ผลกระทบทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีความซับซ้อนคาดเดานอก TCS

คุณรู้หรือไม่ว่าผลที่ตามมาของการคาดคะเน (มาตรฐาน) ที่น่าสนใจในทฤษฎีความซับซ้อนในสาขาอื่น ๆ ของคณิตศาสตร์ (เช่นด้านนอกของวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี)?

ฉันต้องการคำตอบที่:

• การคาดเดาทฤษฎีความซับซ้อนนั้นเป็นเรื่องทั่วไปและเป็นมาตรฐานที่สุด ฉันตกลงกับผลของความแข็งของปัญหาเฉพาะเช่นกัน แต่มันจะดีถ้าปัญหาต่าง ๆ ที่เชื่อกันว่ายาก (หรืออย่างน้อยก็มีการศึกษาในเอกสารมากกว่าสองฉบับ)

• ความหมายเป็นคำที่ไม่ทราบว่าเป็นจริงโดยไม่มีเงื่อนไขหรือพิสูจน์อื่น ๆ ที่รู้จักกันเป็นเรื่องยากมากขึ้น

• การเชื่อมต่อที่น่าแปลกใจมากขึ้นที่ดีกว่า; โดยเฉพาะความหมายไม่ควรเป็นคำสั่งที่ชัดเจนเกี่ยวกับอัลกอริทึม

"ถ้าหมูบินได้ม้าก็จะร้องเพลง" การเชื่อมต่อประเภทนี้ก็โอเคเช่นกันตราบใดที่หมูบินมาจากทฤษฎีความซับซ้อนและม้าร้องเพลงจากวิชาคณิตศาสตร์นอกสาขาวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์

คำถามนี้มีความหมายบางอย่าง "การสนทนา" ของคำถามที่เรามีเกี่ยวกับการใช้คณิตศาสตร์ในวิทยาการคอมพิวเตอร์อย่างน่าประหลาดใจ ดิ๊กลิปตันมีบล็อกโพสต์ตรงตามบรรทัดเหล่านี้: เขาเขียนเกี่ยวกับผลที่ตามมาจากการคาดเดาว่าแฟคตอริ่งมีความซับซ้อนของวงจรขนาดใหญ่ ผลที่ตามมาคือสมการไดโอแฟนไทน์บางตัวไม่มีวิธีแก้ปัญหาซึ่งเป็นคำที่ยากมากที่จะพิสูจน์ได้โดยไม่มีเงื่อนไข โพสต์นั้นอ้างอิงจากการทำงานกับ Dan Boneh แต่ฉันไม่สามารถหากระดาษได้

แก้ไข:ในฐานะที่เป็น Josh Grochow บันทึกในความคิดเห็นคำถามของเขาเกี่ยวกับการใช้งานของ TCS กับคณิตศาสตร์คลาสสิกมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด คำถามของฉันก็คืออนุญาตได้มากขึ้นเพราะฉันไม่ได้ยืนยันในข้อ จำกัด "คณิตศาสตร์คลาสสิก" ฉันคิดว่าความแตกต่างที่สำคัญกว่านั้นคือฉันยืนยันในนัยที่พิสูจน์แล้วจากการคาดเดาความซับซ้อนไปยังข้อความในสาขาคณิตศาสตร์นอก TCS คำตอบส่วนใหญ่สำหรับคำถามของ Josh ไม่ใช่ประเภทนี้ แต่ให้เทคนิคและแนวคิดที่มีประโยชน์ในคณิตศาสตร์คลาสสิกที่พัฒนาหรือได้รับแรงบันดาลใจจาก TCS อย่างไรก็ตามอย่างน้อยหนึ่งคำตอบสำหรับคำถามของ Josh คือคำตอบที่สมบูรณ์แบบสำหรับคำถามของฉัน: กระดาษของ Michael Freedmanซึ่งเป็นแรงบันดาลใจด้วยคำถามเหมือนกันกับฉันและพิสูจน์ทฤษฎีบทในทฤษฎีปมเงื่อนไขใน$\mathsf{P}^{\#P} \ne \mathsf{NP}$ P เขาให้เหตุผลว่าทฤษฎีบทดูเหมือนว่าจะห่างไกลจากเทคนิคในปัจจุบันในทฤษฎีปม ตามทฤษฏีของโทดะถ้า$\mathsf{P}^{\#P} = \mathsf{NP}$ดังนั้นพหุนามพหุนามจึงยุบดังนั้นสมมติฐานนั้นมีเหตุผลมาก ฉันสนใจผลลัพธ์ที่คล้ายกันอื่น ๆ

$\mathcal{G}$$\mathcal{Obs(G)}$$\mathcal{G}$$\mathcal{Obs(G)}$$\mathcal{G}$

$\mathcal{G}_k$$k$$k$$\mathcal{Obs}(\mathcal{G}_k)$$p$$\mathcal{Obs}(\mathcal{G}_k)$$p(k)$$\mathcal{Obs}(\mathcal{G}_0) = \{K_5, K_{3,3}\}$$\mathcal{G}_k$$k$$G \in \mathcal{G}_k$

นี่คือตัวอย่าง: ความซับซ้อนในการคำนวณและความไม่สมดุลของข้อมูลในผลิตภัณฑ์ทางการเงินโดย Arora, Barak และ Ge แสดงให้เห็นว่าสามารถคำนวณได้ยาก (เช่น NP-hard) กับอนุพันธ์ด้านราคาอย่างถูกต้อง - พวกเขาใช้ subgraph ที่หนาแน่นที่สุดเป็นปัญหาหนักฝังตัว

ตามบรรทัดเดียวกันและก่อนหน้านี้มากคือกระดาษที่มีชื่อเสียงโดยBartholdi, Tovey และเคล็ดลับเกี่ยวกับความแข็งของการจัดการเลือกตั้ง

ตามที่แนะนำโดย Sasho คำตอบของฉันสำหรับคำถาม "การประยุกต์ใช้ TCS กับคณิตศาสตร์แบบดั้งเดิม? " มีดังนี้:

$L$$\tau$

$L$

$\tau$$p$$\tau$$(1+\tau)^c$$c$

$S_{2^k}$$S_{2^k}$$2^{\delta k}$

มันเป็นจิตวิญญาณของกระดาษของ Mike Freedman มากที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้

ดูเหมือนว่าคำถามการแยกชั้นความซับซ้อนของ TCS จำนวนมากมีนัยยะสำคัญทางคณิตศาสตร์ คำถาม P =? NP โดยเฉพาะดูเหมือนว่าจะมีการเชื่อมต่อที่ลึกมากในหลายสาขาและสิ่งนี้รวมถึงคณิตศาสตร์ บางกรณีที่โดดเด่นในพื้นที่นี้:

• ปัญหาที่เกิดขึ้นของ Hilberts Nullstellensatzในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 แสดงให้เห็นว่ามีความสามารถในการเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับความซับซ้อนของ P vs NP เช่นในการบุกรุกของ NULLSTELLENSATZ ของ HILBERT และ AlGEBRAIC VERSION ของ "NP ̸ = P?"โดย Shub / Smale นี่คือพื้นที่การศึกษาต่อเนื่องเช่นในพีชคณิตคอมพิวเตอร์ Combinatorics และความซับซ้อน: Hilbert's Nullstellensatz และปัญหา NP-completeโดย Margulies

• ทฤษฎีบท Fagins (วิกิพีเดีย):

  ทฤษฎีบทของ Fagin เป็นผลลัพธ์ในทฤษฎีความซับซ้อนเชิงพรรณนาที่ระบุว่าชุดของคุณสมบัติทั้งหมดที่แสดงออกในตรรกะลำดับที่สองที่มีอยู่จริงคือคลาสความซับซ้อนของปัญหาที่แม่นยำ มันเป็นเรื่องที่น่าทึ่งเพราะมันเป็นลักษณะของคลาส NP ที่ไม่เรียกใช้รูปแบบการคำนวณเช่นเครื่องทัวริง

  ความหมายหลัก / ประหลาดใจของ P = NP ที่นี่จะหมายถึงการยืนยันตรรกะลำดับที่สองทั้งหมดสามารถคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพ

• อีกกรณีหนึ่งคือมีปัญหาที่สมบูรณ์หลายอย่างที่ระบุไว้ในเงื่อนไขทางคณิตศาสตร์ (เช่นไม่มีการอ้างอิงถึงแนวคิดของ TCS เช่น TMs, nondeterminism เป็นต้น) รายการนี้อาจมีขนาดใหญ่มากถ้าทฤษฎีกราฟ (ค่อนข้างสมเหตุสมผล) ถือได้ว่าเป็นคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตามการตีความแคบ ๆ ของ "คณิตศาสตร์" นำไปสู่กรณีตัวอย่างเช่นในทฤษฎีจำนวน

  $a,b,c$$x\le c$$x^2\equiv a\pmod b$

  • มีปัญหาตามธรรมชาติของธรรมชาติที่สมบูรณ์ NP หรือไม่? tcs.se
  • ทฤษฎีจำนวนและการไหลของสมการคณิตศาสตร์ที่สมบูรณ์