ความสัมพันธ์ระหว่างความกว้างของต้นไม้กับหมายเลขกลุ่ม

มีคลาสกราฟที่ดีซึ่งต้นไม้ความกว้างถูกล้อมรอบด้วยฟังก์ชันของหมายเลข clique , คือ ? $tw(G)$ $\omega(G)$ $tw(G)\leq f(\omega(G))$

ยกตัวอย่างเช่นมันเป็นความจริงที่คลาสสิกที่ใดกราฟคอร์ดัเรามีtwดังนั้นคลาสที่เกี่ยวข้องกับกราฟคอร์ดอาจเป็นตัวเลือกที่ดี $G$ $tw(G)=\omega(G)-1$

graph-theory treewidth

— Florent Foucaud
แหล่งที่มา

twสำหรับกราฟคอร์ด

(G) = ω (G) - 1

$(G) = \omega(G) - 1$

— Yixin Cao

ตั้งแต่ treewidth ปิดให้บริการภายใต้การ subgraphs ถ้ากราฟมีเป็น subgraph แล้ว treewidth ของ G ต้องมีอย่างน้อย treewidth ของซึ่งเป็นn-1

G

$G$

K_{n}

$K_n$

K_{n}

$K_n$

n - 1

$n-1$

— Mateus de Oliveira Oliveira

@ Mathus ฉันคิดว่าคำถามเป็นวิธีอื่น ๆ เขากำลังขอขอบเขตบนและตัวอย่างของคุณให้ขอบเขตที่ต่ำกว่า

— Vinicius dos Santos

@Bart Jansen: กราฟแยกเป็น chordal

— Foucaud Florent

@FlorentFoucaud คุณควรพิจารณาเปลี่ยนคำตอบของคุณเป็นคำตอบ

— Vinicius dos Santos

คำตอบ:

ในหน้านี้มีการกล่าวถึงทฤษฎีบทที่จัดเตรียมคลาสดังกล่าว:

ทฤษฎีบท (Scheffler [1]) ถ้าเป็นกราฟจุดตัดของ subgraphs ที่เกี่ยวโยงกันของกราฟอีกแล้วtw $G$ $H$ $tw(G)\leq tw(H)\omega(G)-1$

นี่เป็นการสรุปขอบเขตของกราฟ chordal (ซึ่งเป็นต้นไม้) และยังใช้กับกราฟโค้งวงกลม (จากนั้นคือวัฏจักร) ฉันไม่รู้ว่าคลาส "มาตรฐาน" อื่นถูกจับโดยทฤษฎีบทนี้หรือไม่ $H$ $H$

[1] P. Scheffler, กราฟใดที่ล้อมรอบความกว้างของต้นไม้ Rostocker Math Kolloq 41 (1990) 31-38

— Florent Foucaud
แหล่งที่มา

"ไม่สามารถเข้าถึง"? คุณหมายถึงกระดาษไม่ออนไลน์?

— vzn

ที่จริงตอนแรกฉันคิดว่านี่คือการพูดคุยในการประชุม มีเว็บไซต์สำหรับวารสาร ( math.uni-rostock.de/math/pub/romako ) ฉันถามว่าเป็นไปได้ไหมที่จะได้รับสำเนา

— Foucaud Florent

ฉันคิดว่ามันก็ไม่ยากที่จะพิสูจน์ด้วยตัวคุณเอง อาจเป็นไปได้ว่ามันเร็วกว่าที่ได้รับสำเนาของกระดาษ :)

— อีด

@Seed อาจเป็นไปได้ แต่ฉันหวังเป็นอย่างยิ่งที่จะหาการสนทนาเกี่ยวกับหัวข้อในบทความนั้น!

— Foucaud Florent

ทฤษฎีบท (6.4 ใน [1]):หากไม่มีแพนและไม่มีแม้กระทั่งหลุมเป็น subgraph เทพแล้ว3 $G$ $tw(G)\leq 3\omega(G)/2-2$

ทฤษฎีบท (5.4 [2]):หากเป็นคี่ signable, ไม่มี cutset ก๊กและไม่มีฝาหรือใด ๆ 4 จังหวะเป็น subgraph เทพแล้ว6 (โดยเฉพาะสิ่งนี้จะถือได้ว่าถ้าไม่มีการตัดเป็นหมู่คณะและไม่มีหมวกและไม่มีแม้แต่หลุมในฐานะกราฟย่อยย่อยที่เหนี่ยวนำ) $G$ $tw(G)\leq 6\omega(G)-1$ $G$

[1] K. Cameron, S. Chaplick, CT Hoang เกี่ยวกับโครงสร้างของ (แพน, หลุมคู่) - กราฟฟรี, 2015 https://arxiv.org/abs/1508.03062

[2] K. Cameron, MVG da Silva, S. Huang, K. Vušković โครงสร้างและอัลกอริธึมสำหรับ (หมวกหลุมแม้แต่) กราฟฟรี 2016 https://arxiv.org/abs/1611.08066

— Florent Foucaud
แหล่งที่มา