แยกความแตกต่างระหว่างสองเหรียญ

เป็นที่ทราบกันดีว่าความซับซ้อนของความแตกต่างนั้นเหรียญลำเอียงจากธรรมหนึ่งθ ( ε - 2 ) มีผลในการแยกความแตกต่างของเหรียญpจากเหรียญp + ϵหรือไม่? ฉันจะเห็นว่าสำหรับกรณีพิเศษของP = 0ซับซ้อนจะε - 1 ฉันรู้ว่าความซับซ้อนจะขึ้นอยู่กับว่าpนั้นเป็นของϵแต่ไม่สามารถพิสูจน์ได้อย่างจริงจัง คำแนะนำ / การอ้างอิงใด ๆ$\epsilon$$\theta(\epsilon^{-2})$$p$$p+\epsilon$$p=0$$\epsilon^{-1}$$p$$\epsilon$

ฉันขอแนะนำให้คุณใช้กรอบงานที่พบในเอกสารต่อไปนี้:

เราจะไปได้ไกลแค่ไหนจากการเข้ารหัสเชิงเส้น? , Thomas Baignères, Pascal Junod, Serge Vaudenay, ASIACRYPT 2004

ผลลัพธ์ที่สำคัญบอกว่าคุณต้องการโดยที่ D ( D $n \sim 1/D(D_0 \,||\, D_1)$คือระยะทางที่ Kullback-Leibler ระหว่างสองกระจาย D 0และ D 1 การขยายความหมายของระยะทาง KL เราจะเห็นว่าในกรณีของคุณ$D(D_0 \,||\, D_1)$$D_0$$D_1$

$$D(D_0 \,||\, D_1) = p \log \frac{p}{p+\epsilon} + (1-p) \log \frac{1-p}{1-p-\epsilon},$$

ด้วยแบบแผนที่0$0 \log \frac0p = 0$

เมื่อเราพบD ( D $p \gg \epsilon$ ) ดังนั้นเมื่อ P » εเราพบว่าคุณจำเป็น n ~ P ( 1 - P ) / ε 2เหรียญพลิก เมื่อ p = 0เราจะพบ D ( D $D(D_0 \,||\, D_1) \approx \epsilon^2/(p(1-p))$$p \gg \epsilon$$n \sim p(1-p)/\epsilon^2$$p = 0$ดังนั้นคุณต้องพลิกเหรียญ n ∼ 1 / ϵ ดังนั้นสูตรนี้มีความสอดคล้องกับกรณีพิเศษที่คุณรู้อยู่แล้วว่าเกี่ยวกับ ... แต่มัน generalizes ทุก n , ε$D(D_0 \,||\, D_1) = -\log(1-\epsilon) \approx \epsilon$$n \sim 1/\epsilon$$n,\epsilon$

สำหรับเหตุผลให้ดูกระดาษ

---

เมื่อเหตุผลเป็นเรื่องง่ายในการทำงานผ่านด้วยมือ ด้วยการสังเกตnจำนวนของหัวคือBinomial ( n , p )หรือBinomial ( n , p + ϵ )ดังนั้นคุณจึงต้องการหาn ที่เล็กที่สุดเพื่อให้การแจกแจงสองแบบนี้แตกต่างกัน$p \gg \epsilon$$n$$\text{Binomial}(n,p)$$\text{Binomial}(n,p+\epsilon)$$n$

คุณสามารถประมาณทั้งสองสิ่งนี้ได้โดย Gaussian ด้วยค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนที่ถูกต้องจากนั้นใช้ผลลัพธ์มาตรฐานในการแยกความแตกต่างของ Gaussians สองคนและคำตอบควรหลุดออกมา การประมาณนั้นใช้ได้ถ้าหรือมากกว่านั้น$p \ge 5/n$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งนี้ทำให้เกิดความแตกต่างจากN ( μ 1 , σ 2 1 )โดยที่μ 0 = p n , μ 1 = p + ϵ ) n , σ 2 0 = p ( 1 - p ) n , σ 2 1 = ( p + ϵ $\mathcal{N}(\mu_0,\sigma_0^2)$$\mathcal{N}(\mu_1,\sigma_1^2)$$\mu_0 = pn$$\mu_1 = p+\epsilon)n$$\sigma_0^2 = p(1-p)n$ n คุณจะพบว่าความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาดในเครื่องกลั่นที่ดีที่สุดคือ erfc ( z )โดยที่ z = ( μ 1 - μ 0 ) / ( σ 0 + σ 1 ) ≈ ϵ $\sigma_1^2 = (p+\epsilon)(1-p-\epsilon)n$$\text{erfc}(z)$ ) ดังนั้นเราต้องการz∼1เพื่อแยกความแตกต่างกับความน่าจะเป็นความสำเร็จคงที่ จำนวนนี้ไปอยู่ในสภาพที่n~2หน้า(1-P)/ε2(ขึ้นอยู่กับปัจจัยคงที่) ... เมื่อP»ε$z = (\mu_1-\mu_0)/(\sigma_0+\sigma_1) \approx \epsilon \sqrt{n / 2p(1-p)}$$z \sim 1$$n \sim 2p(1-p)/\epsilon^2$$p \gg \epsilon$

สำหรับกรณีทั่วไป ... ดูกระดาษ