แทนหรือด้วยพหุนาม

ฉันรู้ว่าฟังก์ชั่น OR บน$n$ตัวแปร$x_1,\ldots, x_n$สามารถแทนได้อย่างแม่นยำโดยพหุนาม$p(x_1,\ldots,x_n)$เช่น: $p(x_1,\ldots,x_n) = 1-\prod_{i = 1}^n\left(1-x_i\right)$ซึ่งเป็นปริญญาn$n$

แต่วิธีการที่ฉันสามารถแสดงสิ่งที่ดูเหมือนชัดเจนว่าถ้า$p$เป็นพหุนามที่แสดงถึงหรือฟังก์ชั่นตรง (เพื่อ$\forall x \in \{0,1\}^n : p(x) = \bigvee_{i = 1}^n x_i$ ) แล้ว$\deg(p) \ge n$ ?

ให้f : { 0 , 1 } n → { 0 , 1 }เป็นฟังก์ชันบูลีน ถ้ามันมีพหุนามตัวแทนPแล้วมันมี multilinear พหุนามตัวแทนQปริญญาองศาQ ≤ องศาP : เพียงแค่เปลี่ยนไฟใด ๆx k ฉันที่k ≥ 2โดยxฉัน ดังนั้นเราสามารถ จำกัด ความสนใจของเราในชื่อพหุนามหลายระดับ$f\colon \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$P$$Q$$\deg Q \leq \deg P$$x_i^k$$k \geq 2$$x_i$

การอ้างสิทธิ์:ชื่อที่ประกอบด้วยหลาย{ Π ฉัน∈ S x ฉัน : S ⊆ [ n ] }เป็นฟังก์ชั่น{ 0 , 1 } n → Rรูปแบบพื้นฐานของพื้นที่ของการทำงานทั้งหมด{ 0 , 1 } n → R$\{ \prod_{i \in S} x_i : S \subseteq [n] \}$$\{0,1\}^n \to \mathbb{R}$$\{0,1\}^n \to \mathbb{R}$

หลักฐาน:เราแสดงให้เห็นเป็นครั้งแรกว่าชื่อพหุนามมีความเป็นเส้นตรง สมมติว่าF = Σ S คS Π ฉัน∈ S x ฉัน = 0สำหรับทุก( x 1 , ... , x n ) ∈ { 0 , 1 } n เราพิสูจน์โดยอุปนัย (ที่แข็งแกร่ง) ใน| S | ที่คS = 0 สมมติว่าc T = 0สำหรับทั้งหมด| $f = \sum_S c_S \prod_{i \in S} x_i = 0$$(x_1,\ldots,x_n) \in \{0,1\}^n$$|S|$$c_S = 0$$c_T = 0$| < kและให้เราได้รับชุด Sของ cardinalityk สำหรับทุก T ⊂ Sเราทราบโดยการเหนี่ยวนำที่คT = 0และ 0 = F ( 1 S ) = คSที่ 1 Sคือการป้อนข้อมูลซึ่งเป็น 1ในพิกัดของS$|T| < k$$S$$k$$T \subset S$$c_T = 0$$0 = f(1_S) = c_S$$1_S$$1$$S$$~\qquad\square$

การอ้างสิทธิ์แสดงให้เห็นว่าการแสดงหลายฟังก์ชันหลายชั้นของฟังก์ชันf : { 0 , 1 } n → { 0 , 1 }ไม่ซ้ำกัน (แน่นอนfไม่จำเป็นต้องเป็น0 / 1-ค่า) การแสดงที่เป็นเอกลักษณ์ของ multilinear หรือเป็น1 - Π ฉัน ( 1 - x ผม )ซึ่งมีการศึกษาระดับปริญญาn$f\colon \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$f$$0/1$$1-\prod_i(1-x_i)$$n$

ให้Pเป็นพหุนามเช่นว่าทุกx ∈ { 0 , 1 } n , P ( x ) = O R ( x ) พิจารณาความสมมาตรของพหุนามp : q ( k ) = $p$$x\in \{0,1\}^n$$p(x) = \sf{OR}(x)$$p$( nk ) ∑x:| x| =kP(x) โปรดทราบว่าเนื่องจากฟังก์ชัน OR เป็นฟังก์ชั่นบูลสมมาตรเรามีว่าสำหรับk=1,2,...,n,Q(k)=1และQ(0)=0 ตั้งแต่Q-1เป็นที่ไม่ใช่ศูนย์พหุนามและจะได้อย่างน้อยn0 ก็จะต้องมีการศึกษาระดับปริญญาอย่างน้อยn ดังนั้น,

การสมมาตรมักใช้ในการศึกษาระดับฟังก์ชันบูลีนโดยประมาณและความซับซ้อนของการค้นหาควอนตัม ดูตัวอย่างเช่นhttp://www.math.uwaterloo.ca/~amchilds/teaching/w11/l19.pdf

Yuval และ Henry ได้ให้หลักฐานที่แตกต่างกันสองข้อเกี่ยวกับข้อเท็จจริงนี้ นี่คือหลักฐานที่สาม

อันดับแรกเช่นเดียวกับคำตอบของ Yuval เรา จำกัด ความสนใจของเราในชื่อพหุนามหลายระดับ ตอนนี้คุณมีการจัดแสดงอยู่แล้วในระดับnพหุนาม multilinear ที่เท่ากับหรือฟังก์ชั่น ทีนี้สิ่งที่เราต้องแสดงก็คือพหุนามนี้มีเอกลักษณ์และด้วยเหตุนี้คุณจึงพบการแทนฟังก์ชัน OR เพียงอันเดียวในฐานะพหุนาม ดังนั้นการศึกษาระดับปริญญาที่เป็นn$n$$n$

การอ้างสิทธิ์: หากชื่อพหุนามหลายคู่สอง p และ q เท่ากับไฮเปอร์คิวบ์พวกเขาจะเท่ากันทุกที่

หลักฐาน: Let R (x) = P (x) - Q (x) และเรารู้ว่า R (x) = 0 สำหรับทุก x ใน{ 0 , 1 } n เราต้องการแสดงให้เห็นว่า r (x) เป็นศูนย์เหมือนกัน ต่อความขัดแย้งสมมติว่าไม่ใช่และเลือก monomial ใด ๆ ใน r ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ไม่ใช่ศูนย์ที่มีระดับน้อยที่สุด ตั้งค่าตัวแปรทั้งหมดภายนอก monomial นี้ให้เป็น 0 และตัวแปรทั้งหมดใน monomial นี้เป็น 1 r (x) เป็นค่าที่ไม่ใช่ศูนย์ในอินพุตนี้ แต่อินพุตนี้คือบูลีนซึ่งเป็นความขัดแย้ง$\{0,1\}^n$