พิสูจน์ความไม่สามารถตัดสินใจได้โดยการลดลงจากปัญหาการหยุดชะงัก

วิธีปกติของการพิสูจน์ undecidability คือการลดจากปัญหา RE-Complete เช่นปัญหาการหยุดชะงัก, ความถูกต้องในตรรกะลำดับแรกความพึงพอใจของสมการไดโอแฟนไทน์ ฯลฯ

เป็นที่ทราบกันดีว่ามีปัญหาที่นับไม่ได้ซ้ำ ๆ แต่ไม่สามารถตัดสินใจได้ที่ไม่สมบูรณ์ซ้ำ แต่สิ่งเหล่านี้เป็นสิ่งก่อสร้างประดิษฐ์ (นั่นคือชุดที่กำหนดไว้เพื่อแสดงผลลัพธ์ "ความหนาแน่น")

หนึ่งจะแก้ไขปัญหาพิสูจน์ undecidability โดยไม่มีการลดจากปัญหา RE- สมบูรณ์ได้อย่างไร diagonalization?

computability

— David Monniaux
แหล่งที่มา

อาจเป็นคำถามที่ถูกต้องคือ: " วิธีการโดยตรงที่แตกต่างกันในการพิสูจน์ความไม่แน่นอน" คืออะไร?

— Suresh Venkat

ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ Godel ถูกมองว่าค่อนข้างจะเป็น "วิธีที่แตกต่าง" ... การพิสูจน์ diagonalization อื่นขึ้นอยู่กับว่า # ของโปรแกรม / อินพุตคู่มีนับได้ แต่ภาษานับไม่ได้และในลักษณะนี้คล้ายกับความไม่แน่นอนของ reals ด้วยจำนวนเต็ม ดูคำถามนี้อีกครั้งเกี่ยวกับทฤษฎีบทจุดคงที่ของ Lawvere

— vzn

ซ้ำกันที่เป็น

— Kaveh

@vzn: ผมคิดว่าของเกอเดลไม่สมบูรณ์เป็นหลักหลักฐานเดียวกัน ...

— โจชัว Grochow

เพียงแค่อยากรู้อยากเห็นสำหรับปัญหาหรือภาษาที่คุณพยายามพิสูจน์ undecidability? ผมคิดว่ามีหลายปัญหาที่ตัดสินไม่ได้เป็นที่รู้จักกัน (ดูตัวอย่างขนาดเล็กรายการในวิกิพีเดีย) ที่คุณสามารถลดลงจากดังนั้นฉันสงสัยว่าถ้าอย่างน้อยหนึ่งในนั้นคือคล้ายกับของคุณหรือถ้ามันเป็นปัญหาใหม่ที่สมบูรณ์

— Marzio De Biasi

คำตอบ:

เราสามารถแสดงให้เห็นได้อย่างตรงไปตรงมาว่าความซับซ้อนของ Kolmogorov นั้นไม่สามารถคำนวณได้เช่น Sipser, 3rd edition, problem 6.23

— Bjørn Kjos-Hanssen
แหล่งที่มา

สิ่งนี้ควรทำตามโดยตรงจากทฤษฎีความไม่สมบูรณ์ของ Chaitinซึ่งมีข้อพิสูจน์ที่ค่อนข้างคล้ายกัน

— Yonatan N

ดูเหมือนว่าฉันจากปัญหาก่อนหน้านี้ที่ Sipser ตั้งใจให้นักเรียนใช้ความลังเลของปัญหาการลังเลสำหรับการพิสูจน์นี้ดังนั้นบางทีมันก็คุ้มค่าที่จะวาดภาพการพิสูจน์โดยตรงของความไม่สามารถคำนวณได้ในคำตอบ

— usul

การเปรียบเทียบจริงกับแบบฝึกหัด 6.24 และ 6.25 ก็ช่วยได้เช่นกัน

— Bjørn Kjos-Hanssen

ฉันคิดว่ามันอาจจะคุ้มค่าที่จะชี้ให้เห็น - เนื่องจาก OQ ถามเฉพาะเกี่ยวกับการทแยงมุม - การพิสูจน์ว่า K นั้นไม่สามารถคำนวณได้ก็เป็นเส้นทแยงมุมเช่นกัน (อันที่จริงแล้วโดยทั่วไปแล้วมันก็คือเส้นทแยงมุมวานิลลาธรรมดาที่ใช้ในการพิสูจน์ HALT ที่ไม่สามารถโต้แย้งได้ซึ่งเป็นเช่นเดียวกับข้อพิสูจน์ดั้งเดิมของคันทอร์เกี่ยวกับโรคหัวใจซึ่งเป็นเช่นเดียวกับบทพิสูจน์ของ Godel และ Chaitin ที่ไม่สมบูรณ์ รุ่นของรัสเซลเป็นเส้นขนาน ...

— โจชัว Grochow

พิจารณาสิ่งที่ฉันชอบเรียกว่าปัญหาการคาดเดาอย่างต่อเนื่อง

$M$

(แน่นอนว่านี่ไม่ใช่ภาษา แต่เป็นเหมือนอนาล็อกที่คำนวณได้ของปัญหาสัญญา)

ตอนนี้จากการดัดแปลงหลักฐานต้นฉบับของทัวริงมันค่อนข้างง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าการคาดเดาอย่างต่อเนื่องนั้นไม่สามารถพิสูจน์ได้ (ฉันจะปล่อยให้มันเป็นแบบฝึกหัดให้คุณ)

$A$ $A$

— Scott Aaronson
แหล่งที่มา

ขอบคุณ แต่ ... อีกครั้งพิสูจน์ได้ในแนวทแยง ;-) ปัญหาของฉันคือฉันมีบางอย่างที่ฉันคิดว่าไม่สามารถตัดสินใจได้ (โดยทั่วไปแล้วสำหรับ 35+ ปีที่ผู้คนมักจะมองหาอัลกอริทึมการแก้ปัญหาหรืออัลกอริทึมที่ถูกต้องสำหรับ subclasses เพื่อแก้ปัญหา) แต่ดูเหมือนว่า ลดลงจากอีกบางมิได้โต้แย้งดี diagonalization ...

— เดวิด Monniaux

โปรดทราบว่าไม่มีปัญหา "ธรรมชาติ" ซึ่งทราบว่าไม่สามารถตัดสินใจได้ แต่ไม่มีการลดทอนของปัญหาการหยุดชะงัก โดยเฉพาะอย่างยิ่งวิธีการ "แนะนำ" เพียงอย่างเดียวที่จะแสดงให้เห็นว่าบางสิ่งที่ไม่สามารถตัดสินใจได้คือการลดปัญหาดังกล่าวเป็นปัญหาที่ไม่สามารถคาดการณ์ได้ (เช่นการรวมกึ่งหรือการเข้าถึงเมทริกซ์ )

— ดี้

cody: นั่นคือสิ่งที่ฉันเคยคิดเช่นกัน แต่ถ้าคุณยินดีที่จะพิจารณางานทั่วไปมากกว่าการตัดสินใจภาษาการคาดเดาอย่างต่อเนื่องนั้นเป็นตัวอย่างที่ค่อนข้างเป็นธรรมชาติ! (บังเอิญผมถือว่าคุณหมายถึงการลดปัญหาที่ทราบเกี่ยวกับปัญหาที่ตัดสินไม่ได้ของคุณมากกว่าวิธีอื่น ๆ รอบ.)

— สกอตต์ Aaronson

หากสิ่งที่คุณกำลังมองหาคือหลักฐานที่ไม่ใช่ก) การลดลงของปัญหาที่สมบูรณ์และ b) การตัดทแยงมุมตรงไปตรงมา (ซึ่งความคิดเห็นต่าง ๆ ของคุณบ่งบอกว่าคุณเป็น) แล้วเท่าที่ฉันรู้ว่าคุณไม่มีโชค หลักฐานทั้งหมดที่ฉันรู้ว่าไม่ใช่โดยการลด - รวมถึงคำตอบที่ยอดเยี่ยมอื่น ๆ ที่ให้ไว้ที่นี่โดย Aaronson และ Kjos-Hanssen - ดำเนินการตามแนวทแยงมุมตรงไปตรงมา

และทั้งหมดของ diagonalizations เหล่านี้จะเป็นหลักหลักฐานเดียวกัน บางส่วนของพวกเขาแตกต่างกันเล็กน้อยในการพิสูจน์ที่ให้ผลงบที่อ่อนแอกว่า / อ่อนแอ แต่โดยทั่วไปแล้วการพิสูจน์ตัวเองเป็นเพียงการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยมาก (และหลักฐานทั้งหมดเหล่านี้เป็นหลักฐานเดียวกันกับหลักฐานดั้งเดิมของคันทอร์เกี่ยวกับพระคาร์ดินัลซึ่งเหมือนกับหลักฐานของ Godel และ Chaitin ที่ไม่สมบูรณ์ซึ่งเป็นเพียงทฤษฎีบทของรัสเซลที่ขัดแย้งกัน ... ประเด็นที่ฉันสงสัยว่ามีใครสามารถทำพิธีในรูปแบบของการย้อนกลับทางคณิตศาสตร์บางอย่างซึ่งเป็นทฤษฎีบทที่กล่าวว่ามีหลักฐานเพียงข้อเดียวเท่านั้น)

มันอาจจะคุ้มค่าที่จะชี้ให้เห็นว่ามีข้อพิสูจน์ของข้อความอื่น ๆ ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะมีรสชาติที่แตกต่าง - นั่นคือความแตกต่างที่แท้จริงจริง ๆ พิสูจน์ได้ว่าแตกต่างจากการใช้เส้นทแยงมุมเพื่อพิสูจน์ความลังเลเช่นปัญหาความลังเล

— Joshua Grochow
แหล่งที่มา

ฉันไม่ทราบหัวข้อนั้นมากนัก แต่ทฤษฎีบทจุดคงที่ของ Lawvere ไม่ใช่ลักษณะทั่วไปของสิ่งเหล่านี้เกือบทั้งหมดใช่ไหม

— Sasho Nikolov