ทฤษฎีทางธรรมชาติที่พิสูจน์แล้วว่า“ มีโอกาสสูงเท่านั้น”?

มีสถานการณ์มากมายที่ "การพิสูจน์" แบบสุ่มนั้นง่ายกว่าการพิสูจน์แบบกำหนดแน่นอนตัวอย่างที่ยอมรับได้คือการทดสอบเอกลักษณ์พหุนาม

คำถาม : มี "ทฤษฎีบท" ทางคณิตศาสตร์ตามธรรมชาติที่มีการพิสูจน์แบบสุ่ม แต่เป็นข้อพิสูจน์ที่ไม่แน่นอนหรือไม่?

โดย "การพิสูจน์แบบสุ่ม" ของคำสั่ง$P$ฉันหมายความว่า

1. มีขั้นตอนวิธีการสุ่มที่ใช้เวลาการป้อนข้อมูลเป็น$n > 0$ถ้า$P$เป็นเท็จก่อให้หลักฐานที่กำหนดของ$\neg P$มีโอกาสอย่างน้อย$1-2^{-n}$ n

2. มีคนเรียกใช้อัลกอริธึมสำหรับพูด$n = 100$และไม่หักล้างทฤษฎีบท

มันง่ายที่จะสร้างคำแถลงที่ไม่เป็นธรรมชาติที่เหมาะสม: เพียงแค่เลือกอินสแตนซ์ขนาดใหญ่ของปัญหาใด ๆ ที่รู้จักอัลกอริธึมแบบสุ่มที่มีประสิทธิภาพเท่านั้น อย่างไรก็ตามแม้ว่าจะมีทฤษฎีทางคณิตศาสตร์จำนวนมากที่มี "หลักฐานเชิงตัวเลขจำนวนมาก" เช่นสมมติฐานของ Riemann แต่ฉันไม่รู้เลยว่ามีหลักฐานแบบสุ่มที่เข้มงวดของรูปแบบข้างต้น

$\DeclareMathOperator{\inv}{inv} \DeclareMathOperator{\maj}{maj}$ นี่ไม่ใช่ตัวอย่างของสิ่งที่คุณขอ แต่มันแสดงให้เห็นว่าตัวอย่างดังกล่าวสามารถเกิดขึ้นได้อย่างไร บางตัวตน combinatorial สามารถเข้ารหัสเป็นตัวตนที่เกี่ยวกับพหุนามของขอบเขตการศึกษาระดับปริญญาdถ้าชื่อพหุนามไม่แปรเปลี่ยนเพื่อพิสูจน์ตัวตนมันก็เพียงพอที่จะตรวจสอบบนd + 1คะแนน อย่างไรก็ตามหากชื่อพหุนามมีหลายตัวแปรและระดับอย่างน้อยปานกลางปานกลางScwartz-Zippel lemmaอาจเป็นวิธีเดียวที่จะพิสูจน์เอกลักษณ์ได้$d$$d+1$

สำหรับตัวอย่างของกรณี univariate ให้ตรวจสอบบทความนี้โดย Zeilberger แก้ไขคำถามของ Knuth เขาพิสูจน์ข้อความเกี่ยวกับสถิติการเรียงสับเปลี่ยน สำหรับการเปลี่ยนแปลงให้Inv ( π )เป็นจำนวน| { ( i , j ) : i < j , π ( i ) > π ( j ) } | ของการรุกรานของπและปล่อยให้ดัชนีสำคัญmaj ( π )ของ$\pi \in S_n$$\inv(\pi)$$|\{(i, j): i < j, \pi(i) > \pi(j)\}|$$\pi$$\maj(\pi)$ เป็นผลรวมของจำนวนเต็มทั้งหมดในชุด { ฉัน: π ( ฉัน+ 1 ) < π ( ฉัน) } Zeilberger พิสูจน์ให้เห็นว่าสำหรับทุก nแปรปรวนของทั้งสองเป็นสถิติ$\pi$$\{i: \pi(i+1) < \pi(i)\}$$n$

ที่คาดหวังทั้งหมดมากกว่าสุ่มสม่ำเสมอπในSn หลักฐาน Zeilberger เป็นเพียงการตรวจสอบคอมพิวเตอร์n∈{1,2,3,4,5}และการสังเกตว่าคำสั่งจะเทียบเท่ากับตัวตนระหว่างพหุนามในnของระดับที่มากที่สุด4