ปัญหาอัลกอริทึมที่ดูยากทำได้ง่ายโดยทฤษฎีบท

ฉันกำลังมองหาตัวอย่างที่ดีที่มีปรากฏการณ์ต่อไปนี้เกิดขึ้น: (1) ปัญหาอัลกอริทึมดูยากถ้าคุณต้องการแก้ปัญหาให้ทำงานจากคำจำกัดความและใช้ผลลัพธ์มาตรฐานเท่านั้น (2) ในทางกลับกันมันจะกลายเป็นเรื่องง่ายถ้าคุณรู้ว่าบางทฤษฎี (ไม่ได้มาตรฐาน)

เป้าหมายของสิ่งนี้คือเพื่อแสดงให้นักเรียนเห็นว่าการเรียนรู้ทฤษฎีมากกว่านี้อาจมีประโยชน์แม้กับผู้ที่อยู่นอกสนามทฤษฎี (เช่นวิศวกรซอฟต์แวร์วิศวกรคอมพิวเตอร์ ฯลฯ ) นี่คือตัวอย่าง:

คำถาม:ได้รับจำนวนเต็ม , มีกราฟ -vertex อยู่ (และถ้าเป็นเช่นนั้น, หาหนึ่งอัน), เช่นว่าการเชื่อมต่อจุดยอดคือ , การเชื่อมต่อของขอบคือ , และระดับต่ำสุดคือ ?n k l $n, k, l, d$$n$$k$$l$$d$

โปรดทราบว่าเราต้องการให้พารามิเตอร์นั้นมีค่าเท่ากับตัวเลขที่กำหนดไม่ใช่เพียงขอบเขตเท่านั้น หากคุณต้องการแก้ปัญหานี้ตั้งแต่เริ่มต้นมันอาจดูค่อนข้างยาก ในทางตรงกันข้ามถ้าคุณคุ้นเคยกับทฤษฎีบทต่อไปนี้ (ดูทฤษฎีกราฟ Extremalโดย B. Bollobas) สถานการณ์จะแตกต่างกันมาก

ทฤษฎีบท:ปล่อยเป็นจำนวนเต็ม มีกราฟ -vertex พร้อมจุดเชื่อมต่อ , การเชื่อมต่อขอบ , และระดับต่ำสุด , ถ้าหากว่าตรงตามเงื่อนไขใด ๆ ต่อไปนี้:n k l $n, k, l, d$$n$$k$$l$$d$

• $0\leq k\leq l \leq d <\lfloor n/2 \rfloor$ ,
• $1\leq 2d+2-n\leq k\leq l = d< n-1$
• $k=l=d=n-1.$

เงื่อนไขเหล่านี้ง่ายต่อการตรวจสอบซึ่งเป็นความไม่เท่าเทียมกันอย่างง่าย ๆ ระหว่างพารามิเตอร์อินพุตดังนั้นคำถามการมีอยู่สามารถตอบได้อย่างง่ายดาย นอกจากนี้การพิสูจน์ทฤษฎีบทก็คือการสร้างสรรค์การแก้ไขปัญหาการก่อสร้างเช่นกัน ในทางกลับกันผลลัพธ์นี้ไม่ได้มาตรฐานเพียงพอดังนั้นคุณสามารถคาดหวังให้ทุกคนรู้เกี่ยวกับมัน

คุณสามารถให้ตัวอย่างเพิ่มเติมในจิตวิญญาณนี้โดยที่การรู้ทฤษฎีบท (ไม่ได้มาตรฐาน) ทำให้งานง่ายขึ้นมาก?

การตัดสินใจความผิดปกติของกลุ่มอย่างง่ายที่กำหนดโดยตารางการคูณของพวกเขา ความจริงที่ว่าสิ่งนี้สามารถทำได้ในเวลาพหุนามตามโดยตรงจากข้อเท็จจริงที่ว่าทุกกลุ่มง่าย ๆ สามารถถูกสร้างขึ้นได้อย่างมากที่สุด 2 องค์ประกอบและในปัจจุบันเป็นที่รู้จักเพียงพิสูจน์ความจริงที่ว่าใช้การจำแนกประเภทของกลุ่มธรรมดา จำกัด (บางทีอาจเป็นทฤษฎีบทที่ใหญ่ที่สุด - ในแง่ของผู้เขียนเอกสารและหน้า - พิสูจน์แล้วว่าเคย)

หากฉันเข้าใจคำถามของคุณอย่างถูกต้องตัวอย่างแบบบัญญัติจะตัดสินว่ากราฟมีวงจร Eulerian หรือไม่เทียบเท่ากับการตรวจสอบว่าเชื่อมต่อกันหรือไม่และจุดสุดยอดทุกอันมีระดับเท่ากันG$G$$G$

ช่วงบ่ายวันนี้ที่ผมอ่านStringology - ที่ "จริง" ทฤษฎีสตริง

ปัญหา:ถ้าและมีสองสายเหนือตัวอักษรบางอย่างเมื่อมีบางจำนวนเต็มบวกเช่นว่า ny m , n x m = y $x$$y$$m, n$$x^m = y^n$

ทฤษฎีบท:มีจำนวนเต็มบวกเช่นว่าถ้าหากYXx m = y n x y = y $m,n$$x^m = y^n$$xy = yx$

การหาจำนวนของรากที่แท้จริง (ชัดเจน) ของพหุนามจริงทั้งในℝทั้งหมดหรือในช่วงเวลาที่กำหนด ทฤษฎีบทของ Sturm บอกคุณว่าลำดับของพหุนามที่ตอบสนองความต้องการจำนวนน้อยสามารถใช้เพื่อนับจำนวนรากที่แท้จริงของพหุนามด้วยสัมประสิทธิ์จริง

จากนั้นสิ่งที่คุณต้องทำคือสร้างลำดับดังกล่าว (ซึ่งไม่ยากมาก แต่ต้องใช้ตัวพิมพ์เล็กและจัดการกับกรณีของพหุนามแบบแยกไม่ได้) และบ็อบเป็นลุงของคุณ

น่าแปลกที่มีคนไม่กี่คนที่รู้เกี่ยวกับผลลัพธ์นี้แม้จะค่อนข้างเก่า (1829) มันถูกใช้ใน Computer Algebra Systems หลายแห่ง แต่อาจารย์คณิตศาสตร์ทุกคนในมหาวิทยาลัยของฉันที่ฉันถามไม่เข้าใจทฤษฎีบทของ Sturm เลยหรือพวกเขารู้เพียงชื่อและมันมีส่วนเกี่ยวข้องกับรากของพหุนาม

คนส่วนใหญ่จะประหลาดใจมากเมื่อคุณบอกพวกเขาสิ่งที่เหมือนนับรากจริงตรงนี้เป็นเรื่องง่ายและไม่ต้องใช้ประมาณใด ๆ พิจารณาว่าการหารากเป็นการยากมาก (โปรดจำไว้ว่าสำหรับพหุนามระดับ degree 5 ไม่มีสูตร "เหมาะสม" สำหรับราก)

ทฤษฎีบท:กราฟระนาบทุกอันมีจุดยอดที่มีองศาไม่เกิน 5

ปัญหา:การออกแบบเป็นตัวแทนของกราฟเชิงระนาบที่เราสามารถตรวจสอบว่าเป็นขอบในการเวลา( u , v ) O ( 1 $O(n)$$(u, v)$$O(1)$

เราสามารถลบจุดสุดยอดที่มีระดับมากที่สุด 5 และเพิ่มลงในรายการเป็นคีย์และเพื่อนบ้านเป็นค่า กราฟที่เหลือยังเป็นระนาบและมีจุดสุดยอดที่มีระดับที่มากที่สุด 5. ดังนั้นพื้นที่ที่บริโภคเป็นอย่างมาก5nเราสามารถตรวจสอบว่าอยู่ในรายการ adjacency ของ ; ถ้าเราไม่สามารถตรวจสอบว่าที่อยู่ในรายชื่อของถ้อยคำยูขั้นตอนนี้ใช้เวลาไม่ขั้นu v v u $5n$$u$$v$$v$$u$$10$

ฉันคิดว่าโปสเตอร์เด็กสำหรับหมวดหมู่นี้อย่างน้อยที่สุดเท่าที่ความเกี่ยวข้องกับความยากลำบากเป็นปัญหาต่อไปนี้:

ให้กราฟระนาบเป็น 4 สีหรือไม่$G$$G$

ทฤษฎีบทสี่สีreturn trueลดความยุ่งยากในขั้นตอนวิธีการ

ไม่ว่าจะเป็นพหุนามจริง (หลายตัวแปร)สามารถแสดงเป็นผลรวมของกำลังสองของพหุนามที่แท้จริงสามารถแก้ไขได้โดยการลดการเขียนโปรแกรมกึ่งแน่นอน จำเป็นต้องรู้ SDP และ SDP นั้นสามารถแก้ไขได้อย่างมีประสิทธิภาพ$p$

อีกตัวอย่าง: กำหนดกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางมันมีการตัดขั้นต่ำซึ่งขอบทั้งหมดจะแยกออกจากกันหรือไม่? ถ้าเป็นเช่นนั้นหาหนึ่ง

ตั้งแต่แรกเห็นสิ่งนี้อาจดูยาก อย่างไรก็ตามมันกลายเป็นเรื่องง่าย แต่ถ้าคุณรู้ว่าผลลัพธ์ที่กราฟ -vertex ที่ไม่ได้บอกทิศทางสามารถมีการตัดขั้นต่ำได้สูงสุดและพวกมันสามารถแสดงรายการในเวลาพหุนามn ( n - 1 ) /$n$$n(n-1)/2$

มันสามารถขยายไปสู่การตัดเกือบขั้นต่ำซึ่งมีขนาดใหญ่กว่าการตัดต่ำสุด แต่อย่างมากโดยปัจจัยคงที่ จำนวนของพวกเขายังคงล้อมรอบด้วยพหุนาม

(ฉันไม่ได้ค้นหาข้อมูลอ้างอิงความทรงจำของฉันคือผลลัพธ์เหล่านี้เกิดจาก D. Karger)

ปัญหา: ความอิ่มใจของสูตร MSO (ตรรกะลำดับที่สองแบบ monadic) เหนือคำที่ จำกัด

ทฤษฎีบท: MSO เทียบเท่ากับขอบเขตออโตมาตะกับคำ จำกัด

สามารถยกขึ้นไปเป็นคำพูดไม่มีที่สิ้นสุดต้นไม้ จำกัด ต้นไม้ไม่มีที่สิ้นสุด

ตัวอย่างที่ซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย: การแยกตัวประกอบเมทริกซ์เชิงลบเมื่ออันดับที่ไม่ใช่ค่าลบเป็นค่าคงที่

บอกว่าฉันให้คุณเมทริกซ์พร้อมกับคำสัญญาว่ามีอยู่เป็นค่าลบ ,เช่นนั้น . ปัญหาคือการหาตัวประกอบดังกล่าวสำหรับ$A \in M_{m \times n}$$U \in M_{m \times k}$$V \in M_{k \times n}$$A = UV$$A$

ด้วยพีชคณิตเชิงเส้นเบื้องต้นสองสามบรรทัดคุณสามารถลดปัญหาในการแก้ไขระบบของความไม่เท่าเทียมกันของพหุนามในตัวแปรโดยที่คืออันดับที่ไม่ใช่เชิงลบของเมทริกซ์ที่คุณต้องการคำนึงถึง$O(r^2)$$r$

การใช้อัลกอริทึม Renegar ของค้อนแล้วคุณสามารถแก้ปัญหานี้ในเวลาและด้วยเหตุนี้การกู้คืนและVนี้อยู่ไม่ไกลจาก optimality เพราะมันเป็นผลประโยชน์ทับซ้อนยากที่จะแก้ปัญหาในเวลาที่ NMF(R)}$(mn)^{O(r^2)}$$U$$V$$(mn)^{o(r)}$

Decieional Diffie Hellman

มันระบุ: รับโดยที่เป็นตัวกำเนิดของกลุ่มวงจร , ตรวจสอบว่า$(g, g^a, g^b, g^c)$$g$$\mathbb{G}$$g^c = g^{ab}$

ภายใต้สมมติฐานมาตรฐานของความแข็งของปัญหาบันทึกแยกปัญหานี้อาจดูเหมือนยาก

อย่างไรก็ตามด้วยแผนที่ bilinear ปัญหานี้เป็นเรื่องง่ายและสามารถตรวจสอบได้เป็น

โดยที่$e: \mathbb{G} \times \mathbb{G} \rightarrow \mathbb{G}_T$

ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้สามารถอ่านได้เกี่ยวกับปัญหาการตัดสินใจแตกต่างเฮลแมนหรือ Boneh'98 หรือการค้นหา google บนการจับคู่

(เล็กน้อย) การดำรงอยู่ของ Nash สมดุลในเกม จำกัด จำนวน Hamiltonian Paths ในลูกบาศก์กราฟ, คะแนนคงที่ประเภทต่างๆ, การเปรียบเทียบที่สมดุลอย่างเหมาะสมในคำสั่งบางส่วนและปัญหา PPAD อื่น ๆ

หาการตัดขั้นต่ำ ให้กราฟถ่วงน้ำหนักและสองจุดยอด , หาเช่นที่และไม่ได้เชื่อมต่อในเช่นน้ำหนักรวมของคือ ขยายE ′ ⊂ E s t ( V , E ′ ) E $((V, E), s, t)$$E' \subset E$$s$$t$$(V, E')$$E'$

โดยทฤษฎีบทสูงสุดไหล / นาทีตัดนี้จะช่วยลดการหาการไหลสูงสุดจากไปในE) ปัญหานี้ไม่ได้เป็นเรื่องเล็กน้อย แต่เป็นความคิดที่เรียบง่ายใช้งานได้: ถ้าเราสามารถเพิ่มการไหลไปตามเส้นทาง -ได้ ส่วนที่ยุ่งยากคือการเลือกเส้นทางที่จะเพิ่มในทางที่พบการไหลสูงสุดอย่างรวดเร็วt ( V , E ) s $s$$t$$(V, E)$$s$$t$

นี่คืออีกตัวอย่าง: กำหนดกราฟอย่างง่ายที่ไม่ได้บอกทางให้ตัดสินใจว่ามันมีสองจุดยอด - แยกจากกัน

$\leq 2$$\geq 3$

$\geq 3$$K_5$$K_{3,n-3}$

เนื่องจากเป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่ากราฟเป็นหนึ่งในกราฟที่อนุญาตโดยทฤษฎีบทหรือไม่ซึ่งทำให้เรามีอัลกอริธึมเวลาพหุนามสำหรับปัญหาการตัดสินใจ

หมายเหตุ: (1) การพิสูจน์ทฤษฎีบทนั้นไม่ง่ายเลย (2) เมื่อเราตัดสินใจว่ามีวงจรแยกไม่ออกอยู่สองวงจรดูเหมือนจะไม่ค่อยชัดเจนในการแก้ปัญหาการค้นหาที่เกี่ยวข้องนั่นคือวิธีค้นหาวงจรดังกล่าวจริง ทฤษฎีบทไม่ได้ให้คำแนะนำโดยตรงกับสิ่งนั้น

ตัวอย่างที่ซับซ้อนน้อยกว่า: มีคุณสมบัติคล้ายทฤษฎีบทบางอย่างที่แสดงว่าอัลกอริทึมโลภสำหรับปัญหาบางอย่างเหมาะสมที่สุด มันไม่ชัดเจนนักสำหรับผู้ที่ไม่ได้ฝึกหัดต้นสแปนนิ่งขั้นต่ำสามารถพบได้โดยอัลกอริธึมโลภ แนวคิดที่คล้ายคลึงกันค่อนข้างเป็นอัลกอริทึมของ Dijkstraเพื่อหาเส้นทางที่สั้นที่สุดในกราฟ จริง ๆ แล้วในทั้งสองกรณีที่เกี่ยวข้อง "ทฤษฎีบท" เกือบจะเหมือนกับอัลกอริธึม

ค้นหาลำดับหมายเลข Fibonacci ที่เป็นผลผลิตของหมายเลข Fibonacci อื่น ๆ ตัวอย่างเช่นหมายเลขฟีโบนักชี 8 อยู่ในลำดับเนื่องจาก 8 = 2 * 2 * 2 และ 2 เป็นหมายเลขฟีโบนักชีที่ไม่เท่ากับ 8 หมายเลขฟีโบนักชี 144 อยู่ในลำดับเนื่องจาก 144 = 3 * 3 * 2 * 2 2 * 2 * 2 และทั้ง 2 และ 3 เป็นหมายเลขฟีโบนักชีที่ไม่เท่ากับ 144

ทฤษฎีบทของคาร์ไมเคิลบอกเป็นนัยว่า 8 และ 144 เป็นศัพท์เฉพาะของลำดับนี้