ตัวเลขจริงระบุไว้ในการคำนวณอย่างไร

นี่อาจเป็นคำถามพื้นฐาน แต่ฉันได้อ่านและพยายามที่จะเข้าใจเอกสารในวิชาต่างๆเช่นการคำนวณดุลยภาพของแนชและการทดสอบความเสื่อมเชิงเส้นและไม่แน่ใจว่าจะระบุจำนวนจริงเป็นข้อมูลเข้าได้อย่างไร ยกตัวอย่างเช่นเมื่อมีการระบุว่า LDT มีขอบเขตพหุนามต่ำกว่าจำนวนจริงจะระบุไว้อย่างไรเมื่อได้รับการปฏิบัติเหมือนเป็นข้อมูลเข้า

ฉันไม่เห็นด้วยกับคำตอบที่คุณยอมรับโดย Kaveh สำหรับการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นและสมดุลของแนชจุดลอยตัวอาจยอมรับได้ แต่ตัวเลขจุดลอยตัวและการคำนวณทางเรขาคณิตผสมผสานกันไม่ดีมาก: ข้อผิดพลาดในการปัดเศษทำให้การสันนิษฐานของ combinatorial ของอัลกอริทึมเป็นโมฆะ โดยเฉพาะอย่างยิ่งอัลกอริทึมการคำนวณเชิงเรขาคณิตจำนวนมากขึ้นอยู่กับการทดสอบแบบดั้งเดิมที่ตรวจสอบว่าค่าที่กำหนดเป็นบวกลบหรือศูนย์ หากค่านั้นใกล้เคียงกับศูนย์มากและจุดลอยตัวที่ทำให้เกิดจุดผิดปกติก็อาจเกิดสิ่งเลวร้ายได้

แทนอินพุตมักจะสันนิษฐานว่ามีพิกัดจำนวนเต็มและผลลัพธ์ระดับกลางมักจะแสดงอย่างแน่นอนไม่ว่าจะเป็นจำนวนตรรกยะที่มีความแม่นยำสูงเพียงพอที่จะหลีกเลี่ยงการล้นหรือเป็นตัวเลขเกี่ยวกับพีชคณิต การประมาณจำนวนจุดลอยตัวของตัวเลขเหล่านี้อาจใช้เพื่อเพิ่มความเร็วในการคำนวณ แต่เฉพาะในกรณีที่ตัวเลขสามารถรับประกันได้ว่าอยู่ห่างจากศูนย์มากพอที่การทดสอบเครื่องหมายจะให้คำตอบที่ถูกต้อง

ในขั้นตอนวิธีเชิงทฤษฎีส่วนใหญ่เอกสารในเรขาคณิตคำนวณปัญหานี้ sidestepped โดยสมมติว่าอินพุตเป็นจำนวนจริงที่แน่นอนและแบบดั้งเดิมคือการทดสอบที่แน่นอนของสัญญาณของรากของ polynomials ระดับต่ำในค่าอินพุต แต่ถ้าคุณใช้อัลกอริธึมเชิงเรขาคณิตนี่จะกลายเป็นเรื่องสำคัญ

คุณอาจดูที่การพูดคุยของ Andrej Bauer เกี่ยวกับบทบาทของช่วงเวลาใน Modern Exact Real Arithmeticซึ่งสำรวจวิธีการต่าง ๆ ในการระบุการคำนวณจำนวนจริงทั้งในเชิงทฤษฎีและการปฏิบัติ

นี้ไม่ได้เป็นคำตอบที่ตรงกับคำถามของคุณมากขึ้นของการตอบสนองต่อราฟาเอล เมื่อไม่นานมานี้มีงานบางอย่างที่ระบุการคำนวณจำนวนจริงโดยใช้การทำเงิน นี่คือบทความบางส่วนในหัวข้อ

• การคำนวณเพื่อคำนวณจำนวนจริงแน่นอน , Ulrich Berger และ Tie Hou: ทฤษฎีระบบคำนวณเล่มที่ 43, หมายเลข 3-4, 394-409, DOI: 10.1007 / s00224-007-9017-6

• การใช้เหตุผลเชิงอนุพันธ์ในการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่แท้จริง , Milad Niqui, วิธีการทางตรรกะในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์, 4 (3: 6): 1–40, 2008

• แคลคูลัสในรูปแบบของเหรียญโดย Dusko Pavlovic และ Martin Escardo, LICS 1998

พวกเขาแทบจะไม่ครอบคลุมการคำนวณจำนวนจริงทั้งหมด แต่ความคืบหน้ากำลังดำเนินการเพื่อขจัดปัญหาที่หลากหลาย

ความซับซ้อนในการคำนวณของการคำนวณมากกว่าตัวเลขที่แท้จริงคือการพิจารณาโดยบลัม, Cucker, Shub และเมล นี่คือคำอธิบายบางส่วนของหนังสือ:

ทฤษฎีการคำนวณแบบดั้งเดิมมีต้นกำเนิดในงานของ Goedel, Turing, Church, และ Kleene และเป็นกรอบที่ประสบความสำเร็จเป็นพิเศษสำหรับวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี อย่างไรก็ตามวิทยานิพนธ์ของหนังสือเล่มนี้ก็คือมันให้รากฐานที่ไม่เพียงพอสำหรับการคำนวณทางวิทยาศาสตร์ที่ทันสมัยซึ่งอัลกอริทึมส่วนใหญ่เป็นอัลกอริทึมจำนวนจริง เป้าหมายของหนังสือเล่มนี้คือการพัฒนาทฤษฎีการคำนวณอย่างเป็นทางการซึ่งรวมประเด็นสำคัญของทฤษฎีคลาสสิกและสามารถนำไปใช้โดยตรงกับปัญหาในคณิตศาสตร์การวิเคราะห์เชิงตัวเลขและการคำนวณทางวิทยาศาสตร์ ระหว่างทางผู้เขียนพิจารณาถึงปัญหาพื้นฐานเช่น: Mandelbrot ตั้งค่าได้หรือไม่? สำหรับแผนที่กำลังสองอย่างจูเลียตั้งเซตหยุดพักหรือไม่? ความซับซ้อนที่แท้จริงของนิวตันคืออะไร วิธีการ มีอัลกอริทึมสำหรับการตัดสินใจปัญหาเครื่องหลังในจำนวนขั้นตอน ploynomial หรือไม่? Hilbert Nullstellensatz ว่ายากหรือไม่ ปัญหาของการหาตำแหน่งศูนย์จริงของดีกรีพหุนามแบบสี่นั้นยากหรือไม่? การเขียนโปรแกรมเชิงเส้นสามารถจัดการได้ง่ายกว่า reals

คุณอาจพบรีวิวของหนังสือเล่มนี้บนACM SIGACT ข่าว

แก้ไข / แก้ไขตามความคิดเห็น

เมื่อผู้เขียนพูดถึงจำนวนจริงในการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นการคำนวณสมดุลของแนช ... ในเอกสารส่วนใหญ่ (เอกสารที่ไม่ได้อยู่ในหัวข้อของการคำนวณ / ความซับซ้อนเหนือจำนวนจริง) พวกเขาไม่ได้หมายถึงจำนวนจริง พวกเขาเป็นจำนวนตรรกยะและตัวเลขที่เกิดขึ้นจากพวกเขาเนื่องจากกิจวัตรของพวกเขา (จำนวนพีชคณิต) ดังนั้นคุณสามารถคิดถึงพวกมันแทนด้วยจำนวน จำกัด

ในทางตรงกันข้ามถ้ากระดาษอยู่ในการคำนวณและความซับซ้อนในการวิเคราะห์แล้วพวกเขาไม่ได้ใช้รูปแบบการคำนวณปกติและมีรูปแบบการคำนวณ / ความซับซ้อนที่เข้ากันไม่ได้กับจำนวนจริง

หากกระดาษไม่ได้ระบุรูปแบบการคำนวณเหนือจำนวนจริงคุณสามารถสันนิษฐานได้อย่างปลอดภัยว่าเป็นกรณีแรกนั่นคือเป็นเพียงตัวเลขที่มีเหตุผล

เรขาคณิตการคำนวณนั้นแตกต่างกัน ในเอกสารส่วนใหญ่ใน CG หากผู้เขียนไม่ได้ระบุรูปแบบที่เกี่ยวข้องกับความถูกต้องและความซับซ้อนของอัลกอริทึมจะถูกกล่าวถึงก็สามารถสันนิษฐานว่าเป็นรูปแบบ BSS (aka เรียลแรม)

รูปแบบไม่เหมือนจริงดังนั้นการใช้งานจึงไม่ตรงไปตรงมา (นี่คือหนึ่งในเหตุผลที่บางคนใน CCA ชอบแบบจำลองทางทฤษฎี Ko-Friedman / TTE / Domainแต่ปัญหาของแบบจำลองเหล่านี้คือพวกเขาไม่ได้เร็วเท่ากับการคำนวณจุดลอยตัวในทางปฏิบัติ) ความถูกต้องและความซับซ้อนของ อัลกอริทึมในแบบจำลอง BSS ไม่จำเป็นต้องถ่ายโอนไปยังความถูกต้องของอัลกอริทึมที่นำมาใช้

หนังสือของ Weihrauch มีการเปรียบเทียบระหว่างรุ่นต่างๆ (มาตรา 9.8) มันเป็นเพียงสามหน้าและคุ้มค่าการอ่าน

(นอกจากนี้ยังมีวิธีที่สามซึ่งอาจเหมาะกว่าสำหรับ CG คุณอาจต้องการดูบทความนี้:

Chee Yap " ทฤษฎีการคำนวณที่แท้จริงตาม EGC "

ที่ EGC เป็นการคำนวณทางเรขาคณิตที่แน่นอน )

พวกเขาไม่ได้และพวกเขาไม่สามารถโดยทั่วไป เราสามารถปฏิบัติต่ออินพุต (และเอาท์พุทและฟังก์ชั่น) จำนวนที่นับได้ด้วยโมเดลการคำนวณของเราเท่านั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งการป้อนข้อมูลใด ๆ จะต้องมี จำกัด แต่ไม่ใช่จำนวนจริงทั้งหมดที่มีการแทนแน่นอน

ฉันเดาได้เลยว่าสมมติว่ามีออราเคิลบางชนิดที่ให้ตัวเลขถัดไปของจำนวนจริงตามที่ร้องขอ (sth เหมือนสตรีม) มิฉะนั้นคุณจะต้องใช้ชีวิตด้วยการประมาณ (แม่นยำตามอำเภอใจ)