คอมพิวเตอร์ควอนตัมมีความแม่นยำเพียงใดหากคุณระงับการใช้หน่วย

คำถามสั้น ๆ

พลังการคำนวณของวงจร "ควอนตัม" คืออะไรถ้าเราอนุญาตให้ประตูที่ไม่ใช่แบบรวม (แต่ยังคงกลับด้าน) และต้องการเอาท์พุทเพื่อให้คำตอบที่ถูกต้องด้วยความมั่นใจ?

คำถามนี้มีความหมายว่าเกิดอะไรขึ้นกับคลาส$\mathsf{EQP}$เมื่อคุณอนุญาตให้ใช้วงจรมากกว่าประตูที่รวมกัน (เรายังคงถูกบังคับให้ จำกัด ตัวเองกับประตูที่กลับไม่ได้เหนือ$\mathbb C$หากเราต้องการที่จะมีรูปแบบการคำนวณที่ชัดเจน)

(คำถามนี้ได้รับการแก้ไขบางส่วนในแง่ของความสับสนในส่วนของฉันเกี่ยวกับผลลัพธ์ที่ทราบเกี่ยวกับวงจรดังกล่าวในกรณีรวมกัน)

เกี่ยวกับการคำนวณควอนตัม "ที่แน่นอน"

ฉันกำหนด$\mathsf{EQP}$เพื่อประโยชน์ของคำถามนี้เพื่อเป็นปัญหาที่สามารถแก้ไขได้อย่างแน่นอนโดยตระกูลควอนตัมวงจรที่สัมประสิทธิ์ของการรวมกันของแต่ละคนคำนวณได้โดยเครื่องทัวริงพหุนามเวลา จำกัด$1^n$ ) สำหรับแต่ละขนาดอินพุต$n$และโครงร่างของวงจรในฐานะเครือข่ายกำกับยังสามารถสร้างได้ในเวลาพหุนาม ด้วยการแก้ไขคำว่า "แน่นอน" ฉันหมายความว่าการวัดบิตเอาต์พุตผลผลิต$|0\rangle$อย่างแน่นอนสำหรับอินสแตนซ์ NO และ$|1\rangle$แน่นอนสำหรับ YES อินสแตนซ์

คำเตือน:

• แม้แต่การ จำกัด ให้ประตูรวมความคิดของนี้แตกต่างจากที่อธิบายโดย Bernstein และ Vazirani โดยใช้เครื่องทัวริงควอนตัม คำจำกัดความข้างต้นอนุญาตให้วงจรครอบครัว{ C n } โดยหลักการมีชุดประตูไม่สิ้นสุด - แต่ละวงจรC nใช้เซตย่อยแน่นอนแน่นอน - เนื่องจากประตูถูกคำนวณจากอินพุต (เครื่องทัวริงควอนตัมสามารถจำลองชุดไฟไนต์เกตใด ๆ ที่คุณต้องการ แต่สามารถจำลองชุดไฟไนต์เกทได้เท่านั้นเพราะมันมีจำนวนการเปลี่ยน จำกัด )$\mathsf{EQP}$$\{ C_n \}$$C_n$

• การคำนวณแบบจำลองนี้ทำให้เกิดปัญหาเล็กน้อยในเนื่องจากการรวมกันอาจมีประตูเดียวซึ่งรหัสยากที่จะแก้ปัญหาใด ๆ ในP (ค่าสัมประสิทธิ์ของมันจะถูกกำหนดโดยการคำนวณโพลี - เวลา) ดังนั้นความซับซ้อนของเวลาหรือพื้นที่เฉพาะของปัญหาจึงไม่น่าสนใจสำหรับวงจรดังกล่าว$\mathsf P$$\mathsf P$

เราสามารถเพิ่มข้อสังเกตเหล่านี้ไว้ว่าการใช้งานจริงของคอมพิวเตอร์ควอนตัมจะมีเสียงดังอยู่แล้ว รูปแบบของการคำนวณนี้เป็นที่น่าสนใจมากที่สุดสำหรับเหตุผลทางทฤษฎีเป็นหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับการแต่งแปลงรวมกันมากกว่าการคำนวณความเป็นไปได้และยังเป็นรุ่นที่แน่นอนของ P โดยเฉพาะอย่างยิ่งแม้จะมีคำเตือนข้างต้นเรามีP ⊆ E Q P ⊆ B Q P$\mathsf{BQP}$$\mathsf{P} \subseteq \mathsf{EQP} \subseteq \mathsf{BQP}$

เหตุผลสำหรับการกำหนดในวิธีที่ผมทำคือเพื่อให้ต่อเนื่องเข้าสู่ระบบสามารถใส่ลงในE Q P โดย [  Mosca + Zalka 2003  ] มีอัลกอริทึมแบบพหุนามเวลาในการสร้างวงจรรวมซึ่งแก้ไขกรณีของ DISCRETE-LOG โดยการผลิต QFT รุ่นที่แน่นอนขึ้นอยู่กับโมดูลัสอินพุต ฉันเชื่อว่าเราสามารถใส่ DISCRETE-LOG ลงในE Q Pตามที่กำหนดไว้ข้างต้นโดยการฝังองค์ประกอบของการสร้างวงจรเข้ากับวิธีการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของเกท (ดังนั้นผล DISCRETE-LOG ∈ E Q Pถือโดย fiat เป็นหลัก แต่อาศัยการก่อสร้างของ Mosca + Zalka)$\mathsf{EQP}$$\mathsf{EQP}$$\mathsf{EQP}$$\in \mathsf{EQP}$

หน่วยการระงับ

Let เป็นระดับการคำนวณที่เราได้รับถ้าเราระงับข้อ จำกัด ที่ประตูจะรวมกันและช่วยให้พวกเขาในช่วงกว่าแปลงผกผัน เราสามารถวางชั้นนี้ (หรือแม้กระทั่งลักษณะมัน) ในแง่ของอื่น ๆ ที่ไม่ใช่กำหนดเรียนแบบดั้งเดิมC ?$\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}}}$$\mathbf C$

หนึ่งในเหตุผลของฉันสำหรับการถาม: ถ้าเป็นคลาสของปัญหาที่แก้ไขได้อย่างมีประสิทธิภาพด้วยข้อผิดพลาดที่ถูกล้อมรอบด้วยชุดวงจร "non-unitary quantum" สม่ำเสมอ - กรณีที่ YES ให้ผลลัพธ์ของ| 1 ⟩กับความน่าจะเป็นอย่างน้อย 2/3 และไม่มีกรณีที่มีความน่าจะเป็นที่มากที่สุด 1/3 (หลังจาก normalizing รัฐเวกเตอร์) - แล้ว[Aaronson 2005]แสดงให้เห็นว่าB Q P G L = P P นั่นคือ: การระงับหน่วยเปรียบเทียบในกรณีนี้เทียบเท่ากับการอนุญาตข้อผิดพลาดที่ไม่ได้ จำกัด$\mathsf{BQP}_{\mathrm{GL}}$$|1\rangle$$\mathsf{BQP}_{\mathrm{GL}} = \mathsf{PP}$

ผลลัพธ์ที่คล้ายกันหรือผลลัพธ์ที่ชัดเจนได้รับสำหรับหรือไม่?$\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}}}$

คำตอบสั้น ๆ ปรากฎว่าการระงับความต้องการของการแปลงแบบรวมและต้องการให้แต่ละการดำเนินการกลับด้านทำให้เกิดคลาสที่สามารถกำหนดช่องว่างได้แน่นอน เรียนเฉพาะในคำถามมีและ 'ใหม่' subclass L P W P Pซึ่งทั้งสองนั่งระหว่างS P PและC = P ชั้นเรียนเหล่านี้มีคำจำกัดความทางเทคนิคที่เป็นธรรมซึ่งจะอธิบายสั้น ๆ ดังนี้ แม้ว่าคำจำกัดความเหล่านี้สามารถทดแทนได้ในหลักการโดยมีคำจำกัดความในแง่ของอัลกอริทึมที่ไม่เหมือนกัน$\mathsf{LWPP}$$\mathsf{LPWPP}$$\mathsf{SPP}$$\mathsf{C_=P}$

คลาสการนับประกอบด้วย GRAPH ISOMORPHISM นอกจากนี้ยังมีทั้งชั้นU Pดังนั้นเราจะไม่คาดหวังที่แน่นอนรวมขั้นตอนวิธีการควอนตัมที่จะเป็นพลังเป็นชั้นเรียนที่ไม่ได้รวม (ที่เรามิฉะนั้นสามารถแสดงN P ⊆ B Q P )$\mathsf{SPP}$$\mathsf{UP}$$\mathsf{NP \subseteq BQP}$

คำตอบอีกต่อไป

• ในคำถามของฉันฉันเสนอ redefining เพื่อให้ปัญหาที่แก้ไขได้โดยครอบครัววงจรเครื่องแบบที่ใช้ประตูที่คำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพ แต่ไม่จำเป็นต้องมาจากประตู จำกัด แน่นอน ฉันไม่ได้อีกต่อไปเพื่อให้แน่ใจว่ามันเป็นความคิดที่ดีที่จะredefine E Q Pในลักษณะนี้ แต่ผมไม่เชื่อว่าครอบครัวของวงจรดังกล่าวมีความคุ้มค่าในการศึกษา พวกเราอาจจะเรียกคลาสนี้ว่าU n i t a r y P Cแทน$\mathsf{EQP}$ $\mathsf{EQP}$$\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C}}$

  มันเป็นไปได้ที่จะแสดงให้เห็นว่าซึ่งจนถึงเมื่อเร็ว ๆ นี้เป็นที่รู้จักกันดีมุ่ง E Q P คลาสL W P Pมากขึ้นหรือน้อยลงสอดคล้องกับปัญหาที่มีอัลกอริทึมแบบสุ่มโดยที่ไม่มีอินสแตนซ์ที่ให้ผลลัพธ์ 1 ด้วยความน่าจะเป็นที่แน่นอน 0.5 และกรณี YES ให้ผลลัพธ์ที่ 1 ด้วยความน่าจะเป็นบางอย่าง และคำนวณอย่างแม่นยำในรูปแบบเหตุผลซึ่งมากกว่า (แต่อาจใกล้เคียงกับชี้แจง) 0.5 คำจำกัดความทางเทคนิคของL W $\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C} \subseteq LWPP}$$\mathsf{EQP}$$\mathsf{LWPP}$ถูกนำเสนอในรูปแบบของเครื่องจักรทัวริงที่กำหนดไว้ แต่ไม่ส่องสว่างอีกต่อไป$\mathsf{LWPP}$

  หากเรากำหนดให้เป็นประตูกลับด้านที่เทียบเท่ากับU n I T a R Y P Cดังนั้นมันจึงเป็นปัญหาที่แก้ไขได้โดยตระกูลวงจรกลับด้านที่มีค่าสัมประสิทธิ์เกตที่คำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพดังนั้นG L P C = L W P P$\mathsf{GLP}_{\mathbb C}$$\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C}}$$\mathsf{GLP_{\mathbb C} = LWPP}$

• ถ้าเรา จำกัด เพื่อ จำกัด ประตูชุดมันเป็นไปได้ที่จะแสดงให้เห็นว่าครอบครัวของวงจรรวมอาจจะจำลองในกลุ่มย่อยของซึ่งเราอาจเรียกL P W P P (โดยใช้คำอธิบายของL W P Pด้านบนนี่สอดคล้องกับอัลกอริธึมแบบสุ่มที่ความน่าจะเป็นที่จะได้ผลลัพธ์จาก 1 สำหรับอินสแตนซ์ YES คือm t ( x ) / 2 p ( | x | )สำหรับพหุนามpบางคน จำนวนเต็ม$\mathsf{LWPP}$$\mathsf{LPWPP}$$\mathsf{LWPP}$$m^{t(x)} / 2^{p(|x|)}$$p$$m$และพหุนามคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพ )$t$

  ถ้าเรากำหนดจะเป็นเทียบเท่า invertible ประตูของE Q Pขณะที่มันถูกกำหนดไว้ตามปกติเราอาจแสดงให้เห็นว่าE Q P G L ⊆ L P W P P$\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}}}$$\mathsf{EQP}$$\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}} \subseteq LPWPP}$

การแก้ไขเกี่ยวกับการบันทึกที่ไม่ถูกต้อง

ผลลัพธ์ข้างต้นใช้เทคนิคมาตรฐานเพื่อเป็นตัวแทนของสัมประสิทธิ์พีชคณิตในลักษณะที่เป็นอิสระจากอินพุต (แต่อาจขึ้นอยู่กับขนาดอินพุต) ในคำอธิบายของคำถามเดิมฉันอ้างว่า [ Mosca + Zalka 2003 ] แสดงว่า DISCRETE LOG สามารถแก้ไขได้โดยชุดประตูที่มีค่าสัมประสิทธิ์การคำนวณอย่างมีประสิทธิภาพ ความจริงดูเหมือนจะซับซ้อนมากขึ้น ถ้าใครสนใจเรื่องการแก้ปัญหาที่แน่นอนฉันก็ถือว่าการแทนค่าสัมประสิทธิ์เป็นสิ่งสำคัญ: แต่ Mosca และ Zalka ไม่ได้ให้วิธีการทำแบบนี้ขึ้นอยู่กับวิธีการป้อนข้อมูล ดังนั้นจึงไม่เห็นได้ชัดว่าไม่ต่อเนื่อง LOG ในความเป็นจริงในหรือในชั้นเรียนใหม่U n ฉันt R Y $\mathsf{EQP}$ .$\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C}}$

การอ้างอิง

• de Beaudrap, ในการนับที่แน่นอนและความซับซ้อนเสมือนควอนตัม , [ arXiv: 1509.07789 ]