การสร้างกราฟด้วยออปติกแบบ Trivial

ฉันกำลังแก้ไขรูปแบบการเข้ารหัสบางอย่าง เพื่อแสดงความไม่เพียงพอฉันได้วางแผนโปรโตคอลที่ออกแบบมาโดยอาศัยกราฟมอร์ฟิซึ่มส์

มันเป็น "ธรรมดา" (ยังเป็นที่ถกเถียงกันอยู่!) ที่จะสมมติว่าการดำรงอยู่ของอัลกอริธึม BPP สามารถสร้าง "กรณียากของปัญหากราฟ Isomorphism" (พร้อมกับพยานมอร์ฟิซึ่มส์)

ในโปรโตคอลที่วางแผนไว้ของฉันฉันจะสมมติว่ามีอัลกอริทึม BPP ดังกล่าวซึ่งตรงตามข้อกำหนดเพิ่มเติมหนึ่งข้อ:

• ให้กราฟที่สร้างขึ้นจะและG_2มีเพียงพยานคนหนึ่ง (เปลี่ยนแปลง) ที่แมปเป็นเพื่อG_2$G_1$$G_2$$G_1$$G_2$

นี่ก็หมายความว่ามีเพียงautomorphisms จิ๊บจ๊อย ในคำอื่น ๆ ฉันสมมติว่าการดำรงอยู่ของอัลกอริทึม BPP บางอย่างซึ่งทำงานดังนี้:$G_1$

1. บนอินพุทให้สร้างกราฟ -vertexซึ่งมันจะมีออโตฟิวชั่นเพียงเล็กน้อยเท่านั้น$1^n$$n$$G_1$
2. เลือกการเปลี่ยนแปลงสุ่มกว่าและใช้มันในที่จะได้รับG_2$\pi$$[n]=\{1,2,\ldots,n\}$$G_1$$G_2$
3. เอาท์พุท ⟩$\langle G_1,G_2,\pi \rangle$

ฉันจะสมมติว่าในขั้นตอนที่ 1 สามารถสร้างได้ตามต้องการและ เป็นตัวอย่างที่ยากของปัญหากราฟมอร์ฟ (โปรดตีความคำว่า "ยาก" โดยธรรมชาติคำจำกัดความที่เป็นทางการของAbadi และคณะดูที่กระดาษโดยImpaliazzo & Levin )$G_1$$\langle G_1,G_2 \rangle$

การสันนิษฐานของฉันสมเหตุสมผลหรือไม่ ใครช่วยกรุณาชี้นำฉันไปอ้างอิงบาง?

อย่างน้อยที่สุดวิธีการที่ไร้เดียงสาอย่างใดอย่างหนึ่งอาจคิดว่าไม่ได้ผล วิธีการที่ฉันมีอยู่ในใจคือการสร้างแบบสุ่มเท่านั้น เนื่องจากกราฟเกือบทั้งหมดไม่มีความสมมาตร (นั่นคือสัดส่วนของกราฟบนnจุดยอดที่ไม่มีออโต้มอร์ฟิคแบบไม่เคลื่อนที่เข้าใกล้ 1 เมื่อn → ∞ ), จี1จะไม่มีออโต้มอร์ฟินิกส์แบบไม่น่าสนใจ อย่างไรก็ตามเวอร์ชั่นเฉลี่ยของกราฟมอร์ฟิซึ่มกราฟซึ่งกราฟถูกเลือกแบบสุ่มสามารถแก้ไขได้ในเวลาเชิงเส้น [BK] ดังนั้นนี่จึงไม่สร้างการแจกแจงอินสแตนซ์ของฮาร์ด$G_1$$n$$n \to \infty$$G_1$

แต่วิธีการไร้เดียงสาที่สองมีโอกาสในการทำงาน: สร้างกราฟปกติแบบสุ่ม(ของระดับไม่คงที่เนื่องจากกราฟค่าคงที่มอร์ฟิซึ่มเป็นค่าคงที่ใน P) สิ่งนี้ยังไม่มีออโต้มอร์ฟิวชันที่ไม่น่าสนใจและมีความน่าจะเป็นสูง [KSV] แต่ผลลัพธ์ของ Babai-Kucera ใช้ไม่ได้ (ดังที่พวกเขาชี้ให้เห็นในบทความ) การพิสูจน์ว่านี่เป็นเครื่องกำเนิดคงกระพันต้องมีการตั้งสมมติฐานบางอย่าง แต่ใคร ๆ ก็สามารถจินตนาการได้ว่าการพิสูจน์โดยไม่มีเงื่อนไขว่ากราฟมอร์ฟอสมอร์ฟิซึ่มกรณีทั่วไปโดยเฉลี่ยนั้นยากพอ ๆ กับกราฟมอร์ฟ (โปรดสังเกตว่ามอร์ฟิซึ่มกราฟกรณีเลวร้ายที่สุดเทียบเท่ากับกราฟมอร์ฟิซึ่มกรณีเลวร้ายที่สุด (ทั่วไป)

[BK] Laszlo Babai, Ludik Kucera, การติดฉลากที่ยอมรับของกราฟในเวลาเฉลี่ยเชิงเส้น FOCS 1979, pp.39-46

[KSV] Jeong Han Kim, Benny Sudakov และ Van H. Vu บนความไม่สมดุลของกราฟปกติสุ่มและกราฟสุ่ม โครงสร้างแบบสุ่มและอัลกอริทึมที่ 21 (3-4): 216-224 2002 นอกจากนี้ยังมีที่นี่