วิธีตรวจสอบว่าตัวเลขเป็นพลังที่สมบูรณ์แบบในเวลาพหุนาม

23

ขั้นตอนแรกของอัลกอริทึมการทดสอบแบบดั้งเดิมของ AKS คือการตรวจสอบว่าหมายเลขอินพุตนั้นเป็นพลังงานที่สมบูรณ์แบบหรือไม่ ดูเหมือนว่านี่เป็นข้อเท็จจริงที่รู้จักกันดีในทฤษฎีจำนวนเนื่องจากบทความไม่ได้อธิบายอย่างละเอียด มีคนบอกฉันได้ไหมว่าจะทำอย่างไรในเวลาพหุนาม ขอบคุณ

ds.algorithms nt.number-theory

— yzll
แหล่งที่มา

7

ขั้นตอนแรกของอัลกอริทึม AKS คือการทดสอบว่าหมายเลขอินพุทเป็นกำลังที่สมบูรณ์แบบ (จำนวนของรูปแบบสำหรับจำนวนเต็มบางส่วน c, n> 1) ซึ่งแตกต่างจากการทดสอบว่าจำนวนนั้นเป็นพลังงานเฉพาะหรือไม่ การทดสอบสำหรับพลังที่สมบูรณ์แบบคือการออกกำลังกาย 9.44 ของหนังสือที่อ้างถึงในกระดาษ ( พีชคณิตคอมพิวเตอร์สมัยใหม่โดย von zur Gathen และ Gerhard, 2003) ฉันยังไม่ได้อ่านหนังสือและไม่ทราบคำตอบ แต่คุณได้อ่านหนังสือเล่มนี้แล้วหรือยัง?

c^{n}

$c^n$

— Tsuyoshi Ito

1

ฉันเชื่อว่าขั้นตอนแรกของ AKS จะตรวจสอบว่าตัวเลขนั้นเป็นจำนวนเต็มบวกหรือไม่ หากทราบวิธีการตรวจสอบพลังงานสำคัญในเวลาพหุนามก่อนที่ AKS จะได้รับการทดสอบพหุนามเวลาพหุนามแล้ว

— arnab

@ ซึโยชิขอบคุณที่ชี้ให้เห็นความผิดพลาดของฉัน ฉันไม่ได้อ่านหนังสือ

— yzll

2

หากคุณสนใจคำถามนี้โปรดลองแก้ปัญหาก่อนโพสต์

— Tsuyoshi Ito

Tsuyoshi / arnab บางทีคุณควรโพสต์ใหม่เป็นคำตอบเพื่อให้สามารถยอมรับได้?

— Suresh Venkat

31

ได้รับหมายเลข A N ถ้าที่ทั้งหมดมันสามารถเขียนเป็น (b> 1) จากนั้น 1และสำหรับทุก ๆ ค่าคงที่ตรวจสอบว่ามีกับสามารถทำได้โดยใช้การค้นหาแบบไบนารี เวลาทำงานทั้งหมดจึงเป็นฉันเดา $a^b$ $b < \log(n) + 1$ $b$ $a$ $a^b = n$ $O(\log^2 n)$

— Ramprasad
แหล่งที่มา

5

Ramprasad ของใบคำตอบออกมาเวลาที่จะทำยกกำลังซึ่งเป็น

)

อีกวิธีหนึ่งคือการเลือก

แล้วคำนวณ

รากของ TH

ซึ่งจะมีเวลารวมของ

)

O (l o g^{3} n)

$O(log^3 n)$

b

$b$

b

$b$

n

$n$

O (l o g^{3} n)

$O(log^3 n)$

— David Marquis

1

การปรับปรุงอย่างง่ายที่จะลบ

factor โดยเลือก prime

เท่านั้น

\log \log n

$\log \log n$

b

$b$

— Chao Xu

16

ดู Bach และ Sorenson, อัลกอริทึม Sieve สำหรับการทดสอบพลังงานที่สมบูรณ์แบบ, อัลกอริทึม 9 (1993), 313-328, DOI: 10.1007 / BF01228507 และ DJ Bernstein ตรวจจับพลังที่สมบูรณ์แบบในเวลาเชิงเส้นเป็นหลัก คอมพ์ 67 (1998), 1253-1283

— Jeffrey Shallit
แหล่งที่มา

นอกจากนี้ยังมีกระดาษติดตามที่มีเวลาในการทำงานเชิงซีมโทติคที่ดีขึ้นและการรักษาที่ง่ายขึ้น: DJ Bernstein, HW Lenstra Jr. และ J. Pila, การตรวจจับพลังที่สมบูรณ์แบบโดยการแยกตัวประกอบใน coprimes, Math คอมพ์ 76 (2007), 385–388

— Erick Wong

3

ฉันพบวิธีแก้ปัญหาที่น่าสนใจและสง่างามในบทความ: ในการดำเนินการทดสอบแบบดั้งเดิมของ AKS โดย R.Crandall และ J.Papadopoulos, 18 Mar 2003

— Plomb
แหล่งที่มา

2

ยังไงก็เถอะผมสามารถแสดงให้เห็นว่าการค้นหาแบบทวิภาคคือ ) $O(lg~n \cdot (lg~lg~n)^2)$

ประการแรกมี nค้นหาแบบไบนารีขั้นตอนวิธีการ: สำหรับแต่ละเราจะใช้ค้นหา binary ที่จะหา $a^b = n$ $b<lg~n$
$b$ $a$

แต่ละเวลาในการคำนวณของต้นทุนการดำเนินงานโดยใช้ การยกกำลังอย่างรวดเร็ว ดังนั้นปัญหาที่เหลือคือช่วงของ $a^b$ $lg~b = lg~lg~n$ $a$

หากคือค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของดังนั้นการค้นหาแบบไบนารีต้องการ ดำเนินการ $A$ $a$ $lg~A$

โปรดทราบว่านั่นคือ $b~lg~a = lg~n$ เมื่อรวมกันแล้ว

l g A = \frac{l g n}{b}

$lg~A = \frac{lg~n}{b}$

\sum l g A = l g n \cdot (\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + . . . + \frac{1}{B}) = l g n \cdot l g B = l g n \cdot l g l g n

$\sum lg~A = lg~n \cdot (\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{B}) = lg~n \cdot lg~B = lg~n \cdot lg~lg~n$

กล่าวอีกนัยหนึ่งการดำเนินการทั้งหมดสำหรับการค้นหาแบบไบนารี่คือ $O(lg~n \cdot lg~lg~n)$

$a^b$ $O(lg~n \cdot (lg~lg~n)^2)$

ps: lg ทั้งหมดเป็นฐาน 2

รหัสหลาม:

#--- a^n ---------------------------------------
def fast_exponentation(a, n):
    ans = 1
    while n:
        if n & 1 : ans = ans * a
        a = a * a
        n >>= 1
    return ans
#------------------------------------------
# Determines whether n is a power a ^ b, O(lg n (lg lg n) ^ 2)
def is_power(n):
    if (- n & n) == n: return True  # 2 ^ k
    lgn = 1 + ( len( bin ( abs ( n ) ) ) - 2)
    for b in range(2,lgn):
        # b lg a = lg n
        lowa = 1L
        higha = 1L << (lgn / b + 1)
        while lowa < higha - 1:
            mida = (lowa + higha) >> 1
            ab = fast_exponentation(mida,b) 
            if ab > n:   higha = mida
            elif ab < n: lowa  = mida
            else:   return True # mida ^ b
    return False

— เควิน
แหล่งที่มา