ตัวอย่างที่ความเป็นเอกลักษณ์ของโซลูชันช่วยให้ค้นหาได้ง่ายขึ้น

ความซับซ้อนของคลาสประกอบด้วยที่สามารถตัดสินใจได้ด้วยพหุนามเวลา nondeterministic ทัวริงเครื่องจักรที่มีคนยอมรับเส้นทางการคำนวณ นั่นคือวิธีแก้ปัญหาถ้ามีเฉพาะในแง่นี้ มันเป็นความคิดสูงไม่น่าที่ทุก -problems อยู่ในเพราะโดยองอาจ-Vazirani ทฤษฎีบทนี้จะบ่งบอกถึงการล่มสลาย{RP}N P U P P N P = R $\mathsf{UP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{UP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}=\mathsf{RP}$

ในทางตรงกันข้ามไม่มีปัญหาเป็นที่รู้จักกันเป็น - เสร็จสมบูรณ์ซึ่งแสดงให้เห็นว่าความต้องการโซลูชั่นที่ไม่ซ้ำกันยังคงทำให้พวกเขาง่ายขึ้นN $\mathsf{UP}$$\mathsf{NP}$

ฉันกำลังมองหาตัวอย่างซึ่งข้อสันนิษฐานที่ไม่เหมือนใครนำไปสู่อัลกอริทึมที่เร็วกว่า

ตัวอย่างเช่นการดูปัญหากราฟสามารถพบกลุ่มสูงสุดในกราฟได้เร็วขึ้น (แม้ว่าอาจจะยังอยู่ในช่วงเวลาเอ็กซ์โปเนนเชียล) ถ้าเรารู้ว่ากราฟมีกลุ่มสูงสุดไม่ซ้ำกันหรือไม่ วิธีการเกี่ยวกับ -colorability, เส้นทาง Hamiltonian ที่ไม่เหมือนใคร, ชุดขั้นต่ำที่ไม่ซ้ำใครเป็นต้น$k$

โดยทั่วไปเราสามารถกำหนดรุ่นที่ไม่ซ้ำกันแก้ปัญหาของใด ๆ ปัญหาที่สมบูรณ์ไต่เขาลงไป{UP} เป็นที่ทราบกันหรือไม่ว่ามีผู้ใดบ้างที่เพิ่มข้อสมมติฐานที่เป็นเอกลักษณ์จะนำไปสู่อัลกอริทึมที่เร็วขึ้น? (อนุญาตให้ยังคงเป็นเลขชี้กำลัง)U $\mathsf{NP}$$\mathsf{UP}$

3-SAT อาจเป็นหนึ่งในปัญหาดังกล่าว ปัจจุบันขอบเขตบนที่ดีที่สุดสำหรับ Unique 3-SAT นั้นเร็วกว่าแบบทั่วไปสำหรับ 3-SAT (การเร่งความเร็วเป็นเลขชี้กำลังแม้ว่าการลดลงของเลขชี้กำลังจะน้อยมาก) เจ้าของสถิติสำหรับกรณีที่ไม่เหมือนใครคือกระดาษนี้โดย Timon Hertli

อัลกอริทึมของ Hertli สร้างเมื่อที่สำคัญขั้นตอนวิธีการ PPSZของ Paturi, Pudlák, Saks และ Zane สำหรับ -SAT ซึ่งผมเชื่อว่ายังคงเป็นที่เร็วที่สุดสำหรับ (เห็นนี้บทความสารานุกรม) การวิเคราะห์เริ่มต้นแสดงขอบเขตที่ดีกว่าสำหรับ Unique -SAT กว่าทั่วไป -SAT เมื่อ ; อย่างไรก็ตามในภายหลัง Hertli แสดงให้เห็นในกระดาษที่แตกต่างกันซึ่งคุณสามารถได้รับขอบเขตเดียวกันสำหรับอัลกอริทึม PPSZ (ปรับแต่งเล็กน้อย) โดยไม่มีการสันนิษฐาน ดังนั้นเอกลักษณ์อาจช่วยได้และแน่นอนว่ามันสามารถลดความซับซ้อนของการวิเคราะห์อัลกอริทึมได้ แต่เราเข้าใจถึงบทบาทของความเป็นเอกลักษณ์สำหรับk ≥ 5 k k k = 3 , 4 $k$$k \geq 5$$k$$k$$k = 3, 4$$k$-SAT ยังคงเติบโต

มีหลักฐานว่าไม่ซ้ำกันคือ -SAT ไม่มากเกินไปง่ายกว่าทั่วไป -SAT แข็งแรงชี้แจงเวลาสมมติฐาน (SETH) อ้างไม่มีดังกล่าวว่า -variable -SAT เป็นแก้ปัญหาได้ในเวลาสำหรับแต่ละคงที่3 มันถูกแสดงไว้ในกระดาษของ Calabro, Impagliazzo, Kabanets และ Paturi ว่าถ้า SETH ถือเอาไว้ข้อความเดียวกันนั้นเป็นจริงสำหรับ Unique -SAT นอกจากนี้ถ้า -SAT ทั่วไปต้องการเวลาเอ็กซ์โพเนนเชียลนั่นคือมีเช่นนั้นทั่วไปk δ < 1 n k O ∗ ( 2 δ n ) k ≥ 3 k k k ≥ 3 , ϵ > 0 k O ∗ ( 2 ϵ n$k$$k$$\delta < 1$$n$$k$$O^*(2^{\delta n})$$k \geq 3$$k$$k$$k \geq 3, \epsilon > 0$$k$-SAT ไม่สามารถแก้ไขได้ในเวลาจากนั้นจะต้องเป็นจริงสำหรับ Unique 3-SAT ดูกระดาษสำหรับคำสั่งทั่วไปมากที่สุด $O^*(2^{\epsilon n})$

(หมายเหตุ: เครื่องหมายหยุดยั้งปัจจัยพหุนามในความยาวอินพุต)$O^*$

ปัญหาพา ธ 2-Vertex สั้นที่สุดในกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางที่ถูกแก้ไขเมื่อเร็ว ๆ นี้ (ICALP14) โดย A. Bjorklund และ T. Husfeldt แต่วิธีการแก้ปัญหาที่กำหนดขึ้นสำหรับกรณีที่มีอยู่ของการแก้ปัญหาที่ไม่ซ้ำกัน ในกรณีที่มีมากกว่าหนึ่งวิธีการแก้ปัญหาที่พวกเขาแสดงให้เห็นว่าปัญหาที่เกิดขึ้นเป็นRP ในฐานะผู้เขียนบทความที่กล่าวถึงจะไม่ทราบว่าปัญหาอยู่ในPในสถานการณ์ทั่วไป

นอกเหนือจากทฤษฎีความซับซ้อนและการวิเคราะห์อัลกอริธึมแล้วการสันนิษฐานว่าอาจมีเพียงวิธีแก้ปัญหาเดียวเป็นพื้นฐานสำหรับกฎมาตรฐานบางอย่างที่ใช้ในการอนุมานคำตอบในปริศนาซูโดกุ โดยทั่วไปแล้วกฎเหล่านี้เกี่ยวข้องกับการมองหาวิธีที่ส่วนต่างๆของตัวต่อปริศนาอาจมีวิธีแก้ปัญหาตั้งแต่สองวิธีขึ้นไปที่ไม่โต้ตอบกับส่วนที่เหลือของตัวต่อ สิ่งนี้ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ในการแก้ปัญหาจริงดังนั้นหากรูปแบบที่คุกคามการทำให้เกิดสิ่งนี้จะต้องถูกทำลายจึงทำให้นักแก้ปัญหาสามารถอนุมานข้อ จำกัด เกี่ยวกับวิธีการแก้ปัญหาที่แท้จริงได้ ดูhttp://www.brainbashers.com/sudokuuniquerectangles.aspสำหรับตัวอย่างของกฎการหักเงินตามลักษณะเฉพาะ

$G$

ข้อสันนิษฐานความไม่แน่นอนหมายความว่าความเท่าเทียมกันของจำนวนแฮม เส้นทางเหมือนกันกับการตัดสินใจว่ากราฟเป็น Hamiltonian หรือไม่

$O(1.619^n)$$O^*(1.657^n)$$O(n^22^n)$