ขนาดพยานของการเป็นสมาชิกสำหรับทุกภาษา NP เป็นที่รู้จักกันแล้ว?

คำถามที่เกิดขึ้นกับผมเมื่อผมได้คำตอบ Dana Moshkovitz ไปหัวข้ออื่น

ให้เป็นภาษาNPและให้เป็นความสัมพันธ์NPตามลำดับ เรารู้ว่ามีอยู่บางพหุนามPดังกล่าวว่า:$L$$R_L$$p$

$\forall x \in L, \\, \exists w \in \\{0,1\\}^{p(|x|)} \quad (x,w) \in R_L$

ข้อความข้างต้นเท่านั้นที่ต้องดำรงอยู่เช่น$p$แต่มันก็ไม่ได้บังคับให้มีการกำหนดอย่างชัดเจน ในทางตรงกันข้ามสำหรับทุกภาษาNPฉันรู้ว่า$p$เป็นที่รู้จักกันแล้ว:

• สำหรับ SAT ขนาดของพยานเท่ากับจำนวนอะตอมที่ปรากฏในสูตร
• สำหรับ Hamiltonicity ขนาดของพยานคือ$O(|V|)$โดยที่$V$คือชุดจุดสุดยอด
• สำหรับกราฟ 3 สีขนาดของพยานคือ$O(|V|)$โดยที่$V$คือชุดจุดสุดยอด

จะมีอยู่NPภาษา (แม้เทียมหนึ่ง) ซึ่งเรารู้ว่ามีอยู่บางพหุนาม$p$วิ่งขนาดของพยาน แต่เราไม่สามารถตรวจสอบอย่างชัดเจน$p$ ?

หากคุณไม่สนใจภาษาประดิษฐ์เราสามารถสร้างปัญหาดังกล่าวโดยใช้ตัวเลข k ที่มีค่าซึ่งไม่เป็นที่รู้จักของนักคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่นเราไม่ทราบค่าของ R (5,5) ( หมายเลข Ramseyที่ห้า) หรือขนาดของกลุ่มรองที่ใหญ่ที่สุดที่แยกออกจากครอบครัวของกราฟที่ไม่มีปม (จำนวนนี้ค่อนข้างแน่นอนเนื่องจากทฤษฎีบท Robertson-Seymour ) หรือมูลค่าของ BB (10) ที่ BB () ย่อมาจากที่ฟังก์ชั่นบีเวอร์ไม่ว่าง ให้ k เท่ากับตัวเลขใด ๆ เหล่านี้ เรารู้ว่า k มี จำกัด แต่เราไม่รู้ค่าของ k

ตอนนี้สร้างปัญหาบางอย่างใน NP ที่พยานมีขนาดk) จากด้านบนของหัวของฉันฉันไม่สามารถคิดวิธีที่ดีในการทำเช่นนี้ แต่นี่เป็นวิธีหนึ่ง ให้อินพุตเป็นคำอธิบายที่กระชับของกราฟ เนื่องจากขนาดคำอธิบายคือ n กราฟจะมีจุดยอดจำนวนมากแทน (ตัวอย่างเช่นบางทีอินพุตเป็นวงจรที่ยอมรับสองอินพุต x และ y และบอกคุณว่า (x, y) เป็นขอบในกราฟ) คำถามคือการพิจารณาว่ากราฟมีเส้นทางที่มีความยาว . ปัญหานี้อยู่ใน NP เนื่องจากผู้ตรวจสอบสามารถส่งรายการของจุดยอดบนเส้นทางตามลำดับซึ่งผู้ตรวจสอบสามารถตรวจสอบได้ ขนาดของพยานเป็น kn k n $O(n^k)$$n^k$$n^k$