ตัดส่วนที่เชื่อมโยงอย่างยิ่ง

ด้วย digraph ที่เชื่อมต่ออย่างยิ่งกับขอบถ่วงน้ำหนักฉันต้องการระบุขอบที่ไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของ subgraph (MSCS) ของ G

วิธีการหนึ่งในการค้นหาขอบดังกล่าวเป็นอัลกอริทึม Floyd-Warshall ดัดแปลง การใช้อัลกอริทึมของ Floyd-Warshall ทำให้สามารถระบุได้ว่าขอบตัวใดเป็นตัวเลือกที่ดีที่สุดสำหรับการเปลี่ยนจากจุดยอด i ไปเป็น j โหนดเหล่านี้ไม่สามารถเป็นส่วนหนึ่งของ MSCS ได้เพราะเป็นการดีกว่าที่จะแทนที่ด้วยขอบอื่น ๆ สองหรือมากกว่า

เทคนิคการตัดแต่ง Floyd-Warshall ทำงานได้ค่อนข้างดีเมื่อน้ำหนักขอบแตกต่างกันอย่างมาก แต่คุณภาพต่ำมากเมื่อน้ำหนักขอบคล้ายกัน แต่มีขนาดใหญ่

คุณรู้วิธีการตัดแต่งกิ่งที่มีประสิทธิภาพสำหรับน้ำหนักขอบขนาดใหญ่ที่คล้ายกันหรือไม่? ปัญหานี้เทียบเท่ากับปัญหาทั่วไปที่ฉันไม่รู้จักหรือไม่ มีการศึกษาการตัดแต่งกิ่งแบบนี้มาก่อนหรือไม่?

เราสมมติว่าน้ำหนักขอบเป็นจำนวนเต็มบวก กำหนดกราฟGมีน้ำหนักขอบโทรขอบอี ซ้ำซ้อนถ้าอีไม่ได้อยู่ในขั้นต่ำใด ๆ น้ำหนักอย่างยิ่งที่เชื่อมต่อ subgraphs ของทอดG

เราอ้างว่าถ้า P = NP ไม่มีอัลกอริทึมเวลาพหุนามที่พบขอบซ้ำซ้อนในกราฟกำกับที่กำหนดที่มีน้ำหนักขอบตราบใดที่มี อย่างแม่นยำมากขึ้น:

ทฤษฎีบท กำหนดกราฟกำกับG ที่มีน้ำหนักขอบมันเป็นเรื่องยากที่จะหาขอบที่ซ้ำซ้อนในGหรือประกาศว่าGไม่มีขอบที่ซ้ำซ้อน

พิสูจน์ การสังเกตที่สำคัญคือถ้าGมีกราฟย่อยแบบสแปนนิ่งที่เชื่อมต่ออย่างยิ่งที่ไม่ซ้ำใครคุณสามารถคำนวณกราฟย่อยนั้นได้โดยการลบขอบที่ซ้ำซ้อนกันทีละตัว ดังนั้นจึงยังคงแสดงให้เห็นว่าเอกลักษณ์ไม่ได้ทำให้ปัญหา subgraph ที่เชื่อมต่ออย่างมากที่มีน้ำหนักน้อยที่สุดนั้นง่ายขึ้น แต่นี่เป็นการพิสูจน์โดยเล็มม่าต่อไป QED

บทแทรก กำหนดกราฟกำกับG ที่มีน้ำหนักขอบมันเป็น NP- ยากที่จะคำนวณน้ำหนักของกราฟย่อยของ Spanning ที่เชื่อมต่ออย่างน้อยที่สุดของGแม้ภายใต้คำสัญญาว่าGมีกราฟย่อย Spanning ที่เชื่อมโยงกันอย่างหนักเป็นพิเศษ

พิสูจน์ อย่างที่คุณทราบปัญหาที่ไม่มีสัญญาคือ NP-hard (แม้แต่กรณีน้ำหนักต่อหน่วย) โดยการลดลงของปัญหาวงจร Hamiltonian เราลดปัญหาโดยไม่ต้องสัญญากับปัญหาด้วยสัญญา

ให้Gเป็นกราฟกำกับที่มีน้ำหนักขอบ ป้ายขอบของGโดยอี₀ , อี₁ , ... , อี_{เอ็ม -1}ที่ม.เป็นจำนวนขอบในG Let W _ฉันเป็นน้ำหนักที่กำหนดของขอบอีฉัน ให้น้ำหนักใหม่W ' _ฉัน = 2 ^เมตร W _ฉัน 2 ฉัน จากนั้นจึงง่ายต่อการตรวจสอบว่าGกับตุ้มน้ำหนักใหม่มีกราฟย่อยที่ครอบคลุมอย่างยิ่งที่เชื่อมโยงกัน นอกจากนี้ยังง่ายต่อการตรวจสอบน้ำหนักที่น้อยที่สุดWของกราฟย่อยย่อยที่เชื่อมต่ออย่างยิ่งในGด้วยน้ำหนักดั้งเดิมสามารถคำนวณได้จากน้ำหนักต่ำสุดW ′ในGด้วยน้ำหนักใหม่เป็นW = ⌊ W ′ / 2 ^m ⌋ QED