การลดลงควรทำให้เรามองโลกในแง่ดีขึ้นหรือน้อยลง

สำหรับผมแล้วดูเหมือนว่านักทฤษฎีที่ซับซ้อนส่วนใหญ่เชื่อในกฎทางปรัชญาดังต่อไปนี้:

หากเราไม่สามารถหาอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับปัญหาและเราสามารถลดปัญหาA เป็นปัญหาB ได้นั่นก็อาจไม่มีอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพสำหรับปัญหาBเช่นกัน$A$$A$$B$$B$

นี่คือเหตุผลที่ตัวอย่างเช่นเมื่อปัญหาใหม่ได้รับการพิสูจน์ปัญหา NP-Complete เราเพียงแค่ยื่นมันว่า "ยากเกินไป" แทนที่จะตื่นเต้นกับวิธีการใหม่ (ปัญหา ) ที่อาจแสดงP = N P ในที่สุด$B$$P = NP$

ฉันกำลังคุยเรื่องนี้กับนักเรียนระดับบัณฑิตศึกษาในสาขาวิทยาศาสตร์อื่น เธอพบว่าความคิดนี้ต่อต้านอย่างชาญฉลาด การเปรียบเทียบของเธอ:

คุณเป็นนักสำรวจค้นหาสะพานเชื่อมระหว่างทวีปอเมริกาเหนือและทวีปเอเชีย เป็นเวลาหลายเดือนที่คุณพยายามและล้มเหลวในการหาสะพานที่ดินจากพื้นที่สหรัฐอเมริกาแผ่นดินใหญ่ไปยังเอเชีย จากนั้นคุณจะค้นพบว่าสหรัฐอเมริกาแผ่นดินใหญ่เชื่อมต่อกันด้วยที่ดินไปยังพื้นที่อะแลสกา คุณตระหนักว่าสะพานที่ดินจากอลาสก้าไปยังเอเชียจะหมายถึงสะพานที่ดินจากสหรัฐอเมริกาไปยังเอเชียซึ่งคุณค่อนข้างแน่ใจว่าไม่มีอยู่จริง ดังนั้นคุณไม่ต้องเสียเวลาสำรวจใกล้อลาสก้า คุณกลับบ้าน

กฎทางปรัชญาก่อนหน้าของเราฟังดูไร้สาระในบริบทนี้ ฉันไม่สามารถนึกถึงการโต้แย้งที่ดี! ดังนั้นฉันเปลี่ยนมันไปพวกคุณ: ทำไมเราควรจะรักษาลด→ Bกับการทำให้ปัญหาBยากแทนที่จะทำให้ปัญหาง่ายขึ้น?$A \to B$$B$$A$

ฉันคิดว่านี่เป็นคำถามที่ดีมาก ในการตอบคำถามเราจำเป็นต้องตระหนักว่า:

• การลดลงไม่เหมือนกันทั้งหมด
• เพื่อที่จะรู้สึกในแง่ดีเราจำเป็นต้องเรียนรู้สิ่งที่เป็นประโยชน์อย่างแท้จริง

$A \to B$

1. เราเรียนรู้สิ่งที่เป็นประโยชน์เกี่ยวกับปัญหา A (และไม่มีอะไรเกี่ยวกับปัญหา B)
2. เราเรียนรู้สิ่งที่ท้อใจเกี่ยวกับปัญหา B (และไม่มีอะไรเกี่ยวกับปัญหา A)

อีกเล็กน้อยที่แม่นยำทั้งสองกรณีนี้อาจมีลักษณะดังนี้:

1. เราค้นพบว่าปัญหา A มีโครงสร้างที่ซ่อนอยู่บางส่วนซึ่งทำให้สามารถออกแบบอัลกอริทึมใหม่ที่ชาญฉลาดสำหรับการแก้ปัญหา A. เราเพียงแค่ต้องรู้วิธีแก้ปัญหา B

2. เราตระหนักว่าในบางกรณีพิเศษปัญหา B นั้นเป็นเพียงปัญหา A โดยการปลอมตัว ขณะนี้เราสามารถเห็นได้ว่าอัลกอริทึมใด ๆ สำหรับการแก้ปัญหา B ต้องแก้ไขอย่างน้อยกรณีพิเศษเหล่านี้อย่างถูกต้อง และการแก้กรณีพิเศษเหล่านี้เทียบเท่ากับการแก้ปัญหา A. เรากลับมาที่จตุรัสหนึ่ง: เพื่อให้ความคืบหน้ากับปัญหา B เราต้องดำเนินการกับปัญหา A ก่อน

การลดลงของประเภท 1 เป็นเรื่องปกติในบริบทของผลลัพธ์เชิงบวกและเป็นเหตุผลที่ดีที่จะรู้สึกในแง่ดี

อย่างไรก็ตามหากคุณพิจารณาการลดความแข็งที่เราพบในบริบทของตัวอย่างการพิสูจน์ความแข็งแบบ NP นั้นจะเป็นแบบที่ 2 เกือบตลอดเวลา

โปรดทราบว่าแม้ว่าคุณจะไม่ทราบอะไรเกี่ยวกับความซับซ้อนในการคำนวณของปัญหา A หรือปัญหา B คุณสามารถบอกได้ว่าการลดลงของคุณเป็นแบบ 1 หรือ 2 ดังนั้นเราไม่จำเป็นต้องเชื่อเช่น P ≠ NP ถึง ตรวจสอบว่าเราควรรู้สึกในแง่ดีหรือมองโลกในแง่ร้าย เราสามารถเห็นสิ่งที่เราได้เรียนรู้ด้วยการลด

สิ่งที่หายไปจากการเปรียบเทียบคือความคิดเกี่ยวกับระยะทางที่เกี่ยวข้อง เรามาแทนที่อลาสก้าในการเปรียบเทียบกับดวงจันทร์ของเรา:

คุณเป็นนักสำรวจค้นหาสะพานเชื่อมระหว่างทวีปอเมริกาเหนือและทวีปเอเชีย เป็นเวลาหลายเดือนที่คุณพยายามและล้มเหลวในการหาสะพานที่ดินจากพื้นที่สหรัฐอเมริกาแผ่นดินใหญ่ไปยังเอเชีย จากนั้นคุณจะค้นพบว่าแผ่นดินใหญ่ของสหรัฐเชื่อมต่อกันด้วยแผ่นดินกับดวงจันทร์ คุณมั่นใจแล้วว่าดวงจันทร์อยู่ห่างจากเอเชียมากดังนั้นตอนนี้คุณสามารถมั่นใจได้ว่าอเมริกาเหนือยังห่างไกลจากเอเชียด้วยสามเหลี่ยมที่ไม่เท่ากัน

มันไม่เป็นความจริงที่เรามักจะมองทฤษฎีบทการลดลงมาเป็นคำสั่งความแข็ง ตัวอย่างเช่นในอัลกอริทึมเรามักจะลดปัญหาการ LP และ SDP เพื่อแก้ปัญหา สิ่งเหล่านี้ไม่ได้ถูกตีความว่าเป็นผลความแข็ง แต่เป็นผลจากอัลกอริทึม อย่างไรก็ตามแม้ว่าจะเป็นการลดลงทางเทคนิคเรามักจะไม่อ้างถึงสิ่งเหล่านี้ สิ่งที่เราหมายถึงโดยการลดมักจะลดปัญหายากบาง (NP-)

$A$$B$$A$$B$$B$$A$$A$$A$$B$$B$. นักวิจัยส่วนใหญ่พบว่ามีแนวโน้มที่ P จะไม่เท่ากับ NP และแม้แต่การคาดเดาว่า SAT ต้องใช้เวลาในการอธิบาย กล่าวอีกนัยหนึ่ง SAT เชื่อว่าเป็นเรื่องยากมาก หากคุณยอมรับการคาดเดาเหล่านี้ก็มีเหตุผลอย่างสมบูรณ์ที่จะดูการลดการพิสูจน์ความเป็นสากลของปัญหาสำหรับปัญหา NP เป็นปัญหาที่ยาก (ทำไมนักวิจัยพบว่า P ไม่เท่ากับ NP มีแนวโน้มที่จะเป็นปัญหาที่แตกต่างกันมีการโพสต์บล็อกในบล็อกทฤษฎีเกี่ยวกับเรื่องนั้น)

ส่วนหนึ่งของเหตุผลที่เราแทนที่ขอบเขตล่างด้วยผลลัพธ์สากล (นั่นคือมีการลดลงจากทุกปัญหาในชั้นเรียนถึงปัญหา) คือการที่เราไม่ประสบความสำเร็จในการพิสูจน์ขอบเขตทั่วไปที่ดี (มันสอดคล้องกับสถานะปัจจุบันของความรู้ SAT สามารถแก้ไขได้ในเวลาที่กำหนดเชิงเส้น)

ที่จริงแล้วการค้นพบอะแลสกาจะมีผลตรงกันข้ามอย่างน้อยก็ในตอนแรก เพราะมันขยายเพื่อให้ห่างไกลทางตะวันตกก็จะทำให้คนคิดว่าเดี๋ยวก่อนอาจจะมีเป็นสะพานที่ดินหลังจากทั้งหมด (การเปรียบเทียบเป็นเดี๋ยวก่อนอาจP  =  NPตั้งแต่นี้ใหม่NPลักษณะปัญหาที่สมบูรณ์เหมือนเช่นผู้สมัครที่ดีสำหรับ มีวิธีแก้ปัญหาเวลาพหุนาม) อย่างไรก็ตามเมื่ออะแลสกาได้รับการสำรวจอย่างละเอียดและไม่พบสะพานที่ดินผู้คนน่าจะมีความมั่นใจมากกว่าเดิมก่อนว่าเอเชียและอเมริกาจะแยกจากกัน

คำถามที่แนะนำเปรียบเทียบโดยเฉพาะอย่างยิ่ง / อุปมาไม่ได้ใช้มากโดยผู้เชี่ยวชาญและมุ่งเน้นเฉพาะการ P / NP และไม่ได้พูดถึงการเรียนซับซ้อนอื่น ๆ ในขณะที่ผู้เชี่ยวชาญด้านการมีแนวโน้มที่จะเห็นว่ามันเป็นจักรวาลที่เชื่อมต่อกันขนาดใหญ่ของหน่วยงานเช่นเดียวกับในแผนภาพที่โดดเด่นที่สร้างขึ้นโดย Kuperberg . มันจะเป็นระเบียบเรียบร้อยในการรวบรวมรายการอุปมาที่มีขนาดใหญ่ของคลาสที่มีความซับซ้อน มันพูดถึงปัญหา "ยื่นออกไป" พิสูจน์แล้วว่าเป็นปัญหาที่สมบูรณ์และ "ตื่นเต้นกับวิธีการใหม่"

เราสามารถเข้าใจได้ว่ามี "ความตื่นเต้น" เริ่มต้นในการค้นพบคลาสสมบูรณ์ของ NP แต่บางส่วน "ความตื่นเต้น" ได้จางหายไปหลังจากสี่สิบปีแห่งความพยายามอย่างแรงกล้าที่จะพิสูจน์ว่า P ≠ NP ดูเหมือนจะไม่หายไปไหน ไม่ใกล้ ประวัติศาสตร์เต็มไปด้วยนักวิจัยที่ใช้เวลานานหลายปีในการแก้ไขปัญหาโดยไม่มีความคืบหน้าชัดเจนหรือบางครั้งก็รู้สึกเสียใจในภายหลัง ดังนั้น NP ที่สมบูรณ์สามารถรับใช้ (เพื่อยืมการเปรียบเทียบของ Aaronson) เป็น "รั้วไฟฟ้า" คำเตือน / คำเตือนไม่ให้เข้าไปมีส่วนร่วมในความพยายามมากเกินไป (ที่นี่อย่างแท้จริงในรูปแบบมากกว่าหนึ่ง) ปัญหา "ยาก"

มันเป็นความจริงมีประเด็นสำคัญของปัญหาการทำรายการ "NP สมบูรณ์" ที่ยังคงดำเนินต่อไป อย่างไรก็ตามการวิจัย "finer-grained" ขนาดใหญ่เกี่ยวกับปัญหาที่สำคัญของ NP ที่สมบูรณ์ (SAT, การตรวจจับกลุ่ม ฯลฯ ) ดำเนินต่อไป (อันที่จริงปรากฏการณ์ที่คล้ายกันมากเกิดขึ้นกับปัญหาที่คาดไม่ถึง wrt: เมื่อพิสูจน์แล้วไม่ได้ว่ามันแน่นอนว่าราวกับว่าพวกเขาถูกปกครองเป็น "ไม่มีที่ดินชาย" เพื่อสอบถามเพิ่มเติม)

ดังนั้นปัญหาที่สมบูรณ์ของเอ็นพีจะได้รับการพิสูจน์เทียบเท่ากับทฤษฎีในปัจจุบันและบางครั้งก็แสดงให้เห็นในการคาดเดาที่น่าทึ่งเช่นการคาดเดาของมอร์แมน นักวิจัยหวังว่าสิ่งนี้จะเปลี่ยนแปลงในสักวันหนึ่ง

คำถามนี้มีป้ายกำกับsoft-questionด้วยเหตุผลที่ดี คุณจะไม่พบนักวิทยาศาสตร์ที่จริงจังมากที่พูดถึงการเปรียบเทียบในเอกสารของพวกเขาซึ่งเปลี่ยนไปเป็นวิทยาศาสตร์ยอดนิยมแทนที่จะเลือกที่จะมุ่งเน้นไปที่ความแม่นยำ / ความแม่นยำทางคณิตศาสตร์ (และเน้นในแนวทางการสื่อสารสำหรับกลุ่มนี้) อย่างไรก็ตามมีคุณค่าบางอย่างสำหรับการศึกษาและการสื่อสารกับบุคคลภายนอก / ฆราวาส

นี่คือบางส่วน "เคาน์เตอร์ - เปรียบเทียบ" สำหรับอุปัฏฐากพร้อมกับ "ผู้นำการวิจัย" กับแนวคิด นี่อาจเป็นรายการที่ยาวกว่า

• มีความคล้ายคลึงกันของดินแดนในคำถาม แต่มันก็ทำให้รู้สึกมากขึ้นในการคิดของภูมิภาคที่สำคัญของทฤษฎีความซับซ้อนรวมทั้งที่อยู่ในชั้นเรียนที่รู้จักในฐานะดินแดน กล่าวอีกนัยหนึ่งมีพื้นที่ของ P intersect NP ทั้ง P และ NP มีความเข้าใจค่อนข้างดี แต่ไม่ทราบว่าภูมิภาค P ⋂ NP-hard (P intersect NP-hard) ว่างเปล่าหรือไม่

• เมื่อไม่นานมานี้Aaronsonได้ให้คำอุปมาเกี่ยวกับกบสองชนิดที่แตกต่างกันซึ่งไม่เคยผสมกับ P / NP เขายังเรียกว่า "รั้วไฟฟ้าที่มองไม่เห็น" ระหว่างคนทั้งสอง

• ฟิสิกส์ของอนุภาคศึกษาแบบจำลองมาตรฐาน ฟิสิกส์ศึกษาองค์ประกอบของอนุภาคเช่นเดียวกับทฤษฎีความซับซ้อนศึกษาองค์ประกอบของคลาสความซับซ้อน ในวิชาฟิสิกส์มีความไม่แน่นอนเกี่ยวกับว่าอนุภาคบางตัวก่อให้เกิดสิ่งอื่นอย่างไร ("การสร้างขอบเขต") เช่นเดียวกับในทฤษฎีความซับซ้อน

• "the complex zoo" , มันเหมือนกับสัตว์ประหลาดมากมายที่มีความสามารถแตกต่างกันไป, สัตว์ตัวเล็ก / อ่อนแอและสัตว์ขนาดใหญ่ / ทรงพลัง

• ความซับซ้อนของการเรียนเป็นไปอย่างราบรื่นเวลา / พื้นที่อย่างต่อเนื่องตามที่เห็นในทฤษฎีบทลำดับชั้นเวลา / พื้นที่ที่มี"จุดเปลี่ยน" (น่าแปลกใจที่ค่อนข้างคล้ายกับการเปลี่ยนเฟสของสสาร) ระหว่างรัฐต่าง ๆ

• เครื่องทัวริงเป็นเครื่องที่มี "ชิ้นส่วนที่เคลื่อนไหว" และเครื่องจักรทำงานได้ซึ่งเทียบเท่ากับการวัดพลังงานและมีการวัดเวลา / พื้นที่ ดังนั้นคลาสที่ซับซ้อนจึงถูกมองว่าเป็น"พลังงาน" ที่เกี่ยวข้องกับการแปลงอินพุต - เอาท์พุตกล่องดำ

• มีหลาย analogs ที่เป็นไปได้จากประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์เช่นปัญหาของการยกกำลังสองวงกลม, การหาวิธีแก้ปัญหาพีชคณิตกับสมการ quintic, เป็นต้น

• โลกของ Impaggliazo

• หนังสือเล่มใหม่ของ Fortnowsมีความคล้ายคลึงทางวิทยาศาสตร์ที่เป็นที่นิยมสำหรับการขุด

• การเข้ารหัส / ถอดรหัส: ทัวริงทำงานอย่างมีชื่อเสียงในช่วงสงครามโลกครั้งที่สองและทฤษฎีจำนวนมากที่พิสูจน์ถึงความแตกต่างในคลาสความซับซ้อนอาจดูคล้ายกับปัญหาการถอดรหัส สิ่งนี้ทำให้เกิดความมั่นคงมากขึ้นด้วยเอกสารเช่นNatural Proofsที่การแยกระดับความซับซ้อนเกี่ยวข้องโดยตรงกับ "การทำลาย" การสร้างตัวเลขสุ่มหลอก

• การบีบอัด / คลายการบีบอัด: คลาสความซับซ้อนที่แตกต่างกันอนุญาตให้ / แทนจำนวนการบีบอัดข้อมูลที่แตกต่างกัน เช่นสมมติว่า P / poly มี NP นั่นหมายถึงว่ามีเอนทิตี "เล็กกว่า" (เช่นวงจร) ที่สามารถ "เข้ารหัส" "ปัญหาใหญ่" เอ็นพีที่สมบูรณ์เช่นโครงสร้างที่ใหญ่กว่า (ข้อมูล) สามารถ "บีบอัด" ได้อย่างมีประสิทธิภาพเป็นโครงสร้างขนาดเล็ก (ข้อมูล)

• ตามการเปรียบเทียบของสวนสัตว์ / สัตว์มีชายตาบอดและช้างที่แข็งแกร่งในด้านทฤษฎีความซับซ้อน เห็นได้ชัดว่าสนามยังคงเป็นไปได้ / ในช่วงก่อนหน้าของอาร์คที่ยาวมาก (นี่ไม่น่าเชื่อหรือไม่เคยได้ยิน - ของ wrt สาขาวิชาคณิตศาสตร์อื่น ๆ ที่มีช่วงศตวรรษหรือแม้กระทั่งพันปี) และความรู้มากมายสามารถมองเห็นได้เป็นบางส่วน การแยกส่วน

ในระยะสั้นคำถามถามเกี่ยวกับ "แง่ดีที่เกี่ยวข้องกับการลด" นักวิทยาศาสตร์โดยทั่วไปละเว้นจากอารมณ์หรือแม้แต่หัวเราะพวกเขาในบางครั้งในการค้นหาตรรกะของพวกเขาล้วนๆ มีความสมดุลของการมองโลกในแง่ร้ายในระยะยาวและการมองโลกในแง่ดีอย่างระมัดระวังในขณะที่มีห้องว่างสำหรับการให้ข้อมูลอย่างไม่เป็นทางการนักวิจัยที่จริงจังทุกคนควรพยายามมุ่งสู่ความเป็นมืออาชีพในทัศนคติของพวกเขา เข้าใจได้ว่ามีการมุ่งเน้นไปที่ชัยชนะเล็ก ๆ และการเพิ่มขึ้นและไม่ได้รับ "ดำเนินการ"