ทฤษฎีประเภท Homotopy และทฤษฎีความไม่สมบูรณ์ของGödel

ทฤษฎีบทที่ไม่สมบูรณ์ของKurt Gödel สร้าง "ข้อ จำกัด โดยธรรมชาติของทุกอย่าง แต่ระบบสัจพจน์ที่น่าสนใจที่สุดที่สามารถทำคณิตศาสตร์ได้"

homotopy ประเภททฤษฎีให้เป็นรากฐานทางเลือกสำหรับคณิตศาสตร์เป็นความหมายเดียวรากฐานอยู่บนพื้นฐานของประเภทอุปนัยที่สูงขึ้นและความจริง univalence หนังสือ hottอธิบายว่าประเภท groupoids สูง, ฟังก์ชั่น functors ประเภทครอบครัว brations fi, ฯลฯ

บทความล่าสุด"คณิตศาสตร์ที่ผ่านการตรวจสอบอย่างเป็นทางการ"ใน CACM โดย Jeremy Avigad และ John Harrison กล่าวถึง HoTT ในส่วนที่เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ที่ผ่านการตรวจสอบอย่างเป็นทางการและการพิสูจน์ทฤษฎีบทอัตโนมัติ

ทฤษฎีความไม่สมบูรณ์ของGödelมีผลกับ HoTT หรือไม่?

และถ้าพวกเขาทำ

ทฤษฎี homotopy ประเภทใดบกพร่องโดยทฤษฎีความไม่สมบูรณ์ของGödel (ภายในบริบทของคณิตศาสตร์ที่ผ่านการตรวจสอบอย่างเป็นทางการ)

แน่นอนว่า "ทุกข์" จากความไม่สมบูรณ์ของGödelแน่นอนเพราะมันมีภาษาและกฎการอนุมานนับจำนวนที่คำนวณได้และเราสามารถจัดระเบียบเลขในรูปแบบได้ ผู้เขียนหนังสือ HoTT ตระหนักดีถึงความไม่สมบูรณ์ (อันที่จริงแล้วมันค่อนข้างชัดเจนโดยเฉพาะเมื่อผู้เขียนครึ่งหนึ่งเป็นนักจัดเรียง)

แต่ความไม่สมบูรณ์ "ทำให้เสีย" HoTT หรือไม่ ไม่มากไปกว่าระบบอื่น ๆ ที่เป็นทางการและฉันคิดว่าปัญหาทั้งหมดนั้นผิดไปเล็กน้อย ให้ฉันลองเปรียบเทียบ สมมติว่าคุณมีรถที่ไม่สามารถพาคุณไปได้ทุกที่บนโลกใบนี้ ตัวอย่างเช่นมันไม่สามารถปีนขึ้นไปบนกำแพงในแนวตั้ง รถ "บกพร่อง" หรือไม่? แน่นอนว่ามันไม่สามารถพาคุณไปสู่จุดสูงสุดของตึกเอ็มไพร์สเตตได้ รถไร้ประโยชน์หรือไม่? ไกลจากที่นั่นมันอาจนำคุณไปสู่สถานที่ที่น่าสนใจอื่น ๆ อีกมากมาย ไม่ต้องพูดถึงว่าตึกเอ็มไพร์สเตตมีลิฟต์