ความซับซ้อนของปัญหาเส้นทางนี้คืออะไร?

เช่น:ไม่มีทิศทางกราฟมีสองจุดโดดเด่นและจำนวนเต็ม 2 $G$ $s\neq t$ $k\geq 2$

คำถาม:มีเส้นทางในหรือไม่เช่นนั้นเส้นทางที่สัมผัสกับจุดยอดมากที่สุด? (จุดสุดยอดสัมผัสโดยเส้นทางหากจุดสุดยอดอยู่บนเส้นทางหรือมีเพื่อนบ้านบนเส้นทาง) $s-t$ $G$ $k$

cc.complexity-theory graph-theory graph-algorithms

— Andras Farago
แหล่งที่มา

ฟังดูเหมือนเป็นการย่อขนาด submodular minimized น่าเสียดายที่มันยังไม่ชัดเจนว่าชุดของข้อ จำกัด ยอมรับวิธีแก้ปัญหาที่มีประสิทธิภาพ

— Suresh Venkat

คำตอบของฉันของ

ก็อาจจะไม่ถูกต้อง! หลังจากตรวจสอบอย่างละเอียดยิ่งขึ้นฮิวริสติกดูเหมือนจะไม่ได้โทนสีเดียว

A^{*}

$A^*$

— usul

การติดตามความคิดเห็นของ Suresh นั้นมีค่าในขณะที่ตรวจสอบกระดาษ "การประมาณปัญหา Combinatorial ด้วยฟังก์ชั่นต้นทุน Submodular หลายตัวแทน" ที่แสดงเส้นทางที่สั้นที่สุดค่าใช้จ่าย submodular ยาก อาจมีแนวคิดที่แสดงความแข็ง computer.org/csdl/proceedings/focs/2009/3850/00/…

— Chandra Chekuri

ปัญหานี้สามารถนำมาใช้ใหม่ได้ด้วยการหากราฟย่อยของหนอนผีเสื้อที่มีจุดยอด

สูงสุดที่รวม

และ

บนเส้นทางที่ยาวที่สุด

k

$k$

s

$s$

t

$t$

— Obinna Okechukwu

@Obinna กราฟย่อยของหนอนผีเสื้อจำเป็นต้องมีความสำคัญสูงสุดเนื่องจากเราต้องรวมเพื่อนบ้านทั้งหมดของเส้นทางที่ยาวที่สุด

— SamM

คำตอบ:

ปัญหานี้ถูกศึกษาใน:

Shiri Chechik, Matthew P. Johnson, Merav Parter, David Peleg: ปัญหาการเชื่อมต่อที่เงียบสงบ ESA 2013: 301-312

http://arxiv.org/pdf/1212.6176v1.pdf

พวกเขาเรียกมันว่าปัญหาเส้นทางที่เงียบสงบ มันเป็น NP-hard แน่นอนและรุ่นการปรับให้เหมาะสมไม่มีการประมาณปัจจัยคงที่

แรงจูงใจที่ผู้เขียนจัดให้มีการตั้งค่าที่ข้อมูลจะถูกส่งผ่านเส้นทางและมีเพียงเพื่อนบ้านและโหนดในเส้นทางที่สามารถมองเห็นได้ เป้าหมายคือเพื่อลดการรับแสง

— user20655
แหล่งที่มา

แก้ไข:โปรดดูคำตอบของ user20655 ด้านล่างสำหรับการอ้างอิงไปยังกระดาษที่พิสูจน์ความแข็งของปัญหานี้แล้ว ฉันจะออกจากโพสต์ต้นฉบับของฉันในกรณีที่ทุกคนต้องการที่จะเห็นหลักฐานทางเลือกนี้

===============

$X = \{x_1, x_2, \cdots\, x_n\}$ $C = \{c_1, c_2, c_3, \cdots\}$

$x_i$ $c_i$ $m = 2n+|C|$ $m$ $p_1, p_2, \cdots, p_{m}$

$s$ $t$ $x_i$ $\bar{x_i}$ $c_j$ $p_i$ $c_j$

$x_i$ $c_j$ $x_i$ $\overline{x_i}$ $c_j$ $\overline{x_i}$ $x_i$ $\overline{x_i}$ $x_{i+1}$ $\overline{x_{i+1}}$ $s$ $x_1$ $\overline{x_1}$ $t$ $x_n$ $\overline{x_n}$ $c_i$ $p_j$

การก่อสร้างของอินสแตนซ์ที่ยาก

$\{P_i\}$ $c_j$ $c_j$

$Q + 2n + 2$ $Q$

$s$ $t$ $y_i \in \{x_i, \overline{x_i}\}$ $y_{i+1} \in \{x_{i+1}, \overline{x_{i+1}}\}$ $x_i$ $\overline{x_i}$ $i \in 1, \cdots, n$ (นี่คือสัญชาตญาณเนื่องจากการลบหนึ่งในสองตัวเลือกจากตัวแปรใด ๆ ที่เลือกสองครั้งให้เส้นทางที่ถูกต้องด้วยค่าใช้จ่ายที่ไม่ใหญ่กว่าที่เราเก็บไว้ทั้งคู่)
$m+2$ $s, x_1, x_2, \cdots, x_n, t$ $s$ $t$ $\{x_i\}$ $\{\overline{x_i}\}$ $\{c_i\}$ $s-t$ $s$ $t$ $c_i$ $x_i$ $x_j$ $\{p\}$ $\geq m+5$
$s$ $t$ $c_j$ $c_j$ $Q$ $Q$ $c_j$
$x_i$ $\overline{x_i}$ $s$ $t$ $2n + 2$ $c_i$ $Q$

$\leq k$ $\leq k + 2n + 2$

— Yonatan N
แหล่งที่มา