จำนวนขั้นต่ำของสีที่ป้องกันไม่ให้เกิดซับไตเติลสีสม่ำเสมอ

ในBundeswettberweb Infomatik 2010/2011 มีปัญหาที่น่าสนใจ:

สำหรับการแก้ไขให้หาค่าkน้อยที่สุดและแผนที่ φ : { ( i , j ) | ฉัน≤ j ≤ n } → { 1 , … , k }เช่นนั้นไม่มีสาม( i , j ) , ( i + l , j ) , ( i + l , j + l )ด้วยφ ( $n$$k$$\varphi: \{(i,j)|i\leq j \leq n\}\rightarrow \{1,\ldots,k\}$$(i,j),(i+l,j),(i+l,j+l)$ )$\varphi(i,j)=\varphi(i+l,j)=\varphi(i+l,j+l)$

กล่าวคือเรากำลังมองหาจำนวนสีน้อยที่สุดสำหรับรูปสามเหลี่ยมเช่นที่ไม่มีรูปสามเหลี่ยมย่อยที่มีสีเท่ากันอย่างสม่ำเสมอ (ภาพต่อไปนี้แสดงให้เห็นถึงสีที่ไม่ถูกต้องในขณะที่จุดที่ไฮไลต์เป็นสี

$\ \ \ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$

$k$$n=1000$$27$$n=1000$$15$

$n$$2$$n\in\{2,3,4\}$$3$$5\leq n \leq 17$$n=17$

$n>17$$n=17$

$3$$n=18$$10$

$\ \ \ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$

$3$$n=19$$n \geq 19$

เพียงความคิดเห็นเพิ่มเติม:

คุณสามารถดูวิธีการที่ Steinbach และ Posthoff ใช้เพื่อค้นหา4 สีของตาราง 18x18 (และ 12x21) โดยไม่มีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแบบโมโนโครม :

แบร์นสไตน์บาและคริสเตียน Posthoff โซลูชั่นของ Open ล่าสุดสี่สีสี่เหลี่ยมผืนผ้าฟรีกริดที่ซับซ้อนมากหลายมูลค่าปัญหา ในการดำเนินการประชุมวิชาการนานาชาติ IEEE 43rd 2013 บนลอจิกหลายค่า (ISMVL '13)

$c$$n \times m$

แค่ข้อสังเกตด้านข้าง: ฉันใช้เวลาหลายสัปดาห์ในการวนรอบของ CPU ในปัญหาการระบายสี 4 สีแบบโมโนโครมแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้าเดียว แต่ฉันเริ่มต้นจากผลลัพธ์บางส่วนที่ไม่ถูกต้อง (การวิเคราะห์ก่อนหน้านี้ผิดพลาดที่ จำกัด จำนวนการกำหนดค่าย่อยแก้ STP จำกัด ; คุณสามารถปรับปรุงให้ดีขึ้นได้หากคุณเพิ่มข้อ จำกัด ที่ทำให้สมมาตรแตก (เช่นการเรียงลำดับสีของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม) และพยายามวิเคราะห์การกำหนดค่าที่เป็นไปได้โดยใช้เพียงสีเดียว

แก้ไข: นี่คือผลลัพธ์ของโปรแกรม STP สำหรับ n = 19 (~ 1 นาที)

$n \leq 22$$n=22$$n=23$$n=23$$n=23$

$n=19$$n=23$

$n=22$

ขอบคุณมากที่มาร์ซิโอที่สร้างภาพและแจ้งให้ฉันทราบเกี่ยวกับปัญหา! :-)