เครื่องทัวริงที่มีข้อยุติไม่สามารถพิสูจน์ได้?

ฉันมีคำถามที่ไร้เดียงสา: มีเครื่องทัวริงซึ่งการเลิกจ้างเป็นจริง แต่ไม่สามารถพิสูจน์ได้โดยทฤษฎีทางธรรมชาติที่สอดคล้องและมีขอบเขต ฉันขอหลักฐานการดำรงอยู่เพียงแทนที่จะเป็นตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง

นี้อาจมีการเชื่อมต่อบางคนที่มีการวิเคราะห์ลำดับ แน่นอนสำหรับเครื่องทัวริง $M$ เราสามารถกำหนด $O(M)$ เป็นลำดับที่น้อยที่สุดของทฤษฎีที่สอดคล้องกันซึ่งพิสูจน์การสิ้นสุดของมัน ดังนั้นฉันคิดว่ามันคงเทียบเท่าที่จะถามว่ามีหรือไม่ $M$ ดังนั้น $O(M) \geq \omega_1^{CK}$ ?

turing-machines proof-theory halting-problem

— Super8
แหล่งที่มา

ปริมาณไม่ควรทำงานในทางอื่น ๆ ? เพียงแค่เพิ่ม TM X หยุดทำงานเนื่องจากสัจพจน์จะสอดคล้องกับ X ใด ๆ ที่หยุดทำงานจริงในอินพุตทั้งหมด (และ จำกัด ถ้าคุณทำเฉพาะ TM ที่มีปัญหา) ด้วยการย้อนกลับของปริมาณปริมาณ TM ที่หยุดถ้าอินพุตไม่ได้พิสูจน์ความสอดคล้องสำหรับระบบสัจพจน์และเข้าสู่วงวนไม่สิ้นสุด

— Yonatan N

คำแนะนำของคุณน่าสนใจขอบคุณ ฉันตระหนักถึงความกังวลของคุณเมื่อกำหนดคำถามนั่นคือเหตุผลที่ฉันเพิ่ม "ธรรมชาติ" ในข้อกำหนด แน่นอนปัญหาคือว่าเราสามารถให้คำจำกัดความอย่างเป็นทางการของ "ธรรมชาติ" ที่จะออกกฎการประดิษฐ์นี้

— Super8

คิดว่าคำตอบนั้นไม่ใช่เพราะถ้ามันหยุดแล้วคนหนึ่งก็วิ่งเครื่องจักรและมันจะหยุดในจำนวน จำกัด ขั้นตอนและนั่นคือหลักฐานและความจริงนั้นสามารถแปลงเป็นระบบพิสูจน์พลังที่สมเหตุสมผลใด ๆ ในทางกลับกันคิดว่าเป็นไปได้ที่จะเข้ารหัส / แปลง / แปล thm ที่พิสูจน์ไม่ได้ของ godel ลงในเครื่องที่ไม่หยุดซึ่งไม่ได้หยุดชะงักซึ่งไม่สามารถพิสูจน์ได้ คำถามนี้คล้ายกันหรือไม่มี TM ที่หยุดอยู่กับอินพุตทั้งหมด แต่คุณสมบัติไม่สามารถพิสูจน์ได้ cs.se

— vzn

คุณสามารถสร้างเครื่องทัวริง

M

$M$ ที่คำนวณลำดับของ Goodstein

G (n)

$G(n)$ ของอินพุต

n

$n$ และหยุดเมื่อถึง

0

$0$ . การหยุด

M

$M$ ไม่สามารถพิสูจน์ได้ใน Peano เลขคณิต; เช่นทฤษฎีบทของ Goodstein ไม่สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้สัจพจน์ของ Peano ดู Laurie Kirby, Jeff Paris, ผลการค้นหาความเป็นอิสระที่สามารถเข้าถึงได้สำหรับคณิตศาสตร์ Peano (1982)

— Marzio De Biasi

ขอบคุณฉันไม่รู้จักรายการเหล่านั้น สิ่งที่ฉันถามมีความแข็งแกร่งแม้ว่าฉันต้องการ wrt ไม่สามารถพิสูจน์ได้กับทฤษฎีที่สมเหตุสมผลใด ๆ (แทนที่จะเป็นทฤษฎีที่เฉพาะเจาะจงเช่น PA) ฉันไม่แน่ใจว่าคำถามนั้นมีคำตอบที่ชัดเจนหรือไม่

— Super8

คำตอบ:

การสิ้นสุดของเครื่องทัวริง (ที่อินพุตคงที่) คือ $\Sigma^0_1$ ประโยคและทฤษฎีเลขคณิตลำดับที่หนึ่งทั้งหมดตามปกตินั้นสมบูรณ์สำหรับ $\Sigma^0_1$ ประโยคคือทั้งหมดจริง $\Sigma^0_1$ งบสามารถพิสูจน์ได้ในทฤษฎีเหล่านี้

หากคุณดูที่จำนวนทั้งหมดแทนการหยุดทำงานนั่นคือ TM หยุดทำงานกับอินพุตทั้งหมดนั่นคือ a $\Pi^0_2$ - ประโยคที่สมบูรณ์และสำหรับทฤษฎีที่สอดคล้องกับ axiomatizable ใด ๆ ที่คำนวณได้ซึ่งมีความแข็งแกร่งเพียงพอ (เช่นขยายว่าโรบินสัน $Q$ ทฤษฎี) มี TM ซึ่งไม่สามารถพิสูจน์ได้ทั้งหมดในทฤษฎีนั้น

— Kaveh
แหล่งที่มา

ใช่ฉันกำลังมองหาจำนวนทั้งสิ้นแน่นอนว่าปัญหานั้นสำคัญสำหรับอินพุตที่แน่นอน ฉันจะคิดถึงข้อเรียกร้องของคุณและจะพิสูจน์ได้อย่างไร แต่ ณ จุดนี้ฉันไม่เห็นว่าการพิจารณาทฤษฎี "การคำนวณเชิงประจักษ์" ที่คำนวณได้จากปัญหาดังกล่าวหรือไม่ นอกจากนี้ในคำแถลงของคุณ TM ขึ้นอยู่กับทฤษฎีที่ถูกพิจารณาเราจะได้คำพูดที่แข็งแกร่งขึ้นจากการทำแนวทแยงมุมได้ไหม?

— Super8

นี่เป็นวิธีที่ง่าย: ชุดของฟังก์ชันที่คำนวณได้ทั้งหมดของทฤษฎีนี้คือ ce, ชุดของฟังก์ชันที่คำนวณได้ทั้งหมดนั้นไม่ได้เป็น ce, หรือคุณสามารถตัดทแยงกับฟังก์ชันทั้งหมดที่พิสูจน์ได้ของทฤษฎี

— Kaveh

ในความคิดที่สองฉันขอแนะนำให้พิจารณาข้อ จำกัด ของปัญหาดังนี้ รับระบบสัญกรณ์อันดับ

σ

$\sigma$ แทนลำดับ

α

$\alpha$ เราสามารถนิยาม "ทฤษฎีเบื้องต้น" ที่สอดคล้องกันได้

T (α, σ)

$\mathcal{T}(\alpha,\sigma)$ ที่ช่วยให้การเหนี่ยวนำ transfinite ถึง

α

$\alpha$ . ได้รับ TM

M

$M$ จากนั้นเราจะกำหนด

O (M)

$O(M)$ เป็นลำดับที่เล็กที่สุด

α

$\alpha$ เช่นว่าการสิ้นสุดของ

M

$M$ สามารถพิสูจน์ได้จากทฤษฎี

T (α, σ)

$\mathcal{T}(\alpha,\sigma)$ (เช่นระบบสัญกรณ์สามารถเลือกได้อย่างอิสระ) คำจำกัดความนี้สมเหตุสมผลหรือไม่

— Super8

@ Super8 ฉันไม่แน่ใจ โดยทั่วไปความสัมพันธ์ของศาสนพิธีกับทฤษฎีนั้นไม่ได้เป็นที่ยอมรับ แต่ก็มีหลายวิธีที่จะเชื่อมโยงกับการทำเช่นนั้น คุณสามารถเริ่มต้นด้วยทฤษฎีที่อ่อนแอเช่น PRA และเพิ่มการเหนี่ยวนำผ่านกฎที่คำนวณได้ด้วยลำดับขั้นพื้นฐานที่ดี ฯลฯ แต่ฉันไม่แน่ใจว่าทำไมคุณต้องการทำเช่นนั้น

— Kaveh

ตกลงฉันไม่ได้ตระหนักถึงปัญหาฉันจะพยายามค้นหาคำจำกัดความที่ดีกว่าด้วยตัวเองแล้ว

— Super8

ฉันไม่ได้เป็นผู้เชี่ยวชาญตรรกะ แต่ผมเชื่อว่าคำตอบคือไม่มี หากเครื่องทัวริงหยุดทำงานและระบบมีความแรงพอคุณควรจะสามารถเขียนประวัติการคำนวณแบบเต็มของเครื่องทัวริงบนอินพุต เมื่อมีการตรวจสอบว่าผลลัพธ์ของการคำนวณเป็นลำดับการเปลี่ยนของการเปลี่ยนภาพเราจะเห็นว่าเครื่องหยุด ไม่ว่าคุณจะทำให้เครื่องจักรทัวริงเป็นทางการในทฤษฎีของคุณอย่างไรคุณควรจะสามารถแสดงในทฤษฎีที่สมเหตุสมผลใด ๆ ที่เครื่องจักรหยุดทำงานจริงหยุด โดยวิธีการเปรียบเทียบลองคิดเพื่อพิสูจน์ว่าผลรวมแน่นอนมีค่าเท่ากับสิ่งที่มันเท่ากับ; เช่นพิสูจน์ว่า 5 + 2 + 3 + 19 + 7 +6 = 42 หรือ 5 + 5 + 5 = 15 เช่นนี้เป็นไปได้เสมอตราบใดที่จำนวนก้าวมี จำกัด ดังนั้นการพิสูจน์ผลลัพธ์ของการคำนวณ จำกัด ก็เช่นกัน

ในฐานะที่เป็นจุดที่ชัดเจนเพิ่มเติม - แม้ว่าทฤษฎีของคุณจะไม่สอดคล้องกันคุณยังสามารถแสดงให้เห็นว่าเครื่องจักรหยุดทำงานจริงแม้ว่ามันจะไม่ได้เนื่องจากคุณสามารถพิสูจน์ wff ใด ๆ ในทฤษฎีที่ไม่สอดคล้องกันไม่ว่ามันจะเป็นหรือไม่ก็ตาม จริงจริง

— ฟิลิปไวท์
แหล่งที่มา

ฉันเห็นด้วยกับจุดแรกของคุณดูคำตอบของฉันด้านล่าง เกี่ยวกับประเด็นที่สองของคุณทฤษฎีที่ไม่สอดคล้องจะพิสูจน์การสิ้นสุดของ TM (จริง ๆ แล้วไม่ทำลาย) TM ดังนั้นข้อ จำกัด ของทฤษฎีที่สอดคล้องกัน

— Super8

ฉันคิดว่าเรากำลังพูดในสิ่งเดียวกัน; ฉันเพิ่งสังเกตเห็นว่าคุณพูดว่า "สอดคล้องกัน" ในคำถามขออภัยที่หายไป ฉันคิดว่าคำตอบของ Kaveh ครอบคลุมในสิ่งเดียวกันทั้งหมดและเขียนอย่างงดงามยิ่งขึ้นไปอีก

— Philip White