การตรวจสอบความไวกับการปิดสกรรมกริยา

9

การตรวจสอบความสลับซับซ้อนของ digraph ไม่ง่ายกว่า (ในแง่ของความซับซ้อนเชิงซีโมติก) หรือไม่ เรารู้ขอบเขตต่ำกว่าดีกว่าไหม $\Omega(n^2)$ การตรวจสอบว่า digraph เป็นสกรรมกริยาหรือไม่?

graph-theory directed-acyclic-graph transitive-closure

— ekayaaslan
แหล่งที่มา

1

การจัดเก็บการปิดสกรรมกริยาทั้งหมดจะทำให้คุณมีพื้นที่เพิ่มขึ้น สำหรับกราฟบางอันคุณควรจะสามารถขอและทางลัดการตรวจสอบทรานซิสชั่นโดยไม่ต้องกลับขอบ ดู: อัน

O (l o g n)

$O(log n)$ อัลกอริทึมการเชื่อมต่อแบบขนาน, Y Shiloach, U Vishkin - วารสารอัลกอริทึม, 1982

— Chad Brewbaker

1

ที่นี่ Siek มีบันทึกการใช้งานสำหรับ Boost Graph Library boost.org/doc/libs/1_54_0/libs/graph/doc/…

— Chad Brewbaker

2

ไม่แน่ใจว่าคุณหมายถึงอะไร

n

$n$ แต่ขอบเขตล่างของ

Ω (| V |^{2})

$\Omega(|V|^2)$ ง่าย - พิจารณา

K_{n} ∖ {e}

$K_n \setminus \{e\}$ สำหรับขอบบาง

e

$e$ . อัลกอริทึมใด ๆ จะถามว่าต้องตรวจสอบ

(u, v) \in E

$(u,v)\in E$ เพื่อทุกสิ่ง

u, v \in V

$u,v\in V$ มิฉะนั้นขอบที่เขาไม่ได้ถามอาจเป็นส่วนที่ขาดหายไป

O (| V | \cdot | E |)

$O(|V|\cdot |E|)$ เป็นขอบเขตบนเช่นนี้เป็นเวลาที่ใช้ในการคำนวณการปิดสกรรมกริยา

— RB

2

พิจารณากราฟกำกับด้วย

n = 3 k

$n = 3k$ จุดยอด: จุดยอดต้นกำเนิด

s_{1}, \dots, s_{k}

$s_1,\dots,s_k$ จุดยอดกลาง

t_{1}, \dots, t_{k}

$t_1,\dots,t_k$ ที่เป็นผู้สืบทอดทันทีของแต่ละคน

s_{i}

$s_i$ และจมจุดสูงสุด

u_{1}, \dots, u_{k}

$u_1,\dots,u_k$ ที่เป็นผู้สืบทอดทันทีของแต่ละคน

t_{i}

$t_i$ . digraph เป็นสกรรมก iff แต่ละส่วนโค้ง

(s_{i}, u_{j})

$(s_i,u_j)$ มีอยู่ในกราฟ สิ่งนี้ต้องมีการตรวจสอบ

k^{2} = (n / 3)^{2} = Ω (n^{2})

$k^2 = (n/3)^2 = \Omega(n^2)$ ขอบ ในทางกลับกันการหาการปิดสกรรมกริยาสามารถทำได้

O (n^{ω})

$O(n^\omega)$ เวลาที่ไหน

ω < 2.373

$\omega < 2.373$ คือเลขชี้กำลังของการคูณเมทริกซ์ นี่เป็นขอบเขตที่รู้จักกันดีที่สุด

— András Salamon

DAG ของคุณอาจมีโครงสร้างเพิ่มเติมหรือไม่หรือคุณต้องการผลลัพธ์ทั่วไปอย่างสมบูรณ์หรือไม่

— Niel de Beaudrap

9

ด้านล่างฉันจะแสดงต่อไปนี้: ถ้าคุณมี O ( $n^{3-\varepsilon}$ ) อัลกอริธึมเวลาสำหรับการตรวจสอบว่ากราฟมีการถ่ายทอดให้หรือไม่ $\varepsilon>0$ แล้วคุณมี O ( $n^{3-\varepsilon}$ ) อัลกอริธึมเวลาสำหรับการตรวจจับสามเหลี่ยมใน $n$ กราฟโหนดและด้วยเหตุนี้ (โดยกระดาษจาก FOCS'10 ) คุณจะมี O ( $n^{3-\varepsilon/3}$ ) อัลกอริธึมเวลาสำหรับการคูณบูลีนสองรายการ $n\times n$ เมทริกซ์และด้วยเหตุนี้จากFischer และ Meyer จากยุค 70นี่ก็หมายถึง O ( $n^{3-\varepsilon/3}$ ) อัลกอริทึมเวลาสำหรับการปิดสกรรมกริยา

สมมติว่าคุณต้องการตรวจจับสามเหลี่ยมใน $n$ ปม $G$ . ตอนนี้เราสามารถสร้างกราฟต่อไปนี้ $H$ . $H$ คือไตรภาคีที่มีฉากกั้น $I,J,K$ บน $n$ แต่ละโหนด ที่นี่แต่ละโหนด $x$ ของ $G$ มีสำเนา $x_I,x_J,x_K$ ในส่วนต่างๆ $I,J,K$ . สำหรับแต่ละขอบ $(u,v)$ ของ $G$ เพิ่มขอบกำกับ $(u_I,v_J)$ และ $(u_J,v_K)$ . สำหรับแต่ละ nonedge $(u,v)$ ของ $G$ เพิ่มขอบกำกับ $(u_I,v_K)$ .

ก่อนอื่นถ้า $G$ มีรูปสามเหลี่ยม $u,v,w$ จากนั้น $H$ ไม่ใช่สกรรมกริยา นี่คือตั้งแต่ขอบ $(u_I,v_J),(v_J,w_K)$ อยู่ใน $H$ แต่ $(u_I,w_K)$ ไม่ใช่. ประการที่สองถ้า $H$ ไม่ใช่สกรรมกริยาจากนั้นจะต้องมีเส้นทางบางเส้นทางจากบางโหนด $s$ ถึงบางโหนด $t$ ใน $H$ ดังนั้น $(s,t)$ ไม่ใช่ขอบชี้นำ $H$ . อย่างไรก็ตามเส้นทางที่ยาวที่สุดใน $H$ มี $2$ ขอบและเส้นทางดังกล่าวจะต้องอยู่ในรูปแบบ $(u_I,v_J),(v_J,w_K)$ และ $(u_I,w_K)$ ไม่ได้อยู่ใน $H$ ดังนั้น $u,v,w$ รูปสามเหลี่ยมใน $G$ .

— virgi
แหล่งที่มา

1

การค้นพบการปิดสกรรมกริยานั้นสำคัญเท่ากับการคูณเมทริกซ์ คำถามคือว่าเลขชี้กำลังในขอบเขตล่างสามารถยกได้จาก 2 หรือเลขชี้กำลังในขอบเขตบนสามารถลดลงได้จาก 2.373 ห่วงโซ่แห่งการให้เหตุผลที่คุณแสดงให้เห็นว่าเป็นสิ่งที่ดีที่สุด

O (n^{2})

$O(n^2)$ อัลกอริทึมสำหรับการตรวจสอบความแปรปรวนจะให้เท่านั้น

O (n^{2.667})

$O(n^{2.667})$ อัลกอริทึมเวลาสำหรับการปิดสกรรมกริยา - แต่เรามี

O (n^{2.373})

$O(n^{2.373})$ อัลกอริธึมเวลา

— András Salamon

ประเด็นก็คือมีการลดลงของกล่องดำ The O (

n^{2.373}

$n^{2.373}$ ) อัลกอริทึมเวลาอยู่ไกลจากการปฏิบัติ อัลกอริทึมการตรวจสอบการปฏิบัติ transitivity ที่ทำงานในเวลา subcubic อย่างไรก็ตามโดยการลดข้างต้นยังหมายถึงหนึ่งในทางปฏิบัติสำหรับ BMM และด้วยเหตุนี้การปิด transitive นอกจากนี้แม้ว่าคุณจะไม่สนใจอัลกอริทึมที่ใช้งานได้จริงก็เป็นไปได้ว่าการสูญเสียเลขชี้กำลังจาก FOCS'10 นั้นไม่จำเป็นและการตรวจจับรูปสามเหลี่ยมอาจเทียบเท่ากับ BMM

— virgi

โอ้และแน่นอนเราสามารถตั้งค่าความแข็งของปัญหาความผันแปรได้เพียงแค่บนความแข็งที่สันนิษฐานของการตรวจจับรูปสามเหลี่ยม โปรดทราบว่าไม่มีขอบเขตที่รู้จักกันดีกว่าดีกว่า

n^{2}

$n^2$ สำหรับการตรวจจับรูปสามเหลี่ยมและขอบเขตบนที่ดีที่สุดคือ

O (n^{ω})

$O(n^\omega)$ .

— virgi

เรามีอัลกอริทึมการปฏิบัติ subcubic แล้วโดยใช้วิธีการคูณเมทริกซ์อย่างรวดเร็ว: ดูตัวอย่างcacm.acm.org/magazines/2014/2/ …

— András Salamon

2

กระดาษ Ballard และคณะที่คุณพูดถึงเกี่ยวกับอัลกอริทึมของ Strassen โดยเฉพาะ จากสิ่งที่ฉันรู้ไม่มีอัลกอริธึมการคูณเมทริกซ์ที่ใช้อันดับของเส้นขอบเป็นจริง โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันไม่ได้ตระหนักถึงอัลกอริทึมในทางปฏิบัติสำหรับข้อ จำกัด ใด ๆ

ω

$\omega$ ต่ำกว่า

2.78

$2.78$ .

— virgi

7

ดูเหมือนว่า $\Omega(n^2)$ เป็นขอบเขตล่างที่รู้จักกันเป็นอย่างดีเนื่องจากขอบเขตล่างหมายถึงขอบเขตล่างสำหรับการคูณเมทริกแบบบูล เรารู้ว่าสามารถตรวจสอบความไวได้โดยใช้การคูณเมทริกแบบบูลหนึ่งอันคือ $G$ เป็นสกรรมกริยาถ้าและเพียงถ้า $G = G^2$ .

— ekayaaslan
แหล่งที่มา

4

การพิจารณาว่า DAG นั้นมีความสลับซับซ้อนหรือไม่นั้นยากที่จะตัดสินใจว่า digraph ทั่วไปเป็นสกรรมกริยา (ซึ่งนำเรากลับไปที่คำถามก่อนหน้านี้ของคุณ :))

สมมติว่าคุณมีอัลกอริทึมทำงานในเวลา $O(f(n))$ สำหรับการตัดสินใจว่า DAG เป็นสกรรมกริยาหรือไม่

รับกราฟกำกับ $G$ คุณสามารถใช้อัลกอริทึมแบบสุ่มต่อไปนี้เพื่อตัดสินใจว่า $G$ เป็นสกรรมกริยาในเวลา $O(f(n)\cdot \log(\frac{1}{\delta}))$ และความน่าจะเป็นข้อผิดพลาด $\leq \delta$ :

 1. for $O(\log{\frac{1}{\delta}})$ iterations:

   1.1. Compute a random permutation on $V$. Denote the result by $<v_1,v_2,...,v_n>$.

   1.2. Set $G'=(V,E\cup \{(v_i,v_j)|i<j\})$ (i.e. compute a random acyclic orientation).

   1.3. If $G'$ (which is acyclic) is not transitive return false.

 2. return true.

ตอนนี้มันชัดเจนว่าถ้า $G$ เป็นสกรรมกริยาอัลกอริทึมนี้กลับมาจริง

ทีนี้สมมติ $G$ ไม่ใช่สกรรมกริยา ปล่อย $e_1=(v_i,v_j),e_2=(v_j,v_k)\in E$ ดังนั้น $(v_i,v_k)\notin E$ (จะต้องมีขอบเช่น $G$ ไม่ใช่สกรรมกริยา) ความน่าจะเป็นที่ $e_1,e_2\in G'$ คือ $\frac{1}{6}$ ดังนั้นในแต่ละการวนซ้ำความน่าจะเป็นที่อัลกอริทึมจะคิด $G$ ไม่ได้เป็นสกรรมกริยา $\frac{1}{6}$ และหลังจากนั้น $O(\log{(\delta)})$ ซ้ำความน่าจะเป็นความล้มเหลวได้มากที่สุด $\delta$ .

— RB
แหล่งที่มา

1

ขอบคุณสำหรับคำตอบ. สมมติว่าฉันมีอัลกอริทึมสำหรับการตัดสินใจว่า DAG นั้นเป็นสกรรมกริยาหรือไม่

O (f (n))

$O(f(n))$ อย่างเช่น

f (n) = Ω (n^{2})

$f(n)=\Omega(n^2)$ . จากนั้นฉันสามารถตัดสินใจได้ว่ากราฟที่กำกับด้วย G นั้นมีความแปรปรวนหรือไม่

O (f (n))

$O(f(n))$ - เวลาเป็น; 1) รับ digraph ที่เชื่อมต่ออย่างยิ่งใน

O (n^{2})

$O(n^2)$ -เวลา. 2) ตรวจสอบว่าแต่ละองค์ประกอบเสร็จสมบูรณ์หรือไม่

O (n^{2})

$O(n^2)$ -เวลา. 3) ตรวจสอบว่าแต่ละคู่ของส่วนประกอบที่มีขอบในส่วนของกราฟคู่นั้นสมบูรณ์หรือไม่นั่นคือมีขอบจากทุกจุดยอดขององค์ประกอบหนึ่งไปยังจุดยอดขององค์ประกอบที่สองใน

O (n^{2})

$O(n^2)$ -เวลา. 4) ตรวจสอบว่าส่วน digraph ส

O (f (n))

$O(f(n))$ -เวลา.

— ekayaaslan

1

ฉันคิดว่านี่น่าจะเป็นไปได้ในเวลาเชิงเส้นคือ $O(n+m)$ ที่ไหน $n$ คือจำนวนของจุดยอดและ $m$ จำนวนขอบ อาจเป็นการปรับรูปแบบการส่งผ่านกราฟบางอย่างให้เป็นการตั้งค่าที่กำกับ จุดเริ่มต้นอาจเป็นLexBFS / LexDFSอธิบายไว้ที่นี่ ; สำหรับกราฟกำกับดูเหมือนว่าเราควรใช้การจัดเรียงทอพอโลยีมากกว่า DFS ดังนั้นอาจเป็นไปได้ที่อัลกอริทึมLexTSAจะค้นพบได้หรือไม่

— Super9
แหล่งที่มา

2

นี่เป็น IMO ที่ไม่น่าเป็นไปได้เพราะมันจะให้อัลกอริธึมเชิงเส้นเชิงเวลาสำหรับความน่าจะเป็นในการตรวจสอบกริดในกราฟทั่วไปดูคำตอบของฉัน

— RB

0

เกี่ยวกับคำตอบก่อนหน้านี่เป็นวิธีง่ายๆในการกำหนดอัลกอริทึมดังกล่าว กำหนดให้แต่ละจุดสุดยอด $x$ ดัชนี $i(x)$ เริ่มต้นไปที่ $0$ . แต่ละ $x$ , ปล่อย $M(x)$ แสดงดัชนีหลายชุดของเพื่อนบ้านของมัน เราจำลองการเรียงลำดับโทโพโลยีโดยการบำรุงรักษาชุด $R$ ของจุดยอดที่ยังไม่ได้สำรวจซึ่งเริ่มต้นเป็นทั้งชุด ในแต่ละขั้นตอนเราทำดังต่อไปนี้:

เลือกจุดสุดยอด $x \in R$ มัลติเซ็ตที่มี $M(x)$ น้อยที่สุด (ตามลำดับชุดมัลติ);
ปรับปรุง $i(x)$ ไปที่ตัวนับลูปปัจจุบันและนำออก $x$ จาก $R$ .

อัลกอริทึมนี้สามารถใช้กับปัญหาของคุณหรือสำหรับแอปพลิเคชันอื่นได้หรือไม่

— NisaiVloot
แหล่งที่มา

นี่จะเหมาะสมกว่าเป็นความคิดเห็น

— Suresh Venkat