รับจำนวนบิตอย่างมีประสิทธิภาพ! ?

รับและเป็นไปได้ที่จะได้บิต (หรือหลักฐานเล็ก ๆ ) ของในเวลา / พื้นที่ของโดยที่เป็นฟังก์ชันพหุนามในและ ?M M N ! O ( p ( l n ( N ) , l n ( M ) ) ) p ( x , y ) x $N$$M$$M$$N!$$O( p( ln(N), ln(M) ) )$$p(x, y)$$x$$y$

เช่นได้รับ , (กับ , ), หา bitของในMU)) M = 2 μ N M ∈ Z 2 μ ( 2 η ) ! O ( p ( η , μ ) $N = 2^\eta$$M = 2^\mu$$N$$M \in \mathbb{Z}$$2^\mu$$(2^\eta)!$$O( p(\eta, \mu) )$

หมายเหตุ: ฉันได้ถามคำถามนี้ใน mathoverflow.net ที่นี่และยังไม่ได้รับคำตอบดังนั้นฉันจึงโพสต์ข้าม

จากความคิดเห็นในเว็บไซต์อื่น Gene Kopp ชี้ให้เห็นว่าใครสามารถคำนวณบิตลำดับล่างได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยการคำนวณเลขคณิตแบบแยกส่วนและบิตคำสั่งซื้อที่สูงขึ้นโดยใช้การประมาณของ Stirling ดังนั้นคำถามนี้จริงๆแล้ว .

Dick Lipton มีตำแหน่งที่สวยงามตั้งแต่ปี 2009เกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันแฟกทอเรียลกับแฟคตอริ่ง มีหลายสิ่งที่ไม่เกี่ยวข้องกับคำถามนี้ แต่ประเด็นสำคัญประการหนึ่งคือทฤษฎีบทนี้:

ถ้าสามารถคำนวณได้โดยการคำนวณทางคณิตศาสตร์แบบเส้นตรงในขั้นตอนจากนั้นแฟคตอริ่งจะมีวงจรขนาดพหุนามO ( บันทึกc n $n!$$O(\log^{c} n)$

ฉันสงสัยว่านี่เป็นหลักฐานว่าคำถามของคุณโดยเฉพาะภายในเวลาที่คุณเอ่ยถึงเป็นเรื่องยากที่จะตอบ

คำตอบของ Suresh อาจตอบคำถามสำหรับคุณ แต่ฉันคิดว่าฉันจะชี้ให้เห็นกรณีพิเศษ คุณสามารถดูผลของตัวเลขที่สำคัญน้อยกว่าสำหรับฐานใด ๆ ใช้เป็นฐานของเรา$p$

เห็นได้ชัดว่าทุกหน้า^THระยะในปัจจัยที่มีหลายหน้าทุก ๆ ระยะ ^thเป็นจำนวนมากของเป็นต้นดังนั้นพลังสูงสุดของที่เป็นปัจจัยของเป็น\ ง่ายต่อการประมาณโดยสเตอร์ลิงประมาณ:N นอกจากนี้ดังนั้นผลรวมสามารถคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยการรวมแทน (ตั้งแต่( p 2 ) p 2 p N ! X p = ∑ ⌊ log p ( N ! ) ⌋ i = 1 ⌊ $p$$(p^2)$$p^2$$p$$N!$$X_p = \sum_{i=1}^{\lfloor \log_p(N!) \rfloor} \lfloor \frac{N}{p^i}\rfloor$$\log_p(N!)$$\ln N! \approx N \ln N - N$$p^{N \lceil \log_p (N) \rceil} > N!$$1 \leq i \leq {N \lceil \log_p (N) \rceil}$$\lfloor \frac{N}{p^i}\rfloor = 0$สำหรับ )$i > {\lfloor \log_p(N!) \rfloor}$

ดังนั้นตัวเลขสุดท้ายของเป็นศูนย์ในฐานP$X_p$$N!$$p$