พลังที่ไม่สมเหตุผลของความไม่สม่ำเสมอ

จากจุดสามัญสำนึกในมุมมองของมันเป็นเรื่องง่ายที่จะเชื่อว่าการเพิ่มไม่ใช่ชะตาจะอย่างมีนัยสำคัญขยายอำนาจของตนเช่นมีขนาดใหญ่กว่า {P} ท้ายที่สุดแล้วการไม่กำหนดระดับจะอนุญาตให้มีการขนานแบบเอกซ์โพเนนเชียลซึ่งไม่ต้องสงสัยเลยว่ามีพลังมาก N P $\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

ในทางตรงกันข้ามถ้าเราเพิ่งเพิ่มความไม่สม่ำเสมอให้กับ , ได้รับ แล้วสัญชาตญาณจะชัดเจนน้อยกว่า (สมมติว่าเราแยกภาษาที่ไม่ใช่แบบเรียกซ้ำที่อาจเกิดขึ้นใน ) ใคร ๆ ก็คาดหวังว่าการอนุญาตให้อัลกอริธึมเวลาแบบโพลิโนเมียลที่แตกต่างกันสำหรับความยาวอินพุตที่ต่างกัน (แต่ไม่ออกจากขอบเขตแบบเรียกซ้ำ) เป็นส่วนขยายที่มีประสิทธิภาพน้อยกว่าการขนานแบบเอกซ์โพเนนเชียลP / p o l y P / p o l $\mathsf{P}$$\mathsf{P}/poly$$\mathsf{P}/poly$

อย่างไรก็ตามที่น่าสนใจถ้าเราเปรียบเทียบคลาสเหล่านี้กับคลาสใหญ่มากเราจะเห็นสถานการณ์ที่ต่อต้านได้ง่ายต่อไปนี้ เรารู้ว่ามีอย่างถูกต้องซึ่งไม่น่าแปลกใจ (อนุญาตให้มีการทวีคูณทวีคูณแบบทวีคูณ ) ในขณะนี้เราไม่สามารถได้N E X $\mathsf{NEXP}$$\mathsf{NEXP}$ N E X $\mathsf{NP}$$\mathsf{NEXP}$$\mathsf{NEXP}\subseteq \mathsf{P}/poly$

ดังนั้นในแง่นี้ความไม่สม่ำเสมอเมื่อเพิ่มเข้ากับเวลาพหุนามอาจทำให้มันมีพลังมากและอาจทรงพลังมากกว่าการไม่กำหนด มันอาจเป็นไปได้ที่จะจำลองความเท่าเทียมแบบทวีคูณทวีคูณ ! แม้ว่าเราจะเชื่อว่านี่ไม่ใช่กรณี แต่ความจริงที่ว่าในปัจจุบันมันไม่สามารถตัดออกได้ก็ยังชี้ให้เห็นว่านักทฤษฎีที่ซับซ้อนกำลังดิ้นรนกับ "พลังอันยิ่งใหญ่" ที่นี่

คุณจะอธิบายให้คนธรรมดาฉลาดได้อย่างไรว่าอะไรคือ "พลังที่ไม่สมเหตุสมผล" ของความไม่เท่าเทียมนี้?

คำตอบที่พลิกกลับมาก็คือนี่ไม่ใช่สิ่งแรกที่เกี่ยวกับทฤษฎีความซับซ้อนที่ฉันพยายามอธิบายให้คนธรรมดาทั่วไป! เพื่อที่จะซาบซึ้งถึงความคิดที่ไม่เป็นเอกเทศและความแตกต่างจากลัทธิ nondeterminism คุณจำเป็นต้องลงไปในวัชพืชด้วยคำจำกัดความของคลาสความซับซ้อนมากกว่าที่หลายคนเต็มใจที่จะได้รับ

ต้องบอกว่ามุมมองหนึ่งที่ฉันพบว่ามีประโยชน์เมื่ออธิบาย P / poly ถึงนักศึกษาปริญญาตรีนั่นคือความไม่เป็นระเบียบหมายความว่าคุณสามารถมีลำดับที่ไม่ จำกัด ของอัลกอริทึมที่ดีกว่าและดีกว่าเมื่อคุณไปที่ความยาวอินพุตที่ใหญ่ขึ้น ตัวอย่างเช่นในทางปฏิบัติเรารู้ว่าอัลกอริทึมการคูณเมทริกซ์ na worksve ทำงานได้ดีที่สุดสำหรับเมทริกซ์ถึงขนาด 100x100 หรือมากกว่านั้นในบางจุด Strassen การคูณจะดีขึ้นและอัลกอริทึมล่าสุดจะดีขึ้นสำหรับเมทริกซ์ขนาดใหญ่เท่านั้น จะไม่เกิดขึ้นในทางปฏิบัติ ดังนั้นถ้าคุณมีความสามารถทางเวทย์มนตร์ที่จะเป็นศูนย์ในอัลกอริธึมที่ดีที่สุดสำหรับช่วงใดก็ตามที่คุณได้ทำงานด้วย

แน่นอนว่านั่นจะเป็นความสามารถแปลก ๆ และทุกสิ่งที่พิจารณาแล้วอาจไม่เป็นประโยชน์เท่ากับความสามารถในการแก้ปัญหา NP-complete ในเวลาพหุนาม แต่การพูดอย่างเคร่งครัดมันจะเป็นความสามารถที่ไม่มีใครเทียบได้ : ไม่ใช่สิ่งที่คุณจะได้รับโดยอัตโนมัติแม้ว่า P = NP แน่นอนคุณยังสามารถสร้างตัวอย่างที่วางแผนของuncomputableปัญหา (เช่นได้รับ 0 ⁿเป็น input ไม่เอ็น^THทัวริงหยุดเครื่อง?) ว่ามีความสามารถนี้จะช่วยให้คุณในการแก้ปัญหา นั่นคือพลังของความไม่เป็นเอกเทศ

เพื่อให้เข้าใจถึงประเด็นในการพิจารณาอำนาจแปลกนี้คุณอาจจะต้องพูดอะไรเกี่ยวกับการแสวงหาเพื่อพิสูจน์วงจรขอบเขตที่ต่ำกว่าและความจริงที่ว่าจากมุมมองของหลายเทคนิคการผูกพันของเราต่ำกว่ามันสม่ำเสมอที่ดูเหมือนว่าแปลก เงื่อนไขพิเศษที่เราแทบไม่ต้องการเลย

นี่คือข้อโต้แย้ง "ความนุ่มนวล" ที่ฉันได้ยินเมื่อเร็ว ๆ นี้เพื่อป้องกันข้อเรียกร้องที่การคำนวณแบบไม่สม่ำเสมอควรมีประสิทธิภาพมากกว่าที่เราสงสัย บนมือข้างหนึ่งที่เรารู้จากทฤษฎีบทลำดับชั้นของเวลาที่มีฟังก์ชั่นคำนวณในเวลาที่ไม่ได้คำนวณในเวลายกตัวอย่างเช่น บนมืออื่น ๆ โดยทฤษฎีบท Lupanov ของใด ๆฟังก์ชั่นบูลในปัจจัยการผลิตคือคำนวณจากวงจรขนาด n ดังนั้นหากเราเรียกร้อง nonuniformity ที่ไม่ให้พลังงานมากที่เป็นที่ควรทำตัวเหมือนแล้วนี้ การเรียกร้องควรหยุดทันทีเมื่อO ( 2 n ) n ( 1 + o ( 1 ) ) 2 n / n S I Z E ( f ( n ) ) D T I M E ( f ( n ) O ( 1 ) ) f ( n ) 2 O ( n $O(2^{2n})$$O(2^{n})$$n$$(1+o(1))2^n/n$$\mathsf{SIZE}(f(n))$$\mathsf{DTIME}(f(n)^{O(1)})$$f(n)$จะกลายเป็น(n)} แต่พฤติกรรมนี้ --- มาตรการที่ซับซ้อนสองอย่างจับมือกันจนในทันทีทันใดหนึ่งในนั้นกลายเป็นสิ่งที่มีพลัง --- ดูเหมือนว่าจะผิดธรรมชาติ$2^{O(n)}$

ถ้าวงจรมีพลังมากพอที่จากนั้นโดย Karp-Lipton พหุนามลำดับชั้นยุบลงไปถึงระดับที่สองซึ่งก็จะแปลก: ทำไมจู่ ๆ ปริมาณ หยุดให้การคำนวณพลังมากขึ้นเหรอ? ฉันไม่แน่ใจว่าสิ่งนี้ทำให้เรา$\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{P/poly}$

ฉันคิดว่าการพูดคุยกับใครบางคนเกี่ยวกับและหมายความว่าบุคคลนั้นคุ้นเคยกับคำถาม vsและการพิสูจน์ยืนยันความเป็นคู่$\mathbb{P/poly}$$\mathbb{NP}$$\mathbb{P}$$\mathbb{NP}$

จากนั้นฉันจะพยายามอธิบายว่ามีพลังมากเพราะสำหรับความยาวที่แตกต่างกัน TM จะได้รับคำแนะนำที่เชื่อถือได้อย่างสมบูรณ์ จากนั้นฉันจะพูดถึงว่าเราสามารถประดิษฐ์ภาษาที่ยาก (ไม่ใช่ที่คำนวณได้ด้วย TM) ที่มี 1 คำต่อความยาวอินพุต (เช่นเอกภาพ) ดังนั้นพวกเขาจึงอยู่ใน P / poly! แต่บางทีคำแนะนำพหุนามอาจไม่เพียงพอที่จะแก้ปัญหาทุกภาษาในเนื่องจากเราได้รับอนุญาตคำใบ้ที่แตกต่างกันสำหรับการป้อนข้อมูลที่แตกต่างกันทุกครั้ง$\mathbb{P/poly}$$\mathbb{NP}$

ในทางกลับกันฉันจะเตือนคนที่ต้องยืนยันคำตอบไม่ใช่เชื่อถือได้อย่างสมบูรณ์ ดังนั้นเราไม่สามารถใช้คำแนะนำเดียวกันสำหรับแต่ละความยาวอินพุตมันอาจไม่สามารถตรวจสอบได้!$\mathbb{NP}$

สุดท้ายผมจะพูดถึงความซับซ้อนที่ทฤษฎีเชื่อว่ามีภาษาในที่จำเป็นต้องมีมากกว่าคำแนะนำหลายพหุนามสำหรับความยาวเข้าบางและทำให้ไม่สามารถอยู่ในโพลี}$\mathbb{NP}$$\mathbb{P/poly}$

จุดสำคัญในการให้ความเข้าใจที่ดีซึ่งฉันคิดว่าเป็นเรื่องธรรมดาเมื่อสอนวิชานี้เป็นครั้งแรกคือการทำให้ชัดเจนว่าคำแนะนำและ "คำใบ้" (เช่นใบรับรอง) เป็นสิ่งที่แตกต่างและแตกต่างกันอย่างไร

สำหรับฉันภาพประกอบที่เด่นชัดที่สุดของพลังแห่งความไม่เท่าเทียมคือว่าปัญหา Halting ในเวอร์ชั่น P / 1 มีเบาะที่เหมาะสมแล้ว คำแนะนำเพียงเล็กน้อยก็เพียงพอแล้วที่จะตัดสินใจใช้ภาษานี้กับ TM เล็กน้อยที่จะให้คำแนะนำกลับมาเล็กน้อย

แน่นอนว่าการเติมภาษาที่ไม่สามารถตัดสินใจได้ด้วยจำนวนเอกซ์โพเนนเชียลหมายความว่ามันไม่ใช่ "ศีลธรรม" ใน P / poly แต่สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าเราต้องระวังเมื่ออนุญาตให้มีความไม่สม่ำเสมอ

ฉันรู้สึกว่าปัญหาที่แท้จริงที่นี่คือภาระการพิสูจน์ที่หนักหน่วงไม่มีเหตุผลไม่ใช่พลังที่ไม่สมเหตุสมผลของความไม่สม่ำเสมอ ในขณะที่คำตอบของ chazisop และAndrás Salamon เน้นไปแล้วภาษาที่ไม่สามารถจำแนกได้กลายเป็นภาษาที่คำนวณไม่ได้แม้ในภาษาที่ไม่ได้มีรูปแบบที่ จำกัด มากเพราะภาระในการพิสูจน์ได้รับการยกเว้น

สัญชาตญาณพื้นฐานเหตุผลที่เราอาจจะได้รับไปโดยไม่ต้องพิสูจน์เป็นว่ามีเพียงปัจจัยการผลิตที่แตกต่างกันของความยาวซึ่งเราจะต้องตรวจสอบว่าวงจรจะช่วยให้คำตอบที่ถูก ดังนั้นดูเหมือนว่าจะมีการพิสูจน์ความยาวสูงสุดของในวงจรที่แน่นอนให้คำตอบที่ถูกต้อง แต่นี่เป็นเรื่องจริงตราบใดที่มีอยู่สำหรับแต่ละอินพุตของความยาวการพิสูจน์ของความยาวเอกซ์โพเนนเชียลเป็นส่วนใหญ่ในว่าอินพุตนั้น (ไม่) มีอยู่ในภาษา (ถ้าเป็นจริง (ไม่ใช่) มีอยู่ในภาษา) . โปรดทราบว่าอินพุตจำนวนมากแบบทวีคูณคูณด้วยการพิสูจน์ความยาวแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลที่มากที่สุดสำหรับแต่ละอินพุตจะให้การพิสูจน์ที่สมบูรณ์สำหรับอินพุตทั้งหมดของความยาวเอ็กซ์โพเนนเชียลเนื่องจาก$2^n$$n$$n$$n$$n$$2^n\exp(O(n))=\exp(n\log(2)+O(n))=\exp(O(n))$(n))

ถ้าเราจำเป็นต้องมีการดำรงอยู่ของหลักฐานการชี้แจงที่มีความยาวมากที่สุดในส่วนสำหรับภาษาที่ไม่เหมือนกันแล้วเราสามารถพิสูจน์ได้ว่าทุกภาษาเหล่านี้มีอยู่ใน{} อัลกอริทึมที่ไม่ได้กำหนดค่าที่สอดคล้องกันนั้นต้องการเพียงคำใบ้ที่มีทั้งวงจร "เล็ก" พร้อมกับการพิสูจน์ "เล็ก" ที่วงจรนี้จะคำนวณสิ่งที่ควรจะคำนวณจริง ๆN E X $n$$\mathsf{NEXP}$

อัลกอริทึมที่ไม่ได้กำหนดค่าแบบเดียวกันก็จะแสดงถ้าเราต้องการแทนที่จะมีการพิสูจน์การดำรงอยู่ของความยาวพหุนามในที่เหมาะสมที่สุด แจ้งให้ทราบว่านี่ จำกัดยังอาจจะมีประสิทธิภาพมากขึ้นกว่า{P} แม้แต่ Karp-Lipton (นั่นคือลำดับชั้นพหุนามยุบถ้า ) ยังคงเป็นจริง แต่คำพูดนี้น่าสนใจน้อยกว่าทฤษฎีบท Karp-Lipton จริง n P / P o L Y ' P N P ⊆ P / P o L Y $\mathsf{P/poly'}\subseteq \mathsf{NP}$$n$$\mathsf{P/poly'}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}\subseteq\mathsf{P/poly'}$