3-SAT พอใจเพียงใด?

28

พิจารณาปัญหา 3-SAT กับตัวแปร n จำนวนอนุประโยคที่แตกต่างกันที่เป็นไปได้คือ:

C = 2 n \times 2 (n - 1) \times 2 (n - 2) / 3! = 4 n (n - 1) (n - 2) / 3 .

$C = 2n \times 2(n-1) \times 2(n -2) / 3! = 4 n(n-1)(n-2)/3 \text.$

จำนวนกรณีปัญหาที่เกิดขึ้นเป็นจำนวนย่อยทั้งหมดของชุดของคำสั่งที่เป็นไปได้: C เล็กน้อยสำหรับแต่ละมีอย่างน้อยหนึ่งอินสแตนซ์ที่น่าพอใจและหนึ่งอินสแตนซ์ที่ไม่น่าพอใจ เป็นไปได้ที่จะคำนวณหรืออย่างน้อยประมาณจำนวนอินสแตนซ์ที่น่าพอใจสำหรับ n ใด ๆ ที่ระบุ? $I = 2^C$ $n \ge 3$

cc.complexity-theory sat

— Antonio Valerio Miceli-Barone
แหล่งที่มา

ดูคำถามที่เกี่ยวข้องเพิ่มเติมcstheory.stackexchange.com/q/14953

— András Salamon

คุณคิดว่าจะอธิบายวิธีการนับสูตรได้อย่างไร? 3 อยู่ที่ไหน! มาจาก ฯลฯ

— Yan King Yin

คำถามใหม่สำหรับมือใหม่: หากจำนวนการกำหนดค่าทั้งหมด (เช่นการมอบหมายความจริง) คือนี่หมายถึงการมอบหมายความจริงจำนวนมากไม่สามารถแสดงได้โดยอินสแตนซ์ปัญหาใด ๆ นั่นเป็นสิ่งที่ขัดกับความรู้ของฉันว่าสูตรบูลีนนั้นสมบูรณ์ในแง่ที่ว่าพวกเขาสามารถแสดงตารางความจริงใด ๆ จับอะไรที่นี่

2^{2^{n}} ≫ 2^{C}

$2^{2^n} \gg 2^C$

— Yan King Yin

27

ประวัติอันยาวนานของการทำงานเกี่ยวกับการเปลี่ยนเฟสใน SAT ได้แสดงให้เห็นว่าสำหรับการแก้ไขใด ๆ จะมีเกณฑ์ที่กำหนดด้วยอัตราส่วนจำนวนอนุประโยคต่อที่ตัดสินใจว่าน่าพอใจ ถ้าอัตราส่วนน้อยกว่า 4.2 ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ได้รับอย่างท่วมท้นนั้นเป็นที่น่าพอใจ (และเป็นจำนวนที่น้อยมากของจำนวนอินสแตนซ์ที่มีอนุประโยคและตัวแปรมากมายเหล่านี้เป็นที่น่าพอใจ) หากอัตราส่วนดังกล่าวสูงกว่า 4.2 เล็กน้อยการย้อนกลับถือเป็นกรณีที่ไม่น่าพอใจ $n$ $n$

อ้างอิงเป็นวิธีที่มากเกินไปที่จะกล่าวถึงที่นี่: หนึ่งในแหล่งที่มาของข้อมูลเป็นหนังสือโดยMezard และ Montanari หากใครมีแหล่งข้อมูลสำหรับการสำรวจ ฯลฯ ในหัวข้อนี้พวกเขาสามารถโพสต์ไว้ในความคิดเห็นหรือแก้ไขคำตอบนี้ (ฉันจะทำให้มันเป็น CW)

ข้อมูลอ้างอิง:
- แบบสำรวจ Achlioptas
- ปัญหาที่ยากมากคือ
- การปรับเปลี่ยนเฟสในการค้นหาเชิงผสม

— Suresh Venkat
แหล่งที่มา

นั่นเป็นเรื่องที่น่าสนใจมาก "ความน่าจะเป็นที่ท่วมท้น" คืออะไร? นี่คืออะไร 75% หรือ 99.9999%

— Philip White

ฉันจำไม่ได้ว่าเป็นคนซื่อสัตย์ มันถูกกำหนดด้วยระยะทางของอัตราส่วนจากจุดเปลี่ยนและทำหน้าที่เหมือน sigmoid (ดังนั้นมันจึงไปที่ 1 อย่างรวดเร็ว) แบบสำรวจที่เชื่อมโยงอาจมีรายละเอียดเพิ่มเติม

— Suresh Venkat

1

@Philip, Suresh: ใช่มันเป็น "ความไม่ต่อเนื่อง" ที่รวดเร็วมาก ถ้าคุณเห็นแปลงที่น่าจะเป็นที่จะมีการเปลี่ยนแปลงความพึงพอใจทันทีจากเกือบ 1 ถึงเกือบ 0. ที่น่าสนใจก็ว่าเกณฑ์ขึ้นอยู่กับkนอกจากนี้ยังเป็นที่น่าสนใจว่าพฤติกรรมนี้ทั้งหมดดูเหมือนจะค้างไว้สำหรับอินสแตนซ์แบบสุ่มเท่านั้น

k

$k$

— Giorgio Camerani

17

ในอีกด้านหนึ่งอินสแตนซ์ส่วนใหญ่จะไม่น่าพอใจดังที่ได้กล่าวไว้ในความคิดเห็นของ Suresh (อันที่จริงฉันเดาว่าถ้าคุณสุ่มตัวอย่างหนึ่งอินสแตนซ์อย่างสม่ำเสมอคุณควรมีความน่าจะเป็นที่ดีที่จะรวมการปฏิเสธแปดทั้งหมดไว้ในอนุประโยคสำหรับตัวแปรสามตัวนั่นคือไม่น่าพอใจเล็กน้อย) $2^{|C|}$

ในอีกด้านหนึ่งเราอาจ จำกัด จำนวนอินสแตนซ์ที่น่าพอใจโดยลดจำนวนตามที่ได้รับมอบหมายจากศูนย์ทั้งหมด:เช่นเดียวกับทริปเลตของตัวแปรที่นั่น เป็นหนึ่งประโยคที่เราไม่อาจใช้ $2^{(7/8)|C|}$

หนึ่งอาจแล้วบนผูกพันจำนวนกรณีพอใจโดยคูณนี้กับ n ตั้งแต่ฉันเดาว่านี่เป็นการเปลี่ยนแปลงคำสั่งรองเพียงอย่างเดียวแล้ว ... $2^n$ $|C|=O(n^3)$

— แมกนัสWahlström
แหล่งที่มา

เมื่อฉันเริ่มการศึกษาระดับปริญญาเอกของฉันครั้งแรกฉันแสดงให้เห็นว่าถ้าจำนวนอนุประโยคสำหรับ SAT มากกว่าดังนั้นกรณีเหล่านั้นก็ไม่น่าพอใจ ฉันยังพิสูจน์ด้วยว่าถ้าจำนวนคำสั่งอยู่ในช่วงเวลาระหว่างดังนั้นอินสแตนซ์เหล่านั้นน่าพอใจอย่างไม่ซ้ำกันหรือ unsatisfiable ฉันไม่จำต้นกำเนิดของ 3-SAT ที่ด้านบนของหัวของฉัน Ok

3^{n} - 2^{n}

$3^n-2^n$

3^{n} - 2^{n} - 2^{n - 1}

$3^n-2^n-2^{n-1}$

<

$<$

n u m b e r o f c l a u s e s

$number of clauses$

\leq

$\leq$

3^{n} - 2^{n}

$3^n-2^n$

— Tayfun จ่าย

4

คำตอบนี้เกี่ยวข้องเฉพาะกับอัตราการเติบโตของจำนวนอินสแตนซ์ที่น่าพอใจ

ชุดกระจัดกระจายถ้าจำนวนของสตริง n-bit ในชุดถูกล้อมรอบด้วย (สำหรับบางค่าคงที่ ) มิฉะนั้นจะมีความหนาแน่น เป็นที่ทราบกันว่าความน่าเชื่อถือ (NP-complete) และ Unsatisfiability (CoNP-complete) เป็นทั้งชุดหนาแน่น มีอยู่เบาบางชุดที่สมบูรณ์ IFF P $A$ $O(n^k)$ $k$ $NP$ $P=NP$

— Mohammad Al-Turkistany
แหล่งที่มา