อีกส่วนหนึ่งของ PARTITION

ฉันได้ลดปัญหาพาร์ติชั่นต่อไปนี้เป็นปัญหาการตั้งเวลาบางอย่าง:

อินพุต:รายการของจำนวนเต็มบวกในลำดับที่ไม่ลดลง $a_1\leqslant\cdots\leqslant a_n$

คำถาม:จะมีอยู่เวกเตอร์ดังกล่าวว่า $(x_1,\ldots,x_n)\in\{-1,1\}^n$

\sum_{i = 1}^{n} a_{i} x_{i} = 0 and

$\sum_{i=1}^na_ix_i=0\qquad\text{and}$

\sum_{i = 1}^{k} a_{i} x_{i} ⩾ 0 for all k \in {1, \dots, n}

$\sum_{i=1}^ka_ix_i\geqslant 0\quad\text{for all }k\in\{1,\ldots,n\}$

หากไม่มีเงื่อนไขที่สองมันเป็นเพียงส่วนหนึ่งดังนั้น NP-hard แต่เงื่อนไขที่สองดูเหมือนว่าจะให้ข้อมูลเพิ่มเติมจำนวนมาก ฉันสงสัยว่ามีวิธีที่มีประสิทธิภาพในการตัดสินใจเลือกตัวแปรนี้หรือไม่ หรือมันยังคงยากอยู่ใช่ไหม

— โทมัส Kalinowski
แหล่งที่มา

นี่คือการลดลงจาก PARTITION ถึงปัญหานี้ ให้ $(a_1,\dots, a_n)$ เป็นตัวอย่างของ PARTITION สมมติว่า $a_1\leq a_2\leq \dots \leq a_n$ a_n

ให้เป็น“จำนวนมาก” เช่น1 พิจารณาอินสแตนซ์ ของปัญหาของเรา $N$ $N = (\sum_{i=1}^n |a_i|) + 1$

\underset{5 n times}{\underset{⏟}{N, \dots, N}}, N + a_{1}, \dots, N + a_{n}, \underset{n times}{\underset{⏟}{4 N, \dots, 4 N}}

$\underbrace{N, \dots, N}_{5n \text{ times}}, N + a_1, \dots, N+a_n,\underbrace{4N, \dots, 4N}_{n \text{ times}}$

หากมีวิธีการแก้ปัญหาไปยังพาร์ทิชันแล้ว เป็นวิธีแก้ปัญหาของเรา $x_1,\dots, x_n$
$\underset{4 n times}{\underset{⏟}{1, \dots, 1}}, - x_{1}, \dots, - x_{n}, x_{1}, \dots, x_{n}, \underset{n times}{\underset{⏟}{- 1, \dots, - 1}}$ $\underbrace{1, \dots, 1}_{4n \text{ times}},-x_1,\dots,-x_n,x_1,\dots,x_n,\underbrace{-1,\dots,-1}_{n \text{ times}}$
หากมีวิธีการแก้ปัญหาไปยังอินสแตนซ์ของปัญหาของเรา (ซึ่งเราลดอินสแตนซ์ของ PARTITION เป็น) แล้วn ดังนั้น นั่นคือเป็นวิธีแก้ปัญหาสำหรับ PARTITION $(x_1,\dots,x_{5n},y_1,\dots, y_n, z_1,\dots,z_n)$ $\sum_{i=1}^n a_i y_i \equiv 0 \pmod N$
$\sum_{i = 1}^{n} a_{i} y_{i} = 0.$ $\sum_{i=1}^n a_i y_i = 0.$ $(y_1,\dots, y_n)$

— Yury
แหล่งที่มา

ขอบคุณ Yury ในแอปพลิเคชันของฉันเป็นสิ่งจำเป็นที่รายการอินพุตจะถูกจัดลำดับอย่างไม่ลดลงและอินพุตในการลดขนาดของคุณไม่ใช่ ฉันจะแก้ไขคำถามเพื่อให้ความต้องการคำสั่งซื้อมีความชัดเจนยิ่งขึ้น

(N, a_{1}, \dots, a_{n}, N)

$(N,a_1,\ldots,a_n,N)$

— โทมัส Kalinowski

@ โทมัส: ฉันไม่ได้สังเกตเห็นว่า ตอนนี้ฉันอัปเดตโซลูชันแล้ว

— Yury