ลดขอบเขตความซับซ้อนแบบเกาส์เซียน

กำหนดความซับซ้อนแบบเกาส์ของเมทริกซ์เพื่อให้การดำเนินการแถวและคอลัมน์ในเบื้องต้นมีจำนวนน้อยที่สุดเพื่อนำเมทริกซ์มาสู่รูปสามเหลี่ยมมุมบน นี่คือปริมาณระหว่างถึง (ผ่านการกำจัดแบบเกาส์เซียน) แนวคิดนี้เหมาะสมสำหรับทุกสาขา0 n $n \times n$$0$$n^2$

ปัญหานี้ดูเหมือนพื้นฐานมากและต้องได้รับการศึกษา น่าแปลกที่ฉันไม่รู้แหล่งอ้างอิงใด ๆ ดังนั้นฉันจะมีความสุขกับการอ้างอิงใด ๆ ที่มี แต่แน่นอนคำถามหลักคือ:

มีขอบเขตล่างที่ไม่ชัดเจนเล็กน้อยหรือไม่รู้จัก?

ฉันหมายถึงสุดยอดโดยไม่พูดเรื่องไร้สาระ เพียงเพื่อให้ชัดเจน: เขตข้อมูล จำกัด ที่มีอาร์กิวเมนต์การนับแสดงว่าเมทริกซ์แบบสุ่มมีลำดับความซับซ้อน n ^ 2 (การอ้างสิทธิ์ที่คล้ายกันควรเป็นจริงเหนือฟิลด์ที่ไม่มีที่สิ้นสุด) ดังนั้นสิ่งที่เรากำลังมองหาคือครอบครัวของเมทริกซ์ที่ชัดเจนเช่นเมทริกซ์ Hadmard นี่เหมือนกับความซับซ้อนของวงจรบูลีนที่เรารู้ว่าฟังก์ชันสุ่มมีความซับซ้อนสูง แต่เรากำลังมองหาฟังก์ชั่นที่ชัดเจนด้วยคุณสมบัตินี้

สิ่งนี้ดูเหมือนจะเป็นปัญหาที่ยากมากซึ่งเกี่ยวข้องกับปัญหาที่มีการศึกษาอย่างกว้างขวางมากขึ้น

สมมติว่าเราพิจารณาเมทริกซ์กลับหัวกลับตาสี่เหลี่ยมจัตุรัส A และกำหนด c (A) เป็นจำนวนน้อยที่สุดของการดำเนินการแถวปฐมภูมิที่จำเป็นในการลด A ไปยังเมทริกซ์เอกลักษณ์ การวัดความซับซ้อนนี้มีขนาดใหญ่กว่าที่ Moritz แนะนำดังนั้นการพิสูจน์ขอบเขตที่เหนือกว่าเพราะมันจะง่ายขึ้นเท่านั้น

ตอนนี้การดำเนินงานแถวมีพลิกกลับ มันตามมาว่า c (A) สามารถกำหนดได้อย่างเท่าเทียมกันเป็นจำนวนขั้นต่ำของการดำเนินงานแถวที่จำเป็นในการสร้าง A โดยเริ่มจากเมทริกซ์เอกลักษณ์

ขอให้สังเกตว่าการสร้าง A ในรูปแบบดังกล่าวก่อให้เกิดวงจรคณิตศาสตร์เพื่อคำนวณแผนที่ที่ใช้ x เป็น Ax fanin ของแต่ละประตูคือ 2 และจำนวนประตูที่ไม่เข้านั้นสอดคล้องกับจำนวนการทำงานของแถว

ไม่มีการลดลงอย่างเห็นได้ชัดในทิศทางย้อนกลับ (จากวงจรไปสู่ลำดับของแถว -op) ถึงกระนั้นเราก็สามารถจำแนกลักษณะของ c (A) ในแง่ของความซับซ้อนของวงจรเลขคณิตของ Axe ในโมเดลวงจรที่ จำกัด : ฉันอ้างว่า c (A) เท่ากับครึ่งหนึ่งของจำนวนขั้นต่ำของขอบในวงจรเลขคณิตสำหรับ A ของ fanin ที่มากที่สุด 2 และความกว้าง n ซึ่งเราไม่คิดค่าใช้จ่ายสำหรับขอบที่นำไปสู่ประตูของ fanin 1 (ฉันใช้ความคิดวงจรความกว้างปกติที่นี่) สามารถแสดงได้โดยใช้แนวคิดง่าย ๆ ที่ร่างก่อน

ตอนนี้นี่คือการเชื่อมต่อกับปัญหาที่ได้รับการศึกษา: เป็นปัญหาเปิดที่มีชื่อเสียงมานานกว่า 30 ปีในการแสดงแผนที่เชิงเส้น Axe ที่ชัดเจน (เหนือขอบเขต จำกัด ใด ๆ ) ซึ่งต้องมีจำนวนประตูยอดเยี่ยมในวงจร fanin-2 การอ้างอิงแบบคลาสสิกคือ Valiant "การโต้แย้งทางกราฟเชิงทฤษฎีในความซับซ้อนระดับต่ำ" และการสำรวจ FTTCS ล่าสุดโดย Lokam ก็มีประโยชน์เช่นกัน

ในการศึกษา c (A) เรากำลังกำหนดข้อ จำกัด ความกว้างเพิ่มเติม แต่เนื่องจากข้อ จำกัด ของเรานั้นอ่อนแอมาก (ความกว้าง n) ฉันไม่คาดว่าปัญหาจะง่ายขึ้นมาก แต่เฮ้ - ฉันชอบที่จะพิสูจน์ว่าผิด

มีการอ้างอิงและพวกเขาค่อนข้างเก่า ฉันเจอพวกเขาขณะทำงานกับ combinatorial algorithm สำหรับการคูณเมทริกซ์บูลีน

ในปี 1966 Moon และ Moser พิสูจน์ว่าการคำนวณค่าผกผันของเมทริกซ์บน GF (2) ต้องการการดำเนินงานแถวโดยให้ขอบเขตบนและล่าง (คุณสามารถบีบพิเศษออกเมื่อคุณทำงานในฟิลด์ จำกัด )$\Theta(n^2/log n)$$\log n$

JW Moon และ L. Moser ปัญหาการลดเมทริกซ์ คณิตศาสตร์การคำนวณ 20 (94): 328– 330, 1966

บทความควรสามารถเข้าถึงได้บน JSTOR

ฉันค่อนข้างแน่ใจว่าขอบเขตล่างเป็นเพียงอาร์กิวเมนต์การนับและไม่มีเมทริกซ์ที่ชัดเจนเพื่อให้ได้ขอบเขตที่ต่ำกว่า