การลด P vs. NP เป็น SAT

คำถามต่อไปนี้ใช้แนวคิดจากการเข้ารหัสที่ใช้กับทฤษฎีความซับซ้อน ที่กล่าวว่ามันเป็นคำถามเชิงทฤษฎีที่ซับซ้อนอย่างแท้จริงและไม่มีความรู้ crypto ใด ๆ ที่จำเป็นต้องตอบ

ฉันจงใจเขียนคำถามนี้อย่างไม่เป็นทางการ การขาดรายละเอียดอาจมีการระบุไว้ไม่ถูกต้องเล็กน้อย โปรดระบุการแก้ไขในคำตอบของคุณ

ใน papaper ต่อไปนี้:
Nonmalleable เข้ารหัส, แดนนีโดเลฟซินเทีย Dwork และโมนี่แนออร์, สยามรายได้ 45, 727 (2003) ดอย: 10.1137 / S0036144503429856 ,
ผู้เขียนเขียน:

สมมติว่านักวิจัย A ได้รับหลักฐานว่าP ≠ NPและต้องการสื่อสารความจริงนี้กับศาสตราจารย์ B. สมมติว่าเพื่อปกป้องตัวเอง A พิสูจน์ให้เธอเห็นว่า B อ้างว่าเป็นศูนย์ความรู้ ...

มีปัญหา NP-complete มาตรฐานหลายอย่างเช่นความพึงพอใจ (SAT), กราฟ - แฮมิลตันซิตี้, และกราฟ -3-Colorability (G3C), ซึ่งมีการพิสูจน์ความรู้แบบศูนย์แล้ว วิธีมาตรฐานในการพิสูจน์ทฤษฎีบท NP ใด ๆ คือการลดปัญหาดังกล่าวลงเป็นตัวอย่างของปัญหาที่เกิดขึ้นอย่างสมบูรณ์ของปัญหาที่กล่าวถึงข้างต้นแล้วดำเนินการพิสูจน์ความรู้ที่เป็นศูนย์

คำถามนี้เกี่ยวข้องกับการลดดังกล่าว สมมติว่าP vs. NPถูกตัดสินด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้:

P = NP
P ≠ NP
P vs. NP เป็นอิสระจากทฤษฎีเซตสัจพจน์มาตรฐาน

ให้σแสดงหลักฐาน จากนั้นP vs. NPเป็นภาษาNP (เนื่องจากมีข้อพิสูจน์สั้น ๆ ) การลดทอนจากทฤษฎีบท (เช่น P ≠ NP) ไปจนถึงปัญหาที่ทำให้เกิดปัญหาสมบูรณ์ (พูด SAT) เป็นอิสระจากσ นั่นคือ:

There exists a formula ϕ which is satisfiable if and only if P ≠ NP.

นี่มันเกินจินตนาการของฉัน! ดูเหมือนว่าแม้ว่าเราจะได้รับการพิสูจน์σมันไม่น่าเป็นไปได้ที่เราจะสร้างสูตรดังกล่าว ϕ

ใครช่วยแสงนี้บ้าง

นอกจากนี้ให้ L เป็นภาษา NP ที่P กับ NPอยู่ ภาษาประกอบด้วยทฤษฎีบทมากมายเช่นP vs. NP ที่มีขนาดตามอำเภอใจ

ผู้สมัครของ L คืออะไร
L สมบูรณ์ได้หรือไม่

— MS Dousti
แหล่งที่มา

ฉันไม่ได้ส่วนนี้: "ให้σแทนการพิสูจน์แล้ว P vs. NP อยู่ใน NP (เนื่องจากมีข้อพิสูจน์สั้น ๆ สำหรับมัน) การลดลงจากทฤษฎีบท (พูด, P ≠ NP) ถึง NP - ปัญหาที่สมบูรณ์ (พูด SAT) เป็นอิสระจาก That นั่นคือ: มีสูตร ϕ อยู่ซึ่งน่าพอใจถ้าหาก P. NP "เท่านั้น คุณช่วยอธิบายเพิ่มเติมอีกหน่อยได้ไหม มันไม่สมเหตุสมผลสำหรับฉันว่า "P vs NP อยู่ใน NP" แม้ว่าคุณจะเปลี่ยนเป็น "จะมีการพิสูจน์ความยาวสูงสุดที่ n ในทฤษฎี T สำหรับ P \ neq NP" ไม่ว่าจะมีขนาดเล็กที่สุด n มีการพิสูจน์ขนาดนั้นสำหรับคำถามหรือไม่มีหลักฐานดังกล่าว

— Kaveh

φ

$\varphi$

n

$n$

φ

$\varphi$

T

$T$

φ

$\varphi$

φ

$\varphi$

P \neq N P

$P \neq NP$

T

$T$

@Kaveh: เพิ่มความกระจ่าง

— MS Dousti

ความคิดที่น่าสนใจบางอย่าง แต่มันไม่มีเหตุผลที่จะพูดว่า "การพิสูจน์อยู่ใน NP" หรือว่า "มีการพิสูจน์สั้น ๆ " เช่นอาจมีวิธีการทำแนวเหล่านั้นบางอย่าง แต่มันจะต้องมีการกำหนดอย่างเป็นทางการมากขึ้น ที่ใกล้เคียงที่สุดกับความคิดเหล่านี้ดูเหมือนว่าจะเป็นกรอบการพิสูจน์ธรรมชาติ razborov / rudich

— vzn

คำตอบ:

วิธีดูการทดสอบคำสั่งทางคณิตศาสตร์ (เช่นความละเอียดของ P vs NP) ตามคำถามของแบบฟอร์ม "เป็นสูตร .. พอใจ" เป็นดังต่อไปนี้:

แก้ไขระบบสัจพจน์บางอย่าง รับสตริงที่มีความยาว n ไม่ว่าสตริงนั้นจะเป็นข้อพิสูจน์สำหรับคำสั่งทางคณิตศาสตร์ในระบบสัจพจน์หรือไม่นั้นเป็นสิ่งที่เราสามารถนิยามได้อย่างตรงไปตรงมา: สตริงควรประกอบด้วยข้อเสนอ ข้อเสนอแต่ละข้อควรเป็นสัจพจน์หรือควรทำตามข้อเสนอก่อนหน้าโดยกฎการอนุมานข้อใดข้อหนึ่ง

ไม่ใช่ปัญหาในการกำหนดสูตรบูลีนที่ตรวจสอบทั้งหมดนี้ สิ่งที่คุณควรรู้คือความยาวของการพิสูจน์!

— Dana Moshkovitz
แหล่งที่มา

P vs. NP อยู่ใน NP (เนื่องจากมีข้อพิสูจน์สั้น ๆ )

นั่นไม่สมเหตุสมผลเลยสำหรับฉัน NP เป็นคลาสที่ซับซ้อนสำหรับปัญหาการตัดสินใจที่มีอินสแตนซ์ขนาดใหญ่โดยพลการและ P vs. NP ไม่ได้มี จากสิ่งที่คุณพูดในภายหลัง:

ให้ L เป็นภาษา NP ที่ P vs. NP โกหก

คุณอาจหมายถึงว่า P กับ NP เป็นตัวอย่างของปัญหา NP; แต่แน่นอนมันเป็น! นอกจากนี้ยังเป็นตัวอย่างของปัญหา P, DTIME (n) และอื่น ๆ อีกมากมาย โดยเฉพาะอย่างยิ่งนี่สอง DTIME (1) ผู้สมัคร L แม่นยำหนึ่งซึ่งเป็นที่ถูกต้อง: เสมอกลับtrue; falseหรือเสมอกลับ

— Alexey Romanov
แหล่งที่มา

โปรดอ่านหมายเหตุข้างต้นในตอนต้นของคำถามอีกครั้ง ฉันใส่สิ่งนี้อย่างไม่เป็นทางการและนั่นนำไปสู่ความสับสนของคุณ ในการทำให้เป็นระเบียบขึ้นมานั้นเราจะต้องคำนึงถึงลักษณะทั่วไปของทฤษฎีบท "P กับ NP" สำหรับหลาย ๆ อนันต์การวางนัยโดยทั่วไปถือว่าทฤษฎีบทของความยาว n ทฤษฎีบทก่อให้เกิดภาษา L ซึ่งไม่สามารถตัดสินใจได้ใน DTIME (1)

— MS Dousti

จากนั้นการพิสูจน์ / การป้องกันการหยุดชั่วคราวของ "P vs. NP" เป็นเพียงตัวอย่างเดียวของ "generalized P vs. NP" (อาจเป็นแบบง่าย ๆ ใช่ไหม) และไม่เป็นไปตามที่ GPvNP อยู่ใน NP

— Alexey Romanov

Downvoted: ฉันเข้าใจคำคัดค้านถึงคำที่ยกมาเป็นคำแรกเนื่องจากสมาชิกของ NP เป็นเซตและ "P vs. NP" ไม่ใช่ชุด อย่างไรก็ตามในการคัดค้านครั้งที่สอง "ปัญหา NP" ใด ๆ เป็นปัญหาการตัดสินใจที่สามารถกำหนดได้อย่างถูกต้องตามกฎหมายว่าจะตัดสินใจว่าสตริงเป็นภาษาหรือไม่ ฉันไม่เห็นอะไรผิดปกติกับคำจำกัดความของเขาของ L. เพิ่มเติมการอุทธรณ์ไปยังภาษา DTIME (1) ที่ไม่สำคัญเป็นจริงหรือเป็นเท็จเสมอไปจะไม่สนใจประเด็น: หากเราทราบข้อความที่แท้จริงทั้งหมดแล้ว ตารางสำหรับเครื่องทัวริงเพื่อเข้าถึงเวลาคงที่

— Daniel Apon

[ต่อไป] แต่สมมติว่า L เป็นภาษาที่เหมาะสม (เช่นเซตอนันต์) จากนั้นคุณสมมติว่ามีการใช้คำว่า "คำสั่งที่แท้จริง" ที่มีขนาดใหญ่อย่างไม่ จำกัด เพื่อเข้าถึงซึ่งดูเหมือนว่าจะทำลายกฎทุกประเภท หรือมากกว่านั้น: ทำไมข้อโต้แย้งของคุณสำหรับ DTIME (1) ที่ทำให้ภาษาทั่วไปไม่ได้ไม่ใช่แค่เรื่องแปลก ๆ ที่เรากำลังพิจารณาอยู่ตอนนี้

— Daniel Apon

L \in D T I M E (1)

$L \in DTIME(1)$