 01 00
..01 .. 10 00
..10 .. 00 11

..01 .. 00 01
..01 .. 00 10
..10 .. 11 00

จะแก้ไขได้อย่างไร? เพิ่มอีกหนึ่งชุดของเวกเตอร์ซึ่งจะช่วยให้คุณดำเนินการ 1 ชุดหนึ่งซึ่งจะช่วยให้คุณพก 2 และหนึ่งชุด 4, 8, 2rfloor} ฉันจะไม่ไปดูรายละเอียดของการก่อสร้างในตอนนี้ แต่มันควรจะตรงไปตรงมา เนื่องจากจำนวนแต่ละคนมีแทน binary ที่ไม่ซ้ำกันนี้จะช่วยให้คุณสามารถดำเนินการใด ๆ จำนวนถึงnตัวอย่างเช่นสำหรับการถือ 4 คุณต้องหาสี่เวกเตอร์ที่มีผลรวมเท่ากับสองเวกเตอร์และนี่เป็นความสัมพันธ์เชิงเส้นเดียวระหว่างสองชุด ตัวอย่างเช่นชุด $\ldots$ $^{\lfloor \log n \rfloor}$ $n$

..01 .. 11000
..01 .. 00100
..0110 00010
..01 00001
..10 .. 10001
..10 .. 01110

โรงงาน คุณสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่าความสัมพันธ์

11000
00100
00010
00001

10001
01110

เป็นความสัมพันธ์ที่เป็นไปได้เพียงอย่างเดียวในหกเวกเตอร์เหล่านี้เพราะเมทริกซ์ที่เกิดขึ้นจากแถวทั้งหกนี้มีอันดับ 5

— ปีเตอร์แคระ
แหล่งที่มา

คำอธิบายคุณพูดว่า "ตอนนี้เราได้ดำเนินการใน 1, 2, 4 แห่ง"; แต่ในปัญหาเราไม่ทราบว่าเวกเตอร์ใดถูกเลือกดังนั้นเราต้องเพิ่มอุปกรณ์พกพาไปยังตำแหน่งบิตที่อยู่ติดกันทุกครั้งหรือไม่ และในรายการแรกของตัวอย่างมี 7 เวกเตอร์ถูกต้องหรือไม่?

— Marzio De Biasi

สมมติว่ามีทางออกสำหรับปัญหาผลรวมย่อย นั่นคือ: เรามี 3 + 5 = 8 ตอนนี้เราสามารถดูการเพิ่มขึ้นของพยานนี้และค้นหาว่าการพกพานั้นอยู่ที่ไหน นี่ทำให้เราได้คำตอบสำหรับปัญหาการบวกเวกเตอร์ ปัญหาหนึ่งมีวิธีแก้ไขหากมีหากปัญหาอื่นเกิดขึ้น

— Peter Shor

แต่การลดลงทำงานอย่างไรถ้าอินสแตนซ์ของผลรวมย่อยคือและผลรวมเป้าหมาย (อินสแตนซ์เวกเตอร์ที่สอดคล้องกันคืออะไร)

2, 3, 5, 7

$2,3,5,7$

8

$8$

— Marzio De Biasi

ป.ล. ฉันพบหลักฐานที่แสดงว่าปัญหานี้เกิดจากปัญหา NP-complete แต่มันยาวกว่าของคุณมากดังนั้นฉันจึงพยายามเข้าใจ ... ง่ายกว่าดีกว่า :-)

— Marzio De Biasi

ซึ่งหมายความว่าสำหรับปัญหาที่สองเราต้องเพิ่มอุปกรณ์พกพาไปยังตำแหน่งบิตที่อยู่ติดกันทุกตำแหน่ง ในความเป็นจริงเนื่องจากเราอาจมีบรรทุกในตำแหน่งนั้นเราจึงต้องเพิ่มสำเนาของอุปกรณ์พกพาไปยังตำแหน่งบิตนั้น และฉันเพิ่งรู้ว่ามันไม่ได้ผล - เราต้องฉลาดกว่านี้ ฉันรู้วิธีที่จะทำ แต่ฉันจะต้องแก้ไขคำตอบ

n - 1

$n-1$

n - 1

$n-1$

— Peter Shor

สิ่งนี้ไม่ตอบคำถาม แต่อาจมีข้อสังเกตที่เป็นประโยชน์ ฉันไม่ต้องการที่จะใส่มันเป็นความคิดเห็นเพราะฉันพบว่านานความคิดเห็นที่กระจัดกระจายน่ารำคาญที่จะอ่าน

การปฏิรูปของปัญหาตามที่ระบุไว้ในความคิดเห็นของฉันกับคำถาม:

อินพุต: vectorsมากกว่า ,เป็นส่วนหนึ่งของอินพุต $n$ $X = \{ x_1, \dots, x_n \}$ $\{0,1\}^m$ $m$

คำถาม: มีเซตย่อยสองชุดเช่นนั้น $A,B \subseteq X$

\sum_{x \in A} x = \sum_{x \in B} x

$\sum_{x \in A} x = \sum_{x \in B} x$

บางทีฉันควรทราบว่าใครควรจะถือว่าเป็นมัลติ (เวกเตอร์จะต้องไม่ซ้ำกัน) และผลรวมมีมากกว่า{N} $X,A,B$ $\mathbb{N}$

ฉันเสนอให้เรียกปัญหานี้ 2SUBSET-BINARY-VECTOR-SUM เนื่องจากความจริงที่ว่าเรากำลังมองหาเซตย่อยของเวกเตอร์ไบนารี 2 ชุด

ข้อสังเกตบางอย่าง:

ถ้ามีหนึ่งเวคเตอร์เวกเตอร์หลายครั้งคำตอบจะกลายเป็นเรื่องเล็กน้อย ให้และx_j จากนั้นทำงานเป็นพยาน $X$ $x_i,x_j \in X$ $x_i = x_j$ $A = \{x_i\}, B = \{x_j\}$
หากหนึ่งในเวกเตอร์ในมีเพียง 0 มันเป็นเรื่องเล็กน้อย ให้เป็นเวกเตอร์นั้น จากนั้นสำหรับทุกมันจะตามหลังเป็นพยาน $X$ $0 \in X$ $A \subseteq X \setminus \{ 0 \}$ $B = A \cup \{ 0 \}$
สมมติว่ามีอยู่เป็นพยานดังกล่าวว่าB นี่หมายความว่าเวกเตอร์ทุกตัวที่อยู่ในแต่ไม่ได้อยู่ในต้องประกอบด้วยเลขศูนย์เท่านั้น $A \subset B$ $B$ $A$
ในการเพิ่มคะแนนทั้งสองข้างต้น: พยานกับมีอยู่หากมีอย่างน้อยหนึ่งเวกเตอร์ในมีเลขศูนย์เท่านั้น $A,B$ $A \subset B$ $X$
สมมติว่ามีอยู่เป็นพยานดังกล่าวว่า\ คุณสามารถลบองค์ประกอบทั่วไปในทั้งสองชุดและยังมีพยานที่ถูกต้อง $A,B$ $A \cap B \neq \emptyset$

จุดสำคัญเหล่านี้หมายความว่าคุณกำลังมองหาพาร์ติชันของเป็นสองชุด ( ) หรือสามชุด ชุดที่สามเป็นตัวแทนของเวกเตอร์ที่ไม่ได้เลือกได้อย่างใดอย่างหนึ่งหรือBให้เป็นตัวเลข Stirling ของชนิดที่สอง - จำนวนวิธีในการแบ่งพาร์ติชันของวัตถุให้เป็นพาร์ติชันที่ไม่ว่างจากนั้นมีวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ดังนั้นกำลังดุร้ายจึงไม่สามารถทำได้ที่นี่ $X$ $A \cup B = X$ $A$ $B$ $S(n,k)$ $n$ $k$ $S(n,3)+S(n,2)$

หากคุณอนุญาตให้เวกเตอร์มีค่าเกิน (2SUBSET-VECTOR-SUM) เราสามารถลองลดUNIQUE-PARTITIONให้เป็นปัญหานี้ได้ ให้และผ่านอินสแตนซ์ของ UNIQUE-PARTITION (ถ้ามี 0 ให้ลบออกก่อนเพื่อหลีกเลี่ยงวิธีแก้ปัญหาเล็กน้อย) อย่างไรก็ตามวิธีนี้ใช้ไม่ได้เนื่องจากโซลูชันที่เป็นไปได้ไม่จำเป็นต้องมีองค์ประกอบอินพุตทั้งหมด: $\mathbb{N}^m$ $m=1$ $A,B$

พิจารณา\} สิ่งนี้ไม่ได้อยู่ใน UNIQUE-PARTITION แต่ใน 2SUBSET-VECTOR-SUM อาจจะใช้เราสามารถใช้รายการเวคเตอร์เพิ่มเติมเพื่อบังคับให้เพื่อแบ่งพาร์ติชันอินพุต $\{1,2,3,5\}$ $A=\{1,2\} , B = \{3\}$ $m>1$ $A,B$

— จอห์นดี
แหล่งที่มา