สมาชิกที่ไม่น่าสนใจใน NP

27

มีตัวอย่างของภาษาที่อยู่ในแต่ที่เราไม่สามารถพิสูจน์ความจริงนี้โดยตรงโดยแสดงว่ามีพยานพหุนามสำหรับสมาชิกในภาษานี้อยู่หรือไม่ $NP$

แต่ความจริงที่ว่าภาษานั้นอยู่ในจะถูกพิสูจน์ด้วยการลดลงเป็นภาษาอื่นในซึ่งการเชื่อมโยงระหว่างทั้งสองนั้นไม่สำคัญและต้องการการวิเคราะห์อย่างระมัดระวัง $NP$ $NP$

โดยทั่วไปแล้วจะมีตัวอย่างที่น่าสนใจของปัญหาในเพื่อให้มันยากที่จะเห็นว่าพวกเขาอยู่ในหรือไม่ $NP$ $NP$

กึ่งคำตอบจะเป็นปัญหาของการตัดสินใจผู้ชนะในเกม parity: เพื่อแสดงว่ามันอยู่ใน (แม้แต่ ) เราต้องการทฤษฎีบทการกำหนดตำแหน่งที่ลึกและไม่สำคัญ อย่างไรก็ตามคำตอบนี้ไม่เหมาะเพราะมันยังคงเดือดร้อนถึงการมีอยู่ของพยานพหุนามสำหรับปัญหาที่แน่นอนนี้ (กลยุทธ์ตำแหน่ง) และไม่ลดอื่น $NP$ $NP\cap coNP$ $NP$

อีกอันหนึ่งก็คืออัลกอริธึมแบบดั้งเดิมของ AKS: การตัดสินใจว่าตัวเลขนั้นเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่เป็นพหุนามในขณะที่มีการประกาศก่อนหน้านี้ไม่มีพยานเล็กน้อยสำหรับข้อเท็จจริงนี้ สมมติว่าเราแยกแยะ "อัลกอริทึมพหุนามที่น่าประหลาดใจ" เนื่องจากหลายคนน่าจะพอดีกับคำอธิบายข้างต้น ฉันสนใจอัลกอริธึมน่าประหลาดใจมากกว่าซึ่งไม่ได้กำหนดไว้ $NP$

reductions np

— เดนิส
แหล่งที่มา

12

เรารู้ว่าช่วงเวลานั้นอยู่ใน NP ก่อนที่ AKS เพราะนั้นยอดเยี่ยมถ้ามีนั่นคือ

และสำหรับตัวหารหลักทั้งหมดของ

,

n

n > 2

$n > 2$

1 < r < n

$1<r<n$

r^{n - 1} = 1 \mod n

$r^{n−1} = 1 \mod n$

n - 1

$n−1$

r^{\frac{n - 1}{q}} \neq 1 \mod n

$r^\frac{n-1}{q} \neq 1 \mod n$

— Artem Kaznatcheev

น่าสนใจฉันไม่ได้คิดเกี่ยวกับใบรับรองดั้งเดิม

— เดนิส

6

สระว่ายน้ำที่ดีสำหรับตัวอย่างของการเป็นสมาชิกที่ไม่น่าสนใจใน NP อาจมาจากปัญหาที่ได้รับการเปิดสำหรับบางเวลาไม่ว่าพวกเขาจะตัดสินใจได้ ปัญหาสองประการจากด้านบนของหมวกของฉัน: การจดจำกราฟสตริงและการจดจำ unknot (และประเภทปมทั่วไปมากขึ้น) ในทั้งสองกรณีแม้ว่าจะมีพยานพหุนามอยู่ (คือเส้นโค้ง / พื้นผิวปกติ) - พวกเขาเพิ่งจะหายาก ความเป็นปมนั้นยังอยู่ใน NP และมันก็ไม่ใช่เรื่องไร้สาระ: มีใบรับรองอยู่ แต่ต้องการใบรับรองสมมุติฐานของ Riemann เพื่อให้มีพหุนามผูกกับขนาดของมัน

— Arnaud

'ปัญหาวงโคจร' ยังไม่ทราบว่าสามารถตัดสินใจได้เป็นเวลานาน ในที่สุดมันก็ได้รับการพิสูจน์ว่าอยู่ใน P. Prof. Lipton มีบทความที่ยอดเยี่ยมในบล็อกของเขาเกี่ยวกับประวัติของปัญหานี้: rjlipton.wordpress.com/2009/09/02/the-orbit-problem

— Jagadish

3

อีกตัวอย่างหนึ่ง: รับกราฟตัดสินใจว่ามันสมบูรณ์แบบหรือไม่ ปัญหาสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม แต่ใช้เวลาสักครู่เพื่อพิสูจน์ว่ามันอยู่ใน NP

— Jagadish

20

การเขียนโปรแกรมจำนวนเต็ม

แสดงว่าหากมีวิธีการแก้ปัญหาจำนวนเต็มแล้วมีวิธีแก้ปัญหาจำนวนเต็มขนาดพหุนามมีส่วนร่วมค่อนข้าง ดู

Christos Papadimitriou " บนความซับซ้อนของการเขียนโปรแกรมจำนวนเต็ม ", JACM, 1981

— Kaveh
แหล่งที่มา

4

ดู Christos Papadimitriou บนความซับซ้อนของการเขียนโปรแกรมจำนวนเต็ม JACM 28 765–768 dx.doi.org/10.1145/322276.322287 (มันควรค่าแก่การอ่านและมีความยาวเพียงสี่หน้า)

— András Salamon

1

หากคุณไม่ได้มีการเข้าถึง ACM DL คุณสามารถได้รับกระดาษ Papadimitriou จากที่นี่

— Kaveh

17

ในขณะที่ปัญหา "คือจำนวนข้ามกราฟที่มากที่สุด ?" เป็นปัญหาเล็กน้อยใน NP ปัญหาสมาชิกที่เกี่ยวข้องของหมายเลขข้ามเป็นเส้นตรงและหมายเลขข้ามคู่ไม่ชัดเจนอย่างชัดเจน cf เลย Bienstock ปัญหาบางอย่างเกี่ยวกับการข้ามหมายเลข, Comprete Comput เรขาคณิต 6 (1991) 443-459 และ Schaefer et al., การรับรู้กราฟสตริงใน NP, J. Comput ระบบวิทย์ 67 (2003) 365-380 $k$

— user13136
แหล่งที่มา

13

ตัวอย่างที่ฉันชอบคือผลงานคลาสสิกปี 1977 จากAshok Chandraและ Philip Merlin พวกเขาแสดงให้เห็นว่าปัญหาการบรรจุแบบสอบถามนั้นสามารถตัดสินใจได้สำหรับการสืบค้นที่เชื่อมโยงกัน ปัญหาการสืบค้นที่เชื่อมโยงกันกลายเป็นปัญหาที่เทียบเท่ากับการตัดสินใจว่ามีโฮโมมอร์ฟิซึมระหว่างคำสั่งอินพุตทั้งสองหรือไม่ rephrases ปัญหาซีแมนทิกส์ที่เกี่ยวข้องกับการหาปริมาณในเซตอนันต์เข้าไปใน syntactic หนึ่งต้องการเพียงการตรวจสอบจำนวน จำกัด ของ homomorphisms ที่เป็นไปได้ ใบรับรองโฮโมมอร์ฟิสม์มีขนาดเชิงเส้นเท่านั้นดังนั้นปัญหาจึงอยู่ใน NP

ทฤษฎีบทนี้ให้หนึ่งในรากฐานของทฤษฎีการเพิ่มประสิทธิภาพการสืบค้นฐานข้อมูล แนวคิดคือการแปลงแบบสอบถามเป็นอีกแบบสอบถามหนึ่งที่เร็วขึ้น อย่างไรก็ตามหนึ่งต้องการความมั่นใจว่ากระบวนการปรับให้เหมาะสมไม่ได้สร้างแบบสอบถามใหม่ที่ล้มเหลวในการให้คำตอบกับฐานข้อมูลบางอย่างที่แบบสอบถามต้นฉบับสร้างผลลัพธ์

อย่างเป็นทางการเป็นสืบค้นฐานข้อมูลคือการแสดงออกของรูปแบบที่คือรายการของตัวแปรฟรีเป็นรายการของตัวแปรที่ถูกผูกไว้และเป็นสูตรลำดับแรกที่มีตัวแปรและของภาษาที่มีสัญลักษณ์ความสัมพันธ์ แบบสอบถามอาจมีปริมาณที่มีอยู่และเป็นสากลสูตรอาจมีการรวมและการแยกของอะตอมที่สัมพันธ์กันและการปฏิเสธอาจปรากฏขึ้น แบบสอบถามถูกนำไปใช้กับอินสแตนซ์ฐานข้อมูลซึ่งเป็นชุดของความสัมพันธ์ ผลลัพธ์คือชุดของสิ่งอันดับ เมื่อทูเปิล $\mathbf{x}.Q(\mathbf{x},\mathbf{y})$ $\mathbf{x}$ $\mathbf{y}$ $Q(\mathbf{x},\mathbf{y})$ $\mathbf{x}$ $\mathbf{y}$ $Q$ $I$ $\mathbf{t}$ ในผลลัพธ์ถูกแทนที่สำหรับจากนั้นสูตรสามารถทำได้ จากนั้นหนึ่งสามารถเปรียบเทียบสองแบบสอบถาม:อยู่ในถ้าเมื่อใดก็ตามที่นำไปใช้กับอินสแตนซ์ฐานข้อมูลที่กำหนดเองที่สร้างผลลัพธ์บางอย่างแล้วนำไปใช้กับอินสแตนซ์เดียวกันยังสร้างผลลัพธ์บางอย่าง (มันตกลงถ้าไม่ก่อให้เกิดผล แต่ไม่ แต่สำหรับบรรจุความหมายต้องถือสำหรับทุกกรณีที่เป็นไปได้.) The ปัญหาแบบสอบถามบรรจุถาม: ได้รับสองฐานข้อมูลแบบสอบถาม $\mathbf{x}$ $Q(\mathbf{t},\mathbf{y})$ $Q_1$ $Q_2$ $Q_1$ $I$ $Q_2$ $I$ $Q_1$ $Q_2$ $Q_1$ และมีอยู่ในหรือไม่ $Q_2$ $Q_1$ $Q_2$

มันไม่ชัดเจนเลยก่อนที่จันทรา - เมอร์ลินว่าปัญหาจะสามารถแก้ไขได้ การใช้คำจำกัดความเพียงอย่างเดียวเราจะต้องวัดปริมาณชุดฐานข้อมูลที่ไม่มีที่สิ้นสุดทั้งหมด หากการสืบค้นไม่ถูก จำกัด แสดงว่าจริง ๆ แล้วปัญหาคือ undecidable: ให้เป็นสูตรที่เป็นจริงเสมอนั้นจะมีอยู่ในถ้านั้นถูกต้อง (นี่คือEntscheidungsproblemของฮิลแบร์ตซึ่งแสดงไม่ได้โดยโบสถ์และทัวริงในปี 1936) $Q_1$ $Q_1$ $Q_2$ $Q_2$

เพื่อหลีกเลี่ยง undecidability แบบสอบถามที่เชื่อมโยงกันมีรูปแบบที่ค่อนข้าง จำกัด :มีเพียงปริมาณที่มีอยู่และไม่อนุญาตการปฏิเสธและการแยก ดังนั้นเป็นสูตรการดำรงอยู่ในเชิงบวกที่มีการรวมกันของอะตอมเชิงสัมพันธ์เท่านั้น นี่เป็นส่วนเล็ก ๆ ของตรรกะ แต่ก็เพียงพอที่จะแสดงส่วนใหญ่ของแบบสอบถามฐานข้อมูลที่มีประโยชน์ คำสั่งคลาสสิกใน SQL จะแสดงเคียวรีที่เชื่อมโยงกัน; ข้อความค้นหาของเครื่องมือค้นหาส่วนใหญ่เป็นข้อความค้นหาที่เชื่อมต่อกัน $Q$ $Q$ SELECT ... FROM

เราสามารถนิยามโฮโมมอร์ฟิซึมระหว่างการสืบค้นในวิธีที่ตรงไปตรงมา (คล้ายกับกราฟโฮโมมอร์ฟิซึมโดยมีการทำบัญชีเพิ่มเล็กน้อย) ทฤษฎีบทจันทรา - เมอร์ลินพูดว่า: ได้รับข้อความค้นหาสองอันเชื่อมโยงกันและ $Q_1$ $Q_2$ $Q_1$ $Q_2$ $Q_2$ $Q_1$

Ashok K. จันทราและฟิลิปเอ็มเมอร์ลินการปฏิบัติตามคำสั่งที่เหมาะสมที่สุดในฐานข้อมูลเชิงสัมพันธ์ , STOC '77 77-90 ดอย: 10.1145 / 800105.803397

$\Pi^P_2$

— András Salamon
แหล่งที่มา

4

ฉันพบผู้สมัครที่ดีขณะอ่านบทความเกี่ยวกับสมการไดโอแฟนไทน์สมการกำลังสอง:

JC Lagarias ใบรับรองรวบรัดสำหรับคำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์เลขฐานสอง (2549)

$L(F)$ $F$ $a x_1^2 +b x_1 x_2+ c x_2^2 +d x_1+e x_2 + f = 0$ $F$ $F$ $O(L(F)^5 \log L(F) \log \log L(F))$ $\Sigma = \{F : F \text{ has a nonnegative integer solution}\}$

... แต่ - พูดตามตรง - หลักฐานเดียวที่ฉันมีว่ามันเป็นเรื่องไร้สาระคือจำนวนหน้ากระดาษ ... 62! :-)

— Marzio De Biasi
แหล่งที่มา

4

เมื่อการรับรู้การยอมรับกราฟความอดทนถูกเปิดกระดาษต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่ามันอยู่ใน NP:

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166218X04000940

(ในภายหลังการยอมรับกราฟความอดทนก็แสดงว่าเป็น NP ที่สมบูรณ์: http://arxiv.org/abs/1001.3251 )

— JimN
แหล่งที่มา

3

การตัดสินใจเกี่ยวกับความสามารถในการเข้าถึงสำหรับระบบต่าง ๆ ที่ไม่มีที่สิ้นสุดในบางครั้งก็สามารถตัดสินใจได้ สำหรับกรณีพิเศษที่น่าสนใจมีใบรับรองที่ตรวจสอบได้น้อยและมีประสิทธิภาพเพียงพออยู่เสมอทำให้เกิดปัญหาดังกล่าวใน NP นี่คือการรักษาที่เรียบร้อยสำหรับออโตเมทริกแบบพารามิเตอร์เดียว:

Christoph Haase, Stephan Kreutzer, Joël Ouaknine, James Worrell, ความสามารถในการเข้าถึงสั้นกระชับและพารามิเตอร์แบบออโตมาตา , CONCUR 2009, LNCS 5710 369–383 ดอย: 10.1007 / 978-3-642-04081-8_25 ( เวอร์ชั่นเพิ่มเติม )

— András Salamon
แหล่งที่มา

3

$NP$ $L_1, L_2$ $L_1\in NP$ $L_2\notin NP$ $L$

L = L_{1} if the twin prime conjecture is true, and L = L_{2} otherwise

$L=L_1 \; \mbox{if the twin prime conjecture is true, and } \; L=L_2 \; \mbox{otherwise}$

$L\in NP$ $L\in NP$ $NP$

— Andras Farago
แหล่งที่มา

5

L = {x : x \in L_{2} \land \neg \exists m \leq | x |

$L = \{x : x \in L_2 \wedge \neg\exists m \leq |x|$

}

$\}$

L_{2}

$L_2$

— Joshua Grochow