คำถามติดแท็ก polynomials

มีใครรู้บ้างเกี่ยวกับการใช้งานที่น่าสนใจของฐานGröbnerกับวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี? ฐานGröbnerใช้เพื่อแก้สมการพหุนามหลายตัวแปรซึ่งเป็นปัญหาที่เกิดขึ้นโดยทั่วไป ฉันสงสัยว่าบางกรณีที่ใช้การได้ดีสามารถใช้เพื่อให้อัลกอริทึม / การสร้าง / การพิสูจน์ที่มีประสิทธิภาพใน TCS หรือพื้นที่ที่เกี่ยวข้องกับ TCS (combinatorics, coding ทฤษฎี)

41 cc.complexity-theory  reference-request  algebra  polynomials 

ปัญหาคือการคำนวณพหุนาม ) สมมติว่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดพอดีกับคำของเครื่องกล่าวคือสามารถจัดการในหน่วยเวลา(a1x+b1)×⋯×(anx+bn)(a1x+b1)×⋯×(anx+bn)(a_1 x + b_1) \times \cdots \times (a_n x + b_n) คุณสามารถทำเวลาโดยใช้ FFT ในแบบต้นไม้ คุณสามารถทำO ( n log n ) ได้ไหม?O(nlog2n)O(nlog2⁡n)O(n \log^2 n)O(nlogn)O(nlog⁡n)O(n \log n)

35 ds.algorithms  reference-request  open-problem  polynomials 

วิธีพหุนามพูดว่าCombinatorial Nullstellensatzและทฤษฎีบท Chevalley – Warningเป็นเครื่องมืออันทรงพลังในการผสมผสาน combinatorics โดยการแสดงปัญหากับพหุนามที่เหมาะสมพวกเขาสามารถรับประกันการมีอยู่ของการแก้ปัญหาหรือจำนวนของการแก้ปัญหาที่มีหลายชื่อ พวกเขาถูกนำมาใช้เพื่อแก้ปัญหาเช่นปัญหาจำนวนจำกัดหรือปัญหาผลรวมเป็นศูนย์และบางส่วนของทฤษฎีบทในพื้นที่นี้สามารถพิสูจน์ได้ด้วยวิธีการดังกล่าวเท่านั้น สำหรับฉันวิธีที่ไม่สร้างสรรค์ของวิธีการเหล่านี้เป็นสิ่งที่น่าอัศจรรย์อย่างแท้จริงและฉันอยากรู้ว่าเราสามารถใช้วิธีการเหล่านี้เพื่อพิสูจน์การผนวกและแยกชั้นที่ซับซ้อนที่น่าสนใจได้อย่างไร (แม้ว่าผลลัพธ์จะสามารถแก้ไขได้ ทราบว่ามีความซับซ้อนใดบ้างที่สามารถพิสูจน์ได้ด้วยวิธีพหุนาม

29 cc.complexity-theory  reference-request  co.combinatorics  polynomials 

ฉันรู้แค่หลักฐานสองข้อของ Schwartz – Zippel lemma ครั้งแรก (ร่วมกันมากขึ้น) หลักฐานอธิบายไว้ในรายการวิกิพีเดีย หลักฐานที่สองถูกค้นพบโดย Dana Moshkovitz มีหลักฐานอื่นใดบ้างที่ใช้แนวคิดที่แตกต่างอย่างมีนัยสำคัญ?

28 cc.complexity-theory  reference-request  algebra  polynomials  finite-fields 

แก้ไข (v2): เพิ่มส่วนท้ายสิ่งที่ฉันรู้เกี่ยวกับปัญหา แก้ไข (v3): เพิ่มการสนทนาเกี่ยวกับระดับเกณฑ์ในตอนท้าย คำถาม คำถามนี้ส่วนใหญ่เป็นคำขออ้างอิง ฉันไม่รู้เกี่ยวกับปัญหามากนัก ฉันต้องการที่จะทราบว่ามีการทำงานก่อนหน้านี้เกี่ยวกับปัญหานี้หรือไม่และถ้าเป็นเช่นนั้นใครสามารถชี้ให้ฉันไปที่เอกสารใด ๆ ที่พูดถึงปัญหานี้ได้หรือไม่? ฉันยังต้องการที่จะรู้ว่าขอบเขตที่ดีที่สุดในปัจจุบันที่มีการศึกษาระดับปริญญาโดยประมาณของ 0 ข้อมูลอื่นใดก็จะได้รับการชื่นชมเช่นข้อมูลทางประวัติศาสตร์แรงจูงใจความสัมพันธ์กับปัญหาอื่น ๆ เป็นต้นAC0AC0\textrm{AC}^0 คำนิยาม ให้เป็นฟังก์ชั่นบูลีน ให้เป็นพหุนามเหนือตัวแปรถึงด้วยสัมประสิทธิ์จริง ระดับพหุนามเป็นระดับสูงสุดของ monomials ทั้งหมด ระดับของ monomial คือผลรวมของเลขชี้กำลังของต่างๆที่ปรากฏใน monomial นั้น ยกตัวอย่างเช่น9f:{0,1}n→{0,1}f:{0,1}n→{0,1}f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}pppx1x1x_1xnxnx_nxixix_ideg(x71x23)=9deg(x17x32)=9\textrm{deg}(x_1^7x_3^2) = 9 พหุนามมีการกล่าวถึง -approximateถ้าสำหรับทุกxศึกษาระดับปริญญา -approximate ของฟังก์ชั่นแบบบูล , แสดงเป็นเป็นระดับต่ำสุดของพหุนามว่า -approximates ฉสำหรับชุดของฟังก์ชั่น ,เป็นระดับต่ำสุดเช่นนั้นทุกฟังก์ชันในสามารถ -approximated โดยพหุนามขององศาที่ที่สุดpppϵϵ\epsilonfff|f(x)−p(x)|&lt;ϵ|f(x)−p(x)|&lt;ϵ|f(x)-p(x)|<\epsilonxxxϵϵ\epsilonfffdeg˜ϵ(f)deg~ϵ(f)\widetilde{\textrm{deg}}_{\epsilon}(f)ϵϵ\epsilonfffFFFdeg˜ϵ(F)deg~ϵ(F)\widetilde{\textrm{deg}}_{\epsilon}(F)dddFFFϵϵ\epsilonddd. โปรดทราบว่าทุกฟังก์ชั่นสามารถแสดงได้โดยไม่มีข้อผิดพลาดโดยดีกรีพหุนามฟังก์ชั่นบางอย่างต้องใช้พหุนามดีกรีเพื่อประมาณค่าความผิดพลาดคงที่ ความเท่าเทียมกันเป็นตัวอย่างของฟังก์ชั่นดังกล่าวnnnnnn คำชี้แจงปัญหา คืออะไร ? (ค่าคงที่ …

24 cc.complexity-theory  reference-request  circuit-complexity  polynomials 

ฉันรู้ว่าฟังก์ชั่น OR บนnnnตัวแปรx 1 , … , x nx1,…,xnx_1,\ldots, x_nสามารถแทนได้อย่างแม่นยำโดยพหุนามp ( x 1 , … , x n )p(x1,…,xn)p(x_1,\ldots,x_n)เช่น: p ( x 1 , … , x n ) = 1 - Π n ฉัน= 1 ( 1 - x ผม)p(x1,…,xn)=1−∏ni=1(1−xi)p(x_1,\ldots,x_n) = 1-\prod_{i = 1}^n\left(1-x_i\right)ซึ่งเป็นปริญญาnnn แต่วิธีการที่ฉันสามารถแสดงสิ่งที่ดูเหมือนชัดเจนว่าถ้าPppเป็นพหุนามที่แสดงถึงหรือฟังก์ชั่นตรง (เพื่อ∀ x ∈ { …

23 cc.complexity-theory  co.combinatorics  lower-bounds  polynomials 

สมมติว่าเรามีพหุนามของระดับมากที่สุด ,เช่นนั้นจำนวนสัมประสิทธิ์ที่ไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมดคือ (กล่าวคือพหุนามมีเบาบาง) ฉันสนใจอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับการคำนวณพหุนาม:p1,...,pmp1,...,pmp_1,...,p_mnnnn&gt;mn&gt;mn>mnnn ∑ipi(x)2∑ipi(x)2\sum_i p_i(x)^2 ตั้งแต่พหุนามนี้มีการศึกษาระดับที่มากที่สุดทั้งอินพุทและเอาท์พุทขนาดคือ(n) ในกรณีเราสามารถคำนวณผลโดยใช้ FFT ในเวลาn) สามารถทำได้สำหรับใด ๆ? ถ้ามันสร้างความแตกต่างฉันสนใจในกรณีพิเศษที่ค่าสัมประสิทธิ์เป็น 0 และ 1 และการคำนวณควรทำกับจำนวนเต็ม2n2n2nO(n)O(n)O(n)m=1m=1m=1O(nlogn)O(nlog⁡n)O(n \log n)m&lt;nm&lt;nm<n ปรับปรุง ฉันรู้ว่าวิธีแก้ปัญหาอย่างรวดเร็วสำหรับด้านบนจะบอกเป็นนัยถึงความก้าวหน้าในการคูณเมทริกซ์อย่างรวดเร็ว โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าเราสามารถอ่านเป็นค่าสัมประสิทธิ์ของใน 2 ดังนั้นการคำนวณสอดคล้องกับการคำนวณผลิตภัณฑ์ด้านนอกของเวกเตอร์สองตัวและการคำนวณผลรวมสอดคล้องกับการคำนวณผลิตภัณฑ์เมทริกซ์ หากมีวิธีการแก้ปัญหาที่ใช้เวลาในการคำนวณจากนั้นเราสามารถคูณเมทริกซ์สองโดย -ในเวลาpk(x)=∑ni=1aikxi+∑nj=1bkjxnjpk(x)=∑i=1naikxi+∑j=1nbkjxnjp_k(x)=\sum_{i=1}^n a_{ik} x^i + \sum_{j=1}^n b_{kj} x^{nj}aikbkjaikbkja_{ik} b_{kj}xi+njxi+njx^{i+nj}pk(x)2pk(x)2p_k(x)^2pk(x)2pk(x)2p_k(x)^2∑kpk(x)2∑kpk(x)2\sum_k p_k(x)^2∑ k p k ( x ) 2 n n f ( n 2 , n )f(n,m)f(n,m)f(n,m)∑kpk(x)2∑kpk(x)2\sum_k …

18 ds.algorithms  algebra  polynomials 

ppp≤d≤d\le dbias(p)≜|Prx∈{0,1}n(p(x)=0)−Prx∈{0,1}n(p(x)=1)|&gt;ϵbias(p)≜|Prx∈{0,1}n(p(x)=0)−Prx∈{0,1}n(p(x)=1)|&gt;ϵbias(p) \triangleq |\Pr_{x\in\{0,1\}^n}(p(x)=0)-\Pr_{x\in\{0,1\}^n}(p(x)=1)| \gt \epsilon * เมื่อฉันเขียนพหุนามแบบสุ่มพร้อมตัวแปร degree ≤d≤d\le dและ n คุณสามารถคิดถึงแต่ละ monomials ของ degree ≤d≤d\le dเลือกด้วยความน่าจะเป็น 1/2 สิ่งเดียวที่เกี่ยวข้องที่ฉันรู้คือตัวแปรของ Schwartz-Zippel ที่ระบุว่าหากพหุนามไม่คงที่ดังนั้นอคติของมันจึงอยู่ที่1−21−d1−21−d1-2^{1-d}มากที่สุด ดังนั้นสำหรับϵ=1−21−dϵ=1−21−d\epsilon=1-2^{1-d} probaiblity คือ1 / {2 ^ {{n \ select 1} + \ ldots + {n \ select d}}}1/2(n1)+…+(nd)1/2(n1)+…+(nd)1/{2^{{n \choose 1}+\ldots+{n \choose d}}}ซึ่งนี่คือความน่าจะเป็นที่pppคือ คงที่ น่าเสียดายϵϵ\epsilonนี้ค่อนข้างใหญ่

13 randomness  pr.probability  algebra  polynomials 

ให้เป็นพหุนามหลายตัวแปรที่มีสัมประสิทธิ์กว่าฟิลด์Fmultilinearization ของ , แสดงโดยเป็นผลมาจากการเปลี่ยนซ้ำ ๆ แต่ละกับโดยx_iผลที่ได้คือพหุนามหลายชั้นF พีพี x วันที่ฉัน d &gt; 1 x ฉันp(x1,…,xn)p(x1,…,xn)p(x_1,\ldots,x_n)FFFpppp^p^\hat{p}xdixidx_i^dd&gt;1d&gt;1d > 1xixix_i พิจารณาปัญหาดังต่อไปนี้ให้วงจรเลขคณิตมากกว่าและได้รับองค์ประกอบฟิลด์คำนวณa_n)F 1 , ... , n C ( 1 , ... , n )C(x1,…,xn)C(x1,…,xn)C(x_1,\ldots,x_n)FFFa1,…,ana1,…,ana_1,\ldots,a_nC^(a1,…,an)C^(a1,…,an)\hat{C}(a_1,\ldots,a_n) คำถาม: สมมติว่าการคำนวณภาคสนามสามารถทำได้ในหน่วยเวลามีอัลกอริธึมเวลาพหุนามสำหรับสิ่งนี้หรือไม่? เพิ่มในภายหลัง: ฉันก็จะสนใจในกรณีพิเศษที่เป็นสูตรจริง (วงจรของ fan-out )1CCC111

13 cc.complexity-theory  polynomials 

จากการนับการโต้แย้งเราสามารถแสดงให้เห็นว่ามีพหุนามของระดับ n ใน 1 ตัวแปร (เช่นรูปแบบที่มีวงจรซับซ้อน n นอกจากนี้เรายังสามารถแสดงให้เห็นว่าพหุนามเช่นต้องการอย่างน้อยคูณ (คุณต้องการเพียงเพื่อให้ได้ระดับที่สูงพอ) มีตัวอย่างที่ชัดเจนของชื่อพหุนามใน 1 ตัวแปรที่มีขอบเขตความซับซ้อนน้อยกว่าหรือไม่? (ผลการค้นหาในทุกสาขาจะน่าสนใจ)anxn+ an - 1xn - 1+ ⋯ + a0)anxn+an−1xn−1+⋯+a0)a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0)บันทึก2 nxnxnx^nเข้าสู่ระบบ2nlog2⁡n\log_2 n

12 cc.complexity-theory  circuit-complexity  polynomials  algebraic-complexity 

โดยทั่วไปการตัดสินใจว่าสมการไดโอแฟนไทน์มีวิธีแก้ปัญหาจำนวนเต็มใด ๆ เทียบเท่ากับปัญหาการหยุดพัก ฉันเชื่อว่าการตัดสินใจว่าสมการไดโอแฟนไทน์สมการกำลังสองนั้นมีวิธีแก้ปัญหาใดหรือไม่ มีข้อ จำกัด เพิ่มเติมเกี่ยวกับสมการที่ทำให้เกิดปัญหาแบบ P-Complete หรือไม่?

11 cc.complexity-theory  linear-algebra  polynomials 

ให้เป็นพหุนามในฟิลด์ จำกัด แน่นอน สมมติว่าเราจะได้รับค่าของในบางเวกเตอร์และเวกเตอร์YP y ∈ { 0 , 1 } n yP( x1, x2, … , xn)P(x1,x2,...,xn)P(x_1, x_2, \ldots, x_n)PPPY∈ { 0 , 1 }nY∈{0,1}ny \in \{0,1\}^nYYy ตอนนี้เราต้องการคำนวณค่าของบนเวกเตอร์ซึ่งและแตกต่างกันในตำแหน่งเดียว (ในคำอื่น ๆ เราพลิกหนึ่งบิตใน ) พื้นที่และเวลาแลกเปลี่ยนกันสำหรับปัญหานี้คืออะไรY ' ∈ { 0 , 1 } n Y Y ' YPPPY'∈ { 0 , 1 …

10 polynomials  dynamic-algorithms 

ปล่อยเป็นสมมาตรพหุนามกล่าวคือพหุนามแบบนี้สำหรับและพีชคณิตทั้งหมดS_n เพื่อความสะดวกเราสามารถสมมติเป็นเขตข้อมูล จำกัด เพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาการจัดการกับรูปแบบการคำนวณ F ( x ) = F ( σ ( x ) ) x ∈ K n σ ∈ S n Kฉ: Kn→ เคf:Kn→Kf:\mathbb{K}^n \to \mathbb{K}ฉ( x ) = f( σ( x ) )f(x)=f(σ(x))f(x)=f(\sigma(x))x ∈ Knx∈Knx \in \mathbb{K}^nσ∈ Snσ∈Sn\sigma \in S_nKK\mathbb{K} Letแสดงถึงความซับซ้อนของการคำนวณคือความซับซ้อนของอัลกอริทึมที่ได้รับผลตอบแทน(x) เราสามารถจำแนกลักษณะของตามคุณสมบัติของหรือไม่? ตัวอย่างเช่นเรารับประกันได้หรือไม่ว่าเป็นพหุนาม (ในn ) สำหรับพหุนามสมมาตรทั้งหมดf …

10 cc.complexity-theory  permutations  polynomials 

ในตัวตนของพหุนามการทดสอบเราพยายามอัลกอริทึมที่กำหนดเพื่อความเท่าเทียมกันของทั้งสองสรุปพหุนาม ] Derandomizing รู้จักอัลกอริธึมการสุ่มที่มีประสิทธิภาพและการผลิตอัลกอริธึม deterministic ที่มีประสิทธิภาพเป็นปัญหาเปิดที่สำคัญ มีปัญหาที่สมบูรณ์สำหรับ PIT หรือไม่ดังนั้นการทดสอบการแยกแยะเอกลักษณ์สำหรับชื่อพหุนามหนึ่งชั้นจะช่วยแก้ปัญหาที่เปิดอยู่นี้ได้หรือไม่ ถ้าไม่มีมีคลาสของพหุนามซึ่งแก้ไขปัญหานี้ได้หรือไม่และเปิดคลาสที่ใด?ก., h ∈ Z [ x1, … , xn]g,h∈Z[x1,…,xn]g,h\in\Bbb Z[x_1,\dots,x_n]

10 derandomization  polynomials 

เราสามารถทำการแปลงในO ( n บันทึกn )O(nlog⁡n)O(n\log n)สำหรับพหุนามบวก / ทวีคูณด้วย FFT อย่างไรก็ตามวิธีการดังกล่าวไม่สามารถใช้กับเสียงกริ่งทั่วไปได้ มีความคืบหน้าใด ๆ เกี่ยวกับการโน้มน้าวใจO ( n2)O(n2)O(n^2)สำหรับ max / plus ring หรือไม่? soft-max ( x , y) = บันทึก( ex+ eY) = สูงสุด( x , y) + บันทึก( 1 + eขั้นต่ำ( x , y) - สูงสุด( x , y))soft-max(x,y)=log⁡(ex+ey)=max(x,y)+log⁡(1+emin(x,y)−max(x,y))\text{soft-max}(x,y)=\log(e^x+e^y) = \max(x,y) + …

10 algebra  polynomials  fft  convolution