อ้างอิงที่ดีสำหรับผู้ประกอบการระดับความซับซ้อน?

ฉันสนใจถ้ามีบทความหรือการสำรวจที่ดีที่ฉันสามารถอ้างอิงได้เมื่อฉันเขียนเกี่ยวกับตัวดำเนินการระดับความซับซ้อน : ตัวดำเนินการที่เปลี่ยนคลาสความซับซ้อนโดยการทำสิ่งต่าง ๆ เช่นการเพิ่มปริมาณให้พวกเขา

ตัวอย่างของผู้ประกอบการ

สิ่งต่อไปนี้สามารถตีความได้ว่าเป็นรายการตัวดำเนินการขั้นต่ำที่เปลือยซึ่งคำตอบควรจะสามารถอธิบายได้ นี่ $\mathbf C$ เป็นชุดโดยพลการของภาษามากกว่าตัวอักษร จำกัด โดยพล\ $\Sigma$

$\exists \mathbf C := \left\{ L \subseteq \Sigma^\ast \,\left|\, \begin{array}{l} \exists A \in \mathbf C \;\exists f \in O(\mathrm{poly}(n))\;\forall x \in \Sigma^\ast: \\\quad \bigl[x \in L \iff \exists c \in \Sigma^{f(|x|)}: (x,c) \in A \bigr] \end{array} \right\}\right.$

ตัวดำเนินการนั้นได้รับการแนะนำโดย Wagner [1] แม้ว่าจะมีเครื่องหมาย มากกว่าC ตัวอย่างที่มีชื่อเสียงที่สุดของชั้นที่สร้างในลักษณะนี้เป็นP โอเปอเรเตอร์นี้มาพร้อมกับ quantifier ที่สมบูรณ์ , ซึ่งในคำจำกัดความถูกแทนที่ด้วย , ซึ่งทำให้เราสามารถกำหนดลำดับชั้นพหุนามทั้งหมดได้อย่างง่ายดาย: ยกตัวอย่างเช่นP} นี่อาจเป็นโอเปอเรเตอร์แรกที่กำหนดไว้ $\exists$ $\bigvee\! \mathbf C$ $\exists \mathbf C$ $\mathsf{NP} = \exists \mathsf P$ $\forall$ $\exists c$ $\forall c$ $\mathsf{\Sigma_2^P P = \exists \forall P}$

$\oplus \mathbf C := \left\{ L \subseteq \Sigma^\ast \,\left|\, \begin{array}{l} \exists A \in \mathbf C \;\exists f \in O(\mathrm{poly}(n)) \;\forall x \in \Sigma^\ast: \\ \quad\bigl[x \in L \iff \#\{ c \in \Sigma^{f(|x|)}: (x,c) \in A \} \not\equiv 0 \pmod{2}\bigr]\end{array} \right\}\right.$

$\oplus$ ผู้ประกอบการมีความคล้ายคลึงกับ $\exists$ ผู้ประกอบการในการที่ $\oplus\mathbf C$ กังวลจำนวนใบรับรองที่มีอยู่ที่มีการตรวจสอบในชั้นเรียน $\mathbf C$ แต่แทนที่จะนับจำนวนของ certficiates แบบโมดูโล2 $2$ สามารถใช้เพื่อกำหนดคลาส $\mathsf{\oplus P}$ และ $\mathsf{\oplus L}$ L} ผู้ประกอบการที่คล้ายกัน " $\mathsf{Mod_k \cdot}$ " ที่มีอยู่สำหรับโมดูลอื่น ๆk $k$

$\mathsf{co}\mathbf C := \Bigl\{ L \subseteq \Sigma^\ast \,\Big|\, \exists A \in \mathbf C \;\forall x \in \Sigma^\ast: \bigl[x \in L \iff x \notin A \bigr] \Bigr\}$

นี่คือโอเปอเรเตอร์เสริมและใช้เพื่อกำหนดโดยปริยาย $\mathsf{ coNP}$ , ,และโฮสต์ของคลาสอื่นจากที่ไม่ทราบว่าปิดภายใต้การเติมเต็ม $\mathsf{coC_=P}$ $\mathsf{coMod_kL}$

$\mathsf{BP}\cdot\mathbf C := \left\{ (\Pi_0, \Pi_1) \,\left|\, \begin{array}{l} \Pi_0, \Pi_1 \subseteq \Sigma^\ast \;\mathbin\&\; \exists A \in \mathbf C \; \exists f \in O(\mathrm{poly}(n))\;\forall x \in \Sigma^\ast: \\ \quad\left[\begin{array}{l} \bigl(x \in \Pi_0 \Leftrightarrow \#\{c \in \Sigma^{f(|x|)}: (x,c) \in A \} \leqslant \tfrac{1}{3} {|\Sigma^{f(|x|)}|} \bigr) \mathbin\& \\ \bigl(x \in \Pi_1 \Leftrightarrow \#\{c \in \Sigma^{f(|x|)}: (x,c) \in A \} \geqslant \tfrac{2}{3} {|\Sigma^{f(|x|)}|} \bigr) \end{array}\right]\end{array}\right\}\right.$

- ด้วยคำขอโทษสำหรับการเว้นวรรค

ที่โอเปอเรเตอร์เห็นได้ชัดว่าได้รับการแนะนำให้รู้จักกับSchöning [2] แม้ว่าจะกำหนดภาษา (กล่าวคือเขาไม่อนุญาตให้มีช่องว่างน่าจะเป็น) และโดยไม่ต้องใช้ค่าคงที่ชัดเจนหรือ{3} คำนิยามที่นี่อัตราผลตอบแทนสัญญา-ปัญหาแทนด้วยใช่-กรณีและไม่มีกรณี\โปรดสังเกตว่าและ ; ดำเนินการนี้ถูกใช้โดยโทดะและ Ogiwara [3] แสดงให้เห็นว่าP} $\mathsf{BP}$ $\tfrac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$ $\Pi_1$ $\Pi_0$ $\mathsf{BPP = BP\cdot P}$ $\mathsf{AM = BP\cdot NP}$ $\mathsf{P^{\#P} \subseteq BP\cdot\oplus P}$

หมายเหตุ

ตัวดำเนินการสำคัญอื่น ๆ ที่สามารถสรุปได้จากนิยามของคลาสมาตรฐานคือ (จากคลาสและ ) และ (จากคลาสและ ) มันก็มีนัยยะในวรรณคดีส่วนใหญ่ที่ (ปัญหาการทำงานจากชั้นเรียนตัดสินใจ) และ (ยอมนับชั้นเรียนจากชั้นเรียนการตัดสินใจ) ก็มีความซับซ้อนเช่นกัน $\mathsf{C_= \cdot\mathbf C}$ $\mathsf{C_= P}$ $\mathsf{C_= L}$ $\mathsf C\cdot\mathbf C$ $\mathsf{PP}$ $\mathsf{PL}$ $\mathsf{F\cdot}$ $\#\cdot$

มีบทความโดย Borchert และ Silvestri [4] ซึ่งเสนอให้นิยามผู้ปฏิบัติงานสำหรับแต่ละชั้นเรียน แต่ดูเหมือนจะไม่ได้รับการกล่าวถึงมากนักในวรรณกรรม ฉันยังกังวลว่าวิธีการทั่วไปเช่นนั้นอาจมีปัญหาที่ละเอียดอ่อน พวกเขาจะหมายถึงการนำเสนอที่ดีโดย Kobler, Schöningและ Toran [5] ซึ่ง แต่เป็นตอนนี้อายุกว่า 20 ปีและยังดูเหมือนว่าจะพลาด\ $\oplus$

คำถาม

หนังสือหรือบทความใดที่มีการอ้างอิงที่ดีสำหรับผู้ประกอบการระดับความซับซ้อน?

อ้างอิง

[1]: เควากเนอร์ ความซับซ้อนของปัญหา combinatorial ด้วยการนำเสนอที่รวบรัด Acta แจ้ง 23 (1986) 325–356

[2]: U. Schöning คลาสความซับซ้อนที่น่าจะเป็นและความน่าจะเป็นใน Proc การประชุม IEEE ครั้งที่ 2 เรื่องโครงสร้างในทฤษฎีที่สลับซับซ้อน, 1987, pp. 2-8; ในเจ Comput ระบบ Sci., 39 (1989), pp. 84-100

[3]: S. Toda และ M. Ogiwara การนับชั้นเรียนอย่างน้อยก็ยากพอ ๆ กับลำดับเวลา - พหุนาม SIAM J. Comput 21 (1992) 316–328

[4]: B. และ Borchert, R. Silvestri, ตัวดำเนินการ Dot , วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีเล่ม 262 (2001), 501–523

[5]: J. Köbler, U. Schöningและ J. Torán, กราฟ Isomorphism ปัญหา: ความซับซ้อนของโครงสร้างBirkhäuser, Basel (1993)

reference-request complexity-classes

— Niel de Beaudrap
แหล่งที่มา

บรรพบุรุษที่มีความสำคัญต่อความคิดของผู้ประกอบการที่ซับซ้อนคือการรักษา [6]: S. Zachos, ปริมาณที่น่าจะเป็น, ฝ่ายตรงข้ามและชนชั้นที่ซับซ้อน: ภาพรวม, Proc ของการประชุมเกี่ยวกับโครงสร้างในทฤษฎีความซับซ้อน (pp.383--400), Berkeley, California, ปี 1986 ซึ่งมีการอ้างถึงโดยSchöning [2] ดังกล่าวข้างต้นในการเชื่อมต่อกับNP}

B P \cdot N P

$\mathsf{BP\cdot NP}$

— Niel de Beaudrap

อีกครั้งโดย Zachos สิ่งนี้อาจช่วยได้เช่นกัน: Combinatory Complexity: ผู้ประกอบการในระดับความซับซ้อน

— Alessandro Cosentino

@NieldeBeaudrap Zachos เป็นคนแรกที่เกิดขึ้นกับความคิดของผู้ประกอบการระดับความซับซ้อน ฉันจำได้จากการบรรยายของเขาว่าเขาระบุไว้อย่างชัดเจน นอกจากนี้ยังมีหนึ่งสำหรับการครอบงำส่วนใหญ่+}

\exists^{+}

${\exists^+}$

— Tayfun จ่าย

@TayfunPay: ที่จริงแล้ว quantifierมีประโยชน์สำหรับการอธิบายถึงแม้ว่าจะใช้วิธีการสองแบบที่อธิบายไว้ใน [6] (ในความคิดเห็นของฉันด้านบน) มากกว่าที่อธิบายโดยSchöning

\exists^{+}

$\exists^+$

B P \cdot

$\mathsf{BP\cdot}$

— Niel de Beaudrap

@NieldeBeaudrap นอกจากนี้ยังมีอีกสิ่งหนึ่งที่สามารถนำมาใช้ในการกำหนดข้อผิดพลาดสองด้านมากมาย{1/2}}

\exists_{1 / 2}

${\exists _{1/2}}$

— Tayfun จ่าย

คำตอบ:

นี่คือการอ้างอิงที่มีคำจำกัดความของตัวดำเนินการจำนวนมาก (รายละเอียดไม่มากนัก):

S. Zachos และ A. Pagourtzis, Combinatory Complexity: ผู้ประกอบการในระดับความซับซ้อน , การดำเนินการของ Panhellenic Logic Symposium (PLS 2003), Thessaloniki, 7-10 ก.ค. 2003

มันกำหนดตัวดำเนินการประจำตัวเช่นเดียวกับตัวดำเนินการ -, (ตรงกับเหนือ), , (ตรงกับที่ถูกล้อมรอบหนึ่ง - มีข้อผิดพลาดด้าน), , (ตรงกับความไม่แน่นอนด้วยการยอมรับการเปลี่ยน), (ตรงกับข้อผิดพลาดสองด้านที่ไม่ได้ จำกัด ) และ (สำหรับคลาสรูปแบบ ) $\mathcal E$ $\mathsf{co}$ $\mathsf{N}$ $\exists$ $\mathsf{BP}$ $\mathsf{R}$ $\oplus$ $\mathsf U$ $\mathsf P$ $\Delta$ $\mathbf C$ $\mathbf C \cap \mathsf{co}\mathbf C$
มันแสดงให้เห็นว่า:
1. $\mathcal E$ เป็นองค์ประกอบตัวตนที่เกี่ยวกับองค์ประกอบ [คำนิยาม 1];
2. $\mathsf{co}$ - เป็นแบบย้อนกลับ [นิยาม 2];
3. $\mathsf{N}$ คือ idempotent [คำนิยาม 3] - โดยปริยายก็คือ , , ,และก็เป็น idempotent; $\mathsf{BP}$ $\mathsf{R}$ $\oplus$ $\mathsf U$ $\mathsf{P}$
4. $\mathsf{BP}$ และเดินทางกับ - [คำจำกัดความที่ 4 และ 8] ในขณะที่คือค่าคงที่ภายใต้การจัดองค์ประกอบด้านขวาด้วย - [นิยาม 6]; $\mathsf{P}$ $\mathsf{co}$ $\oplus$ $\mathsf{co}$
5. ตัวดำเนินการด้านบนเป็นเสียงเดียว (นั่นคือสำหรับตัวดำเนินการทั้งหมดข้างต้น) : ${\mathbf C_1 \subseteq \mathbf C_2} \implies {\mathcal O\cdot\mathbf C_1 \subseteq \mathcal O\cdot\mathbf C_2}$ $\mathcal O$

ตลอดทั้งยังอธิบายถึงวิธีการที่ผู้ดำเนินการเหล่านี้เกี่ยวข้องกับคลาสที่ซับซ้อนแบบดั้งเดิมเช่น , , ,ฯลฯ $\mathsf{\Sigma^p_2 P}$ $\mathsf{ZPP}$ $\mathsf{AM}$ $\mathsf{MA}$

— Alessandro Cosentino
แหล่งที่มา

ในฐานะที่เป็นการอ้างอิงเบื้องต้นเกี่ยวกับแนวคิดของผู้ประกอบการที่ซับซ้อน (และแสดงให้เห็นถึงการใช้งานบางอย่างของความคิด) สิ่งที่ดีที่สุดที่ฉันได้พบคือ

D. Kozen ทฤษฎีการคำนวณ (Springer 2006)

ซึ่งได้มาจากบันทึกการบรรยายเรื่องความซับซ้อนในการคำนวณและหัวข้อที่เกี่ยวข้อง ในหน้า 187 ("การบรรยายเพิ่มเติม G: ทฤษฎีบทของโทดะ") เขากำหนดผู้ปฏิบัติงาน

$\mathsf R$ (สำหรับใบรับรองสุ่มที่มีข้อผิดพลาดด้านเดียวที่มีขอบเขตเช่นเดียวกับในคลาส ) $\mathsf{RP}$
$\mathsf{BP}$ (สำหรับใบรับรองสุ่มที่มีข้อผิดพลาดสองด้านถูก จำกัด ขอบเขตดูด้านบน)
$\mathsf P$ (สำหรับใบรับรองสุ่มที่มีข้อผิดพลาดที่ไม่ได้ จำกัด cfในหมายเหตุด้านบน) $\mathsf C$
$\oplus$ (สำหรับจำนวนใบรับรองคี่ดูด้านบน)
$\Sigma^{\mathrm{p}}$ (สำหรับการดำรงอยู่ของใบรับรองความยาวพหุนาม cfด้านบน) $\exists$
$\Sigma^{\mathrm{log}}$ (สำหรับการมีอยู่ของใบรับรองความยาว cfด้านบน) $O(\log n)$ $\exists$
$\Pi^{\mathrm{p}}$ และ (ผู้ประกอบการเสริมเพื่อและ : ดูคำพูดของด้านบน) $\Pi^{\mathrm{log}}$ $\Sigma^{\mathrm{p}}$ $\Sigma^{\mathrm{log}}$ $\forall$
$\#$ (การกำหนดคลาสการนับหมายเหตุของ CF ด้านบน)

และกำหนดโดยปริยายในหน้า 12 ด้วยวิธีปกติ $\mathsf{co\text-}$

การปฏิบัติต่อผู้ประกอบการเหล่านี้ของ Kozen นั้นเพียงพอที่จะระบุว่าพวกเขาเชื่อมต่อกับคลาสความซับซ้อน "ปกติ" ได้อย่างไรและเพื่ออธิบายทฤษฎีบทของโทดะ แต่ไม่ได้พูดถึงความสัมพันธ์ของพวกเขามากนักและกล่าวถึงเพียง 6 หน้าเท่านั้น หนังสือที่ครอบคลุมหัวข้อที่กว้างขึ้นมาก) หวังว่าใครบางคนสามารถให้การอ้างอิงที่ดีกว่านี้

— Niel de Beaudrap
แหล่งที่มา