คุณสมบัติใดของกราฟระนาบที่ใช้กับมิติ / ไฮเปอร์กราฟที่สูงขึ้น

ภาพถ่ายกราฟเป็นกราฟที่สามารถฝังตัวอยู่ในเครื่องบินโดยไม่ต้องข้ามขอบ

ปล่อยให้เป็น -uniform-hypergraph, เช่น hypergraph ที่ hyperedges ทั้งหมดมีขนาด k$G=(X,E)$$k$

มีงานบางอย่างในการฝังไฮเปอร์กราฟบนเครื่องบิน (ด้วยบริบทของการรวมกลุ่มหรือแอปพลิเคชันอื่น ๆ ) แต่บ่อยครั้งที่ข้อมูลไม่สามารถฝังอยู่ในเครื่องบินได้ วิธีแก้ปัญหาอาจเป็นการบังคับด้วยการสูญเสียหรือฝังในมิติที่สูงกว่าตามที่ฉันแนะนำที่นี่:

ส่วนขยายตามธรรมชาติของ planarity (IMO อย่างน้อยที่สุด) คือ " -simple-embedding" (มีชื่อเรียกที่แตกต่างกันหรือไม่?) ของ : การฝังเช่นนั้นมีพื้นผิวที่เชื่อมต่อทุกจุดของไฮเปอร์มาร์เก็ตแต่ละอันและสิ่งเหล่านี้ไม่ได้ตัดกันยกเว้นจุดปลายG M : X → R$k$$G$$\mathcal{M}:X\to \mathbb{R}^k$

(ลองนึกถึงอะนาล็อกในแบบ 2D โดยที่แต่ละพื้นผิวเป็นขอบคุณสามารถวาดได้ตามต้องการ)

นี่คือตัวอย่างของการฝัง 3-simple-embage ที่ถูกต้องของ 3-uniform-hypergraph (แต่ละจุดสุดยอดจะมีสีโดยไฮเปอร์เดคที่อยู่ในนั้นและแต่ละหน้าแทนไฮเปอร์ดจ์)

ตัวอย่างของกราฟ 3 ง่าย ๆ ก็คือที่สมบูรณ์ 3 เครื่องแบบ hypergraph เมื่อวันที่ 5 จุดV) หากต้องการดูสิ่งนี้ให้ใช้ 4 คะแนนในซึ่งไม่ได้อยู่บนระนาบ 2 มิติสร้างปิรามิดรูปสามเหลี่ยม (ตัวเรือนูน) และวางจุดที่ห้าตรงกลางของปิรามิดเชื่อมต่อกับ จุดยอดอื่น ๆR$G=(V,V\times V\times V)$$\mathbb{R}^3$

ในทำนองเดียวกันดูเหมือนว่ากราฟไฮเพอร์กราฟ 3 ชุดที่สมบูรณ์ใน 6 จุดยอดไม่มีการฝังแบบ 3 อย่างง่าย

มีคุณสมบัติที่มีประโยชน์บางอย่างของกราฟระนาบซึ่งช่วยให้อัลกอริทึมที่ดีขึ้นสำหรับปัญหาที่ยากเมื่อกราฟเป็นระนาบ โชคไม่ดีที่ข้อมูลมักไม่ได้เป็นภาพถ่ายแม้บางครั้งจะมีมิติต่ำ ฉันคิดว่าความเข้าใจว่าคุณสมบัติของกราฟระนาบทั่วไปจะช่วยให้เราทราบว่าอัลกอริทึมใดที่สามารถปรับให้เหมาะกับมิติที่สูงขึ้นด้วยเครื่องมือเดียวกัน

ตัวอย่างของคุณสมบัติที่อาจเป็นประโยชน์มาจากทฤษฎีบทของFáryซึ่งแสดงให้เห็นว่ากราฟกราฟระนาบทุกตัวสามารถฝังในลักษณะที่ขอบทั้งหมดของมันเป็นส่วนของเส้นตรง

ทฤษฎีบทของFáryมีมิติที่สูงกว่าหรือไม่? คือถ้ากราฟมี -simple-embedding แล้วจะมีการฝังที่ขอบไฮเปอร์ทั้งหมดเป็นไฮเปอร์เพลนหรือไม่?$k$

มีคุณสมบัติอื่นใดที่สามารถวางนัยทั่วไปได้หรือไม่? ตัวอย่างเช่นสูตรของออยเลอร์สำหรับกราฟระนาบสามารถวางนัยทั่วไปในมิติที่สูงขึ้นได้ไหม? (แม้ว่าในขณะนี้ฉันไม่แน่ใจว่าสิ่งที่จะเป็นความหมายของมัน)

ตามที่กล่าวไว้เป็นครั้งแรกการโฟกัสของคุณดูเหมือนจะอยู่ในกราฟไฮเปอร์กราฟก์ แต่ฉันคิดว่าวรรณกรรมส่วนใหญ่เกี่ยวกับการฝังไฮเปอร์กราฟก์ชอบที่จะทำงานกับคอมเพล็กซ์อย่างง่าย การอ้างอิงที่ดีสำหรับคำถามเหล่านี้คือบทความนี้โดย Matousek, Tancer และ Wagner

ทฤษฎีบทของFáryมีมิติที่สูงกว่าหรือไม่?

คำตอบคือไม่

ที่จริงแล้วมีความคิดที่แตกต่างกัน 3 ประการของความสามารถในการฝังตัว: ด้วยเส้นตรง, เส้นตรงเป็นเส้นตรงและต่อเนื่อง (ไฮเปอร์) ในเครื่องบินพวกเขาทุกคนเกิดขึ้นพร้อมกัน แต่โดยทั่วไปแล้วพวกเขาทำไม่ได้ เกี่ยวกับงานแต่งงานเส้นตรงตัวอย่างแรกนับเป็นเพราะ Brehm

Brehm, U. (1983) แถบMöbiusที่มีลักษณะเป็นสามเหลี่ยม พร อาเมอร์ คณิตศาสตร์. Soc., 89 (3), 519–522 ดอย: 10.2307 / 2,045,508

และอีกหลายตัวอย่างได้ติดตามการใช้ผลลัพธ์จากทฤษฎี matroid

เกี่ยวกับความแตกต่างระหว่าง PL และทอพอโลยีแบบฝังตัวผลลัพธ์นี้จากตัวอย่างทั่วไปที่เกิดขึ้นจากHauptvermutung : ในมิติที่ 5 และมากกว่านั้นมีทรงกลมทอพอโลยีที่ไม่ยอมรับโครงสร้างเชิงเส้นแบบชิ้นเดียวใด ๆ

มีคุณสมบัติอื่นใดที่สามารถวางนัยทั่วไปได้หรือไม่? ตัวอย่างเช่นสูตรของออยเลอร์สำหรับกราฟระนาบสามารถวางนัยทั่วไปในมิติที่สูงขึ้นได้ไหม?

$k$

ในทำนองเดียวกันดูเหมือนว่ากราฟไฮเปอร์กราฟิคแบบสมบูรณ์ใน 6 จุดยอดไม่มีการฝังแบบ 3 อย่างง่าย

อันที่จริงนี่เป็นผลมาจากการอุดตันของ Van Kampen-Flores นี่คือการอธิบายในรายละเอียดที่น่าทึ่งและชัดเจนในหนังสือของ Matousek โดยใช้ทฤษฎีบทของ Borsuk Ulam

โอ้โอ้. คุณต้องระวังให้มาก กราฟผู้ติดต่อของ polytopes นูนในแบบ 3 มิติสามารถรับรู้กราฟใด ๆ ก็ได้ น่าแปลกที่กลุ่มนักบวชสามารถรู้ได้โดย n polytopes ที่ไม่หมุนและมีการแปลสำเนาของ polytope เดียวกัน (ใจแว่นตา) ดูกระดาษนี้:

http://www.cs.uiuc.edu/~jeffe/pubs/crum.html

นี่ก็หมายความว่าคุณสามารถเข้ารหัสกราฟที่น่ารังเกียจเป็นกราฟสามมิติของสามมิติ ดูหัวข้อ 4 ของเอกสารนี้:

http://sarielhp.org/p/09/set_cover_hard/

BTW ฉันสนใจรุ่นที่คล้ายกันของปัญหาของคุณโดยพยายามที่จะเข้าใจว่ากราฟทางเรขาคณิตแยกพฤติกรรม ...

ทฤษฎีบทชไนเดอร์ระบุว่ากราฟเป็นระนาบถ้ามันเกิดขึ้นในมิติที่ 3 โดยเม็นเดสจะขยายไปยังคอมเพล็กซ์อย่างง่ายตามอำเภอใจ (ดู "การก่อให้เกิดเชิงเรขาคณิตของซิงเกิ้ลเชิงซ้อน น่าประหลาดใจที่มีกระดาษรุ่นเก่าที่มีชื่อคล้ายกันมาก "การก่อให้เกิดรูปทรงเรขาคณิตของศูนย์กึ่งง่าย" แต่ฉันสงสัยว่ามันอยู่ในหัวข้ออื่น

คุณสมบัติที่สำคัญมาก: ต้นไม้คู่ความกว้าง

เช่นดูที่: ต้นไม้ความกว้างของกราฟไฮเปอร์และความเป็นคู่ของพื้นผิวโดย Frederic Mazoit,

นามธรรมมีดังนี้:

ใน Graph Minors III, Robertson และ Seymour เขียนว่า: "ดูเหมือนว่าต้นไม้ที่มีความกว้างของกราฟภาพถ่ายและความกว้างของต้นไม้ของรูปทรงเรขาคณิตคู่นั้นมีค่าเท่ากันโดยแท้จริงเราเชื่อมั่นว่าพวกเขาแตกต่างกันมากที่สุด" พวกเขาไม่เคยให้หลักฐานนี้ ในบทความนี้เราพิสูจน์ให้เห็นถึงลักษณะทั่วไปของคำสั่งนี้เพื่อฝังไฮเปอร์กราฟบนพื้นผิวทั่วไปและเราพิสูจน์ว่าขอบเขตของเราแน่น

http://www.labri.fr/perso/mazoit/uploads/Surface_duality_journal.pdf