การประมาณค่าอัตโนมัติของกราฟที่ไม่น่าสนใจ?

กราฟ automorphism คือการเปลี่ยนแปลงของต่อมน้ำกราฟที่ก่อให้เกิด bijection บนขอบชุดEเป็นทางการมันคือการเปลี่ยนแปลงของโหนดเช่น ifff ( u , v ) ∈ E ( f ( u ) , f ( v ) ) ∈ $E$$f$$(u,v)\in E$$(f(u),f(v))\in E$

กำหนดขอบที่ละเมิดสำหรับการเปลี่ยนแปลงบางอย่างเป็นขอบที่แมปกับที่ไม่ใช่ขอบหรือขอบที่ preimage ที่ไม่ใช่ขอบ

อินพุต : กราฟที่ไม่แข็ง$G(V, E)$

ปัญหา : ค้นหาการเปลี่ยนแปลง (ไม่ใช่ตัวตน) ที่ลดจำนวนขอบที่ถูกละเมิดให้เหลือน้อยที่สุด

ความซับซ้อนในการค้นหาการเปลี่ยนแปลง (ไม่ระบุตัวตน) ด้วยจำนวนขั้นต่ำของขอบที่ถูกละเมิดคืออะไร? ปัญหายากสำหรับกราฟที่มีระดับสูงสุด (ภายใต้สมมติฐานที่ซับซ้อน) ตัวอย่างเช่นมันยากสำหรับกราฟลูกบาศก์หรือไม่$k$

แรงจูงใจ:ปัญหาคือการผ่อนคลายของปัญหาออโตมอร์ฟิซึมกราฟ (GA) กราฟอินพุทอาจมีออโต้มอร์ฟิซึ่มส์เล็กน้อย (เช่นกราฟที่ไม่แข็ง) มันยากแค่ไหนในการหาออโตมอร์ฟิซึ่มโดยประมาณ

แก้ไข 22 เมษายน

กราฟแข็ง (ไม่สมมาตร) มีออโตฟิซึมเพียงเล็กน้อยเท่านั้น กราฟที่ไม่แข็งมีสมมาตร (จำกัด ) บางส่วนและฉันต้องการที่จะเข้าใจความซับซ้อนของการประมาณสมมาตรของมัน

ฉันไม่เข้าใจแรงจูงใจที่ดีมาก อย่างไรก็ตามให้ฉันตอบคำถามที่เกี่ยวข้อง ในกรอบการทดสอบคุณสมบัติคุณจะได้รับกราฟสองกราฟ adและต้องการแยกสองกรณีตามพารามิเตอร์ :H $G$$H$$\epsilon$

1. $G$และเป็น isomorphic$H$
2. การอ้างถึงจากถึงใด ๆทำให้เกิดข้อผิดพลาดอย่างน้อยขอบH ϵ ($G$$H$$\epsilon \binom{n}{2}$

เมทริกความซับซ้อนคือจำนวนของโพรบกับเมทริกซ์ adjacency และเป้าหมายคือเพื่อแยกความแตกต่างของสองกรณีที่มีความน่าจะเป็นสูงโดยใช้โพรบจำนวนต่ำกว่า

Eldar Fischer และ Arie Matsliah ( ขอบคุณ arnab ) มีบทความใน SODA 2006เกี่ยวกับปัญหานี้อย่างแม่นยำ แม้ว่ามันจะไม่เชื่อมต่อกับปัญหาของคุณโดยตรง แต่อาจเป็นวิธีการกำหนดปัญหาที่เป็นไปได้และอาจมีเทคนิคที่มีประโยชน์สำหรับคุณ

ผลลัพธ์ของ Eugene Luks (" Isomorphism ของกราฟของขอบเขต valence สามารถทดสอบในเวลาพหุนาม ") แสดงว่ากราฟ isomorphism (หรือออโตมอร์ฟิซึม) สำหรับกราฟองศามีขอบเขตอยู่ในเวลาพหุนาม ดังนั้นหากคุณกำลังมองหาบางอย่าง (ไม่ใช่อัตลักษณ์ตามที่ Jukka ชี้ให้เห็น) เกือบอัตโนมัติสำหรับกราฟลูกบาศก์ที่ไม่แข็งทื่อเราสามารถใช้อัลกอริธึมของ Luks และรับออโตมอร์ฟิซึ่มเล็กน้อยในกราฟได้