ผลที่ตามมาของการดำรงอยู่ของอัลกอริทึมพหุนามอย่างยิ่งสำหรับการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น?


31

หนึ่งในจอกศักดิ์สิทธิ์ของการออกแบบอัลกอริทึมคือการค้นหาอัลกอริทึมพหุนามอย่างยิ่งสำหรับการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นคืออัลกอริทึมที่มีรันไทม์ถูกล้อมรอบด้วยพหุนามในจำนวนของตัวแปรและข้อ จำกัด และเป็นอิสระจากขนาดของการเป็นตัวแทนของพารามิเตอร์ เลขคณิตต้นทุนต่อหน่วย) การแก้ไขคำถามนี้มีความหมายนอกเหนือจากอัลกอริธึมที่ดีกว่าสำหรับการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นหรือไม่? ตัวอย่างเช่นการดำรงอยู่ / ไม่มีอยู่ของอัลกอริทึมดังกล่าวจะมีผลกระทบใด ๆ สำหรับเรขาคณิตหรือทฤษฎีความซับซ้อน?

แก้ไข:บางทีฉันควรชี้แจงสิ่งที่ฉันหมายถึงผลที่ตามมา ฉันกำลังมองหาผลกระทบทางคณิตศาสตร์หรือผลลัพธ์เงื่อนไขความหมายที่เป็นที่รู้จักที่จะเป็นจริงในขณะนี้ ตัวอย่างเช่น: "อัลกอริทึมพหุนามสำหรับ LP ในแบบจำลอง BSS จะแยก / ยุบคลาสความซับซ้อนเชิงพีชคณิต FOO และ BAR" หรือ "ถ้าไม่มีอัลกอริทึมพหุนามอย่างยิ่งแล้วมันจะแก้ไขการคาดเดาเกี่ยวกับ polytopes เช่นนี้" ขั้นตอนวิธีการพหุนามอย่างยิ่งสำหรับปัญหา X ซึ่งได้สูตรเป็นแผ่นเสียงจะมีผลที่น่าสนใจblah " การคาดเดาของ Hirsch จะเป็นตัวอย่างที่ดียกเว้นว่าจะใช้เฉพาะถ้าเริมเป็นพหุนาม


3
มันยังไปโดยไม่บอกว่าเทคนิคการพิสูจน์ที่ใช้เพื่อแสดงผลลัพธ์นี้อาจน่าสนใจยิ่งกว่าผลลัพธ์ในแง่ของผลกระทบระยะยาว
Suresh Venkat

คำตอบ:


28

นี่จะแสดงให้เห็นว่าเกมที่เท่าเทียมกันและค่าตอบแทนอยู่ใน P. See Sven Schewe จากเกม Parity และ Payoff ไปจนถึงโปรแกรมเชิงเส้น MFCS 2009


ยอดเยี่ยม ฉันหวังว่าฉันจะให้ +1 มากกว่านี้ นี่เป็นผลลัพธ์ที่ยอดเยี่ยมมาก
Suresh Venkat

มีคนอธิบายเพิ่มเติมว่าอัลกอริทึมแบบพหุนามที่มีความสำคัญสำหรับ LP จะแสดงถึงสิ่งนี้ได้อย่างไร Schewe สร้างตัวอย่างขนาดพหุนามของ LP ที่มีจำนวนมากเป็นทวีคูณ ละเอียด. ตอนนี้เราเรียกใช้อัลกอริทึมเวลาพหุนามอย่างยิ่งกับมัน แต่เราไม่จำเป็นต้องจำลองการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่อัลกอริทึมนี้ทำ การจำลองนี้ทำได้อย่างไรโดยไม่ต้องใช้เวลาพหุนาม (จำได้ว่าตัวเลขเป็นเลขชี้กำลังทวีคูณฉันเดาว่าใครจะทำอุบายที่เหลือของจีนได้ แต่เราสามารถทำการเปรียบเทียบตัวเลขด้วยวิธีนี้ในเวลาพหุนามหรือไม่)
slimton

2
ฉันยังไม่ได้อ่านบทความอย่างละเอียด แต่ฉันเข้าใจว่ามันเป็นเพียงการพิสูจน์ว่าปัญหาอยู่ใน P ในโมเดล Real RAM / BSS ( en.wikipedia.org/wiki/Blum%E2%80%93Shub%E2 % 80% 93Smale_machine ) ไม่ใช่รุ่นปกติของ P คุณสามารถกำหนดรูปแบบการคำนวณเหนือวงแหวน R ใด ๆ (ดูams.org/notices/200409/fea-blum.pdf ) มากกว่าเราได้รับทัวริงเจอร์ธรรมดาและเหนือ realsเราได้รับโมเดล BSS แหวนแต่ละวงมีเวอร์ชั่น P ของตัวเองซึ่งอาจไม่เท่ากับมาตรฐาน P.RZ2R
เอียน

ชี้แจงความคิดเห็นก่อนหน้าของฉัน: หากมีอัลกอริทึมพหุนามอย่างยิ่งสำหรับ LP แล้วมันเป็นพหุนามในรูปแบบ BSS ซึ่งในกรณีนี้กระดาษหมายถึงความเท่าเทียมกันและเกมผลตอบแทนก็อยู่ใน P ในรูปแบบ BSS
เอียน

@Ian: ในคำอื่น ๆ : คำตอบนี้เป็นความเข้าใจผิดเล็กน้อย (แต่นั่นไม่ได้หยุดคุณจากการยอมรับว่ามันเป็นคำตอบที่ถูกต้อง)
slimton

8

(dn)AkอีRม.an(10000)) อัลกอริธึมทรงรียกตัวอย่างนอกเหนือจากนัยสำคัญทางทฤษฎีแล้วตะกั่ว (?) กับการพัฒนาวิธีการจุดภายในซึ่งเร็วกว่าในบางกรณีกว่าอัลกอริธึมเริม สิ่งนี้นำไปสู่การเร่งความเร็วที่สำคัญในทางปฏิบัติเนื่องจากทั้งสองวิธีถูกบีบให้มีขีด จำกัด สูงสุดของสิ่งที่สามารถทำได้


3
แต่เงื่อนไขเหล่านี้มีผลทางทฤษฎีค่อนข้างมาก: อาจมีหรือไม่มีประโยชน์ขึ้นอยู่กับรันไทม์และเทคนิค / ความคิดในผลลัพธ์อาจนำไปสู่ความก้าวหน้าในอนาคต
เอียน

ไม่ได้จริงๆ หากการคาดเดาของ Hirsch บางรูปแบบเป็นจริงและการพิสูจน์นั้นเป็นสิ่งที่สร้างสรรค์มันก็จะนำไปสู่การแก้ปัญหาที่เร็วขึ้นสำหรับ LP กล่าวโดยย่อหากคำถามมีความเฉพาะเจาะจงความหมายของคำถามนั้นชัดเจนและหากคำถามนั้นกว้างก็อาจทำให้ไม่มีอะไร หรือวางมันแตกต่างกันผลลัพธ์ที่แน่นอนของอัลกอริธึมเวลาพหุนามสำหรับ LP คือเราจะเข้าใจปัญหาได้ดีกว่าที่เราทำในตอนนี้
Sariel Har-Peled

5

นี่คือผลลัพธ์อย่างหนึ่งของเรขาคณิต: ขอบเขตพหุนามอย่างยิ่งสำหรับตัวแปรใด ๆ (สุ่มหรือกำหนดค่าได้) ของอัลกอริทึมแบบซิมเพล็กซ์หมายถึงพหุนามที่ผูกกับเส้นผ่านศูนย์กลางของกราฟโพลิtopeใด ๆ นี่หมายความว่า "พหุนามรุ่น" ของการคาดเดาของเฮิร์ชนั้นเป็นจริง


6
แต่ไม่มีเหตุผลที่จะเชื่อได้ว่าอัลกอริทึมเวลาพหุนามอย่างยิ่งสำหรับ LPs ต้องผ่านวิธีการแบบง่าย ๆ วิธีการที่รู้จักกันดีที่สุดป่านนี้ (subexponential) ใช้กลยุทธ์การเรียกซ้ำ + การสุ่ม
Suresh Venkat

อุ่ย ฉันพลาดจุด
พระอิศวร Kintali

นี่ถือได้ว่าหากซิมเพล็กซ์เป็นพหุนามอย่างยิ่ง ฉันกำลังมองหาผลลัพธ์ที่ถือโดยทั่วไปมากกว่า อาจเป็นไปได้ว่าการคาดเดาพหุนาม Hirsch เป็นเท็จ แต่อัลกอริธึมอื่นเป็นพหุนามอย่างยิ่งหรือการคาดเดาพหุนาม Hirsch นั้นเป็นความจริง แต่ simplex นั้นมีความหมายเพราะไม่สามารถหาเส้นทางสั้น ๆ ในเวลาพหุนาม
เอียน

@Suresh: ที่จริงฉันค่อนข้างมั่นใจว่าการสุ่มตัวอย่างแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล + กลยุทธ์การเรียกซ้ำ (คลาร์กสัน - มาโทเซค - ชารีร์ - เวลซ์ / คาไลใช่ไหม?) เป็นอัลกอริธึมแบบคู่ (แต่นี่ไม่ได้ขัดแย้งกับประเด็นของคุณ)
Jeffε

โอ้เดี๋ยวก่อน Michael Goldwasser ไม่ได้ทำงานมานานแล้วในบทความ SIGACT? อืมมม ตอนนี้ฉันต้องไปขุด
Suresh Venkat
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.