ไม่

11

แสดงถึง ระดับที่น้อยที่สุดในและโดยระดับที่น้อยที่สุดในระดับ $\delta^+(G)$ $G$ $\delta^-(G)$

ในคำถามที่เกี่ยวข้องฉันได้กล่าวถึงการขยาย Ghouila-Houri ของทฤษฎีบทของ Dirac ใน Hamiltonian cyclesซึ่งแสดงให้เห็นว่าถ้าดังนั้น G คือ Hamiltonian $\delta^+(G),\delta^-(G) \geq \frac{n}{2}$

ในความคิดเห็นของเขา Saeed ได้แสดงความคิดเห็นในส่วนขยายที่ต่างออกไปซึ่งดูเหมือนแข็งแกร่งกว่านั้นยกเว้นว่าต้องการให้กราฟเชื่อมต่อกันอย่างแน่นหนา

การเชื่อมต่อที่แข็งแกร่งได้รับการพิสูจน์ซ้ำซ้อนสำหรับทฤษฎีของ Ghouila-Houri ประมาณ 30 ปีหลังจากที่มันถูกตีพิมพ์ครั้งแรกและฉันก็สงสัยว่าสิ่งเดียวกันนี้เป็นส่วนขยายของ Saeed หรือไม่

ดังนั้นคำถามคือ:

ผู้ที่พิสูจน์แล้ว (ทุกคนสามารถค้นหาข้อมูลอ้างอิง) ที่หมายถึง $\delta^+(G)+\delta^-(G) \geq n$ $G$ คือ Hamiltonian เนื่องจากเชื่อมต่ออย่างแน่นหนา? $G$

เป็นซ้ำซ้อนการเชื่อมต่อที่แข็งแกร่งที่นี่เช่นกันคือไม่บ่งบอกถึงการเชื่อมต่อที่แข็งแกร่ง? $\delta^+(G)+\delta^-(G) \geq n$

(โปรดทราบว่าในขณะที่กราฟจะต้องมีการเชื่อมต่ออย่างชัดเจนเพื่อให้เป็น Hamiltonian ฉันถามว่าเงื่อนไขนี้จะส่อให้เห็นโดยเงื่อนไขระดับ)

reference-request graph-theory

— RB
แหล่งที่มา

8

ความแปรปรวนที่ฉันแนะนำคือความแตกต่างของทฤษฎีบทWoodalจริง ๆ เล็กน้อย บางทีฉันเห็นมันในบางเซ่นและ Gutinหนังสือ 's ตอนที่ฉันเขียนความคิดเห็นฉันไม่ได้ตรวจสอบความถูกต้องของหนังสือ ดังนั้นเพื่อให้แน่ใจว่าฉันเขียนกราฟควรจะเชื่อมต่ออย่างยิ่ง BTW คำแถลงนั้นถือเป็นเพราะสามารถตีความได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทวาลล นอกจากนี้ไม่จำเป็นต้องมีการเชื่อมต่อที่ต้องการ

นี่คือทฤษฎีบท 6.4.6 จากหนังสือของBang-Jensen และ Gutin :

ให้เป็นเดี่ยวของการสั่งซื้อ 2ถ้าสำหรับจุดยอดทั้งหมดและที่ไม่มีส่วนโค้งจากถึงดังนั้นคือ hamiltonian $D$ $n\ge 2$ $\delta^+(x)+\delta^-(y) \ge n$ $x$ $y$ $x$ $y$ $D$

นั่นหมายความว่าคำตอบในส่วนที่สองของคำถามของคุณคือใช่

มีข้อสงสัยเกี่ยวกับว่าคือขอบเขตที่ จำกัด หรือไม่ ที่นี่ฉันพยายามตอบ เราไม่สามารถลดความต้องการอย่างน้อยเป็นให้พิจารณากราฟต่อไปนี้ กำลังสร้างรูปสามเหลี่ยม bidirected และกำลังสร้างทาง หากรอบ hamiltonian เริ่มต้นที่ไม่สามารถไปที่ในการเคลื่อนที่ครั้งต่อไปเนื่องจากวิธีเดียวที่ใช้แต่เป็นวิธีเดียวที่จะกลับไปที่ $n$ $n$ $k<n$ $a,b,c$ $e,d$ $k_2$ $e$ $d$ $d$ $b$ $b$ $e$ . ในอีกทางหนึ่งรอบมิลโตเนียนหลังจากไม่สามารถไปได้เนื่องจากวิธีเดียวที่ย้อนกลับไปยังจะไปที่เพื่อใช้ในการเคลื่อนที่ครั้งต่อไป แต่เราอยู่ในตำแหน่งก่อนหน้าอีกครั้ง นอกจากนี้จากภาพเป็นที่ชัดเจนว่าทุกจุดสุดยอดมีทั้งในและนอกการศึกษาระดับปริญญาอย่างน้อย2ดังนั้นผลรวมของทุกสองโดยพลการเข้าออกอย่างน้อย 1เราสามารถขยายการจัดเรียงนี้ของกราฟพลn $e$ $c$ $e,d$ $d$ $b$ $2$ $4=5-1 = n-1$ $n$

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

P.S1: แน่นอนว่าทฤษฎีบทดังกล่าวถือเป็นเรื่องง่าย ๆ เช่น digraphs ที่ไม่มีลูปหรือขอบขนาน

P.S2: ตอนนี้ฉันไม่มีเครื่องมือ Tex ที่ดี ภาพลักษณ์ไม่ดี

— อีด
แหล่งที่มา

3

เมื่อมีผู้เขียนเพียงสองคนการอ้างถึงพวกเขาว่าเป็น "คนแรกและคนที่สอง" แทนที่จะเป็น "คนแรกและคนอื่น ๆ " ดังนั้นพวกเขาจึงได้รับเครดิตที่พวกเขาสมควรได้รับ อื่น ๆ ("และอื่น ๆ ") ควรใช้เฉพาะเมื่อรายชื่อผู้แต่งเต็มยาวพอที่จะทำให้เกิดความแปลกใหม่ได้

— David Richerby

7

คำตอบสำหรับคำถามที่สองของคุณคือการยืนยัน:

$\delta^+(G)+\delta^-(G) \ge n$ $G$

$G$ $\delta^+(G)+\delta^-(G) < n$ $G$ $S$ $S$ $T$ $T$ $S$ $S$ $\delta^+(G) \le \delta^+(S) \le |S|-1$ $\delta^-(G) \le |T|-1$

δ^{+} (G) + δ^{-} (G) \leq | S | + | T | - 2 \leq n - 2 .

$\delta^+(G)+\delta^-(G) \le |S|+|T|-2 \le n-2 \ .$

— เกี๊ยว
แหล่งที่มา

1

\geq n - 1

$\ge n-1$

@GeoffreyIrving ใช่มันดูเหมือนเป็นเช่นนั้น

— mobius dumpling

นี่ทำให้ฉันสงสัยว่า n-1 เพียงพอสำหรับ Hamiltonicity หรือไม่

— RB

@RB ไม่มันไม่พอ

— Saeed

1

δ^{-} + δ^{+} = n - 1

$\delta^-+\delta^+ = n-1$

4

นี่เป็นส่วนขยายของคำตอบ @Mobius เพื่อแสดงการอ้างสิทธิ์ที่เข้มงวดยิ่งขึ้น:

$\delta^+ + \delta^- \geq n-1$ $\forall u,v\in V, d(u,v)\leq 2$

พิสูจน์:

$(u,v)\in E$ เราเสร็จแล้ว

$A=\{x\in V: (u,x)\in E\}, B=\{y\in V: (y,v)\in E\}$ }

$(u,v)\not \in E$ $A \cup B \subseteq V\setminus \{u,v\}$ $|A\cup B|\leq n-2$

n - 1 \leq δ^{+} + δ^{-} \leq | A | + | B | = | A \cup B | + | A \cap B | \leq n - 2 + | A \cap B |

$n-1 \leq \delta^+ + \delta^- \leq |A|+|B| = |A\cup B| + |A\cap B| \leq n-2 + |A\cap B|$

$|A\cap B| \geq 1$ $\exists w\in V:(u,w),(w,v)\in E$ $d(u,v)=2$

$\blacksquare$

— RB
แหล่งที่มา