วิธีทำให้แลมบ์ดาแคลคูลัสแข็งแกร่งเป็นปกติโดยไม่มีระบบประเภท?

มีระบบใดบ้างที่คล้ายกับแคลคูลัสแลมบ์ดาที่มีความแข็งแกร่งในการทำให้กลับสู่สภาพปกติโดยไม่จำเป็นต้องเพิ่มระบบประเภทที่อยู่ด้านบนของมัน?

ฉันนึกถึงคำตอบที่เป็นไปได้สองสามข้อที่มาจากตรรกะเชิงเส้น

สิ่งที่ง่ายที่สุดคือเลียนแบบแลมบ์ดา - แคลคูลัส: พิจารณาเฉพาะคำแลมบ์ดาซึ่งตัวแปรทุกตัวจะปรากฏขึ้นมากที่สุดในครั้งเดียว เงื่อนไขนี้ถูกรักษาไว้โดยการลดลงและจะเห็นได้ทันทีว่าขนาดของคำเลียนแบบลดขนาดลงอย่างเข้มงวดในแต่ละขั้นตอนการลด ดังนั้นการเลียนแบบแลมบ์ดาแคลคูลัสที่ไม่ได้พิมพ์ก็จะกลับสู่สภาพปกติอย่างมาก

ตัวอย่างที่น่าสนใจมากขึ้น (ในแง่ของการแสดงออก) ได้รับจากสิ่งที่เรียกว่า "ไลท์" แลมบ์ดา - แคลคูลัสซึ่งเกิดจากระบบย่อยของลอจิกเชิงเส้นที่ Girard แนะนำใน "Light Linear Logic" (สารสนเทศและการคำนวณ 143, 1998) ในฐานะ "Soft Linear Logic" ของ Lafont (วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี 318, 2004) มีแคลคูลัสหลายอย่างในวรรณคดีบางทีการอ้างอิงที่ดีก็คือ "Light affine lambda แคลคูลัสและพหุนามเวลาการทำให้เป็นมาตรฐานที่แข็งแกร่ง" ของ Terui (คลังสำหรับคณิตศาสตร์ 46, 2007) ในกระดาษนั้น Terui กำหนดแลมบ์ดาแคลคูลัสที่ได้มาจากตรรกะเลียนแบบแสงและพิสูจน์ผลการฟื้นฟูที่แข็งแกร่งสำหรับมัน แม้ว่าจะมีการพูดถึงประเภทต่าง ๆ ในกระดาษ แต่ก็ไม่ได้ใช้ในการพิสูจน์การทำให้เป็นมาตรฐาน พวกมันมีประโยชน์สำหรับการกำหนดคุณสมบัติหลักอย่างเป็นระเบียบของแสงแลมบ์ดา - แคลคูลัสนั่นคือเงื่อนไขของบางประเภทแสดงถึงหน้าที่ของ Polytime ผลลัพธ์ที่คล้ายกันนี้เป็นที่รู้จักกันในการคำนวณระดับประถมศึกษาโดยใช้แลมบ์ดาแคลคูลัส "แสง" อื่น (กระดาษของ Terui มีการอ้างอิงเพิ่มเติม)

ในฐานะที่เป็นหมายเหตุด้านข้างเป็นที่น่าสนใจที่จะสังเกตว่าในแง่การพิสูจน์ทางทฤษฎีนั้นเลียนแบบแลมบ์ดาแคลคูลัสสอดคล้องกับตรรกะของสัญชาตญาณโดยไม่ต้องมีกฎการหดตัว Grishin สังเกต (ก่อนตรรกะเชิงเส้นแนะนำ) ว่าในกรณีที่ไม่มีการหดตัวทฤษฎีเซตไร้เดียงสา (กล่าวคือด้วยความเข้าใจที่ไม่ จำกัด ) มีความสอดคล้อง (เช่นความขัดแย้งของ Russel ไม่ได้ให้ความขัดแย้ง) เหตุผลก็คือการตัดทฤษฏีที่ไร้เดียงสาโดยไม่มีการหดตัวอาจได้รับการพิสูจน์โดยอาร์กิวเมนต์ที่ลดขนาดได้ตรงไปตรงมา (ดังที่ฉันได้ให้ไว้ข้างต้น) ซึ่งไม่ขึ้นอยู่กับความซับซ้อนของสูตร ผ่านการติดต่อของ Curry-Howard นี่คือการฟื้นฟูของแลมบ์ดาแคลคูลัสที่ไม่มีการพิมพ์ มันคือการแปลความขัดแย้งของรัสเซลในตรรกะเชิงเส้นและโดย "ปรับแต่ง" การยกกำลังแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลเพื่อไม่ให้เกิดความขัดแย้งที่จิราร์ดเกิดขึ้นกับตรรกะเชิงเส้นแสง ดังที่ฉันได้กล่าวไว้ข้างต้นในแง่การคำนวณตรรกะเชิงเส้นแสงที่อ่อนทำให้คุณลักษณะของฟังก์ชันที่คำนวณได้แบบพหุนามเวลา ในข้อตกลง - ทฤษฎีข้อพิสูจน์ความไร้เดียงสาทฤษฎีเซตที่สอดคล้องกันอาจถูกกำหนดไว้ในเหตุผลเชิงเส้นแสงที่พิสูจน์ได้ว่าการทำงานทั้งหมดเป็นพหุนามฟังก์ชัน - เวลาคำนวณพหุนามว่า ทฤษฎีเซตของเวลาพหุนาม ", Studia Logica 77, 2004)

เอกสารต้นฉบับโดย Church และ Rosser "คุณสมบัติบางประการของการแปลง" อธิบายบางสิ่งที่อาจเป็นตัวอย่างของสิ่งที่คุณกำลังมองหา

หากคุณใช้แคลคูลัสแลมบ์ดาที่เข้มงวดซึ่งเกิดขึ้นทุกครั้ง$\lambda x.M$ คุณมีสิ่งนั้น $x$ ปรากฏฟรี $M$จากนั้นไม่มีระบบประเภทเก็บคุณสมบัติต่อไปนี้ (เป็นทฤษฎีบทที่ 2 ในเอกสารของ Church และ Rosser's):

ถ้า $B$ เป็นรูปแบบปกติของ $A$แล้วมีจำนวน $m$ เช่นว่าลำดับของการลดใด ๆ เริ่มต้นจาก $A$ จะนำไปสู่ $B$ [modulo alpha สมมูล] มากที่สุดหลังจาก $m$ ลด

ดังนั้นแม้ว่าคุณจะสามารถเขียนคำศัพท์ที่ไม่สิ้นสุดในแคลคูลัสแลมบ์ดาที่เข้มงวด (ไม่ได้พิมพ์) ทุกคำที่มีรูปแบบปกติจะทำให้ปกติรุนแรงขึ้น นั่นคือลำดับของการลดทุกครั้งจะถึงรูปแบบปกติที่ไม่ซ้ำกัน

นี่คือความสนุกโดย Neil Jones และ Nina Bohr:

การบอกเลิกการโทรตามค่าใน Untyped $\lambda$-แคลคูลัส

มันแสดงให้เห็นถึงวิธีการใช้การวิเคราะห์การเปลี่ยนแปลงขนาด (ประเภทของการวิเคราะห์การไหลของการควบคุมที่ตรวจจับลูปไม่สิ้นสุด) บน untyped$\lambda$-terms ในทางปฏิบัติค่อนข้างดี แต่แน่นอนมีข้อ จำกัด$\lambda$-terms ที่ไม่มีค่าคงที่ที่กำหนดไว้ (แม้ว่าวิธีการนั้นอาจถูกขยายให้ใช้งานทั่วไปได้มากกว่า)

แน่นอนว่าข้อดีของการพิมพ์นั้นมีทั้งความซับซ้อนต่ำและความเป็นโมดูลของวิธีการ: โดยทั่วไปแล้วการวิเคราะห์การยุตินั้นไม่ใช่แบบแยกส่วนมาก แต่การพิมพ์สามารถทำได้ "ทีละชิ้น"