ทำไมลำดับชั้นประเภทไม่สิ้นสุด?

18

Coq, Agda และ Idris มีลำดับชั้นชนิดไม่ จำกัด (ประเภท 1: ประเภท 2: ประเภท 3: ... ) แต่ทำไมไม่ทำอย่างนั้นแทนλCระบบในแลมบ์ดาคิวบ์ที่อยู่ใกล้กับแคลคูลัสของสิ่งก่อสร้างซึ่งมีเพียงสองประเภทและและกฎเหล่านี้? $*$ $◽$

\frac{}{\emptyset ⊢ * : ◽}

$\frac {} {∅ ⊢ * : ◽}$

\frac{Γ ⊢ T_{1} : s_{1} Γ, x : T_{1} ⊢ t : T_{2}}{Γ ⊢ (λ x : T_{1}, t) : (Π x : T_{1}, T_{2})}

$\frac {Γ ⊢ T _ 1 : s _ 1 \qquad Γ, \: x : T _ 1 ⊢ t : T _ 2} {Γ ⊢ (λ \: x : T _ 1, \: t) : (Π \: x : T _ 1, \: T _ 2)}$

\frac{Γ ⊢ T_{1} : s_{1} Γ, x : T_{1} ⊢ T_{2} : s_{2}}{Γ ⊢ (Π x : T_{1}, T_{2}) : s_{2}}

$\frac {Γ ⊢ T _ 1 : s _ 1 \qquad Γ, \: x : T _ 1 ⊢ T _ 2 : s _ 2} {Γ ⊢ (Π \: x : T _ 1, \: T _ 2) : s _ 2}$

ดูเหมือนง่ายกว่านี้ ระบบนี้มีข้อ จำกัด ที่สำคัญหรือไม่?

coq dependent-type calculus-of-constructions

— Rui Baptista
แหล่งที่มา

19

ที่จริงแล้ววิธีการของ CoC นั้นมีความหมายมากกว่า - มันอนุญาตให้มีการ จำกัด ปริมาณแบบไม่ จำกัด ตัวอย่างเช่นพิมพ์ $\forall a.\; a \to a$ สามารถสร้างอินสแตนซ์ได้ด้วยตัวเองเพื่อรับ $(\forall a.\; a \to a) \to (\forall a.\; a \to a)$ ซึ่งไม่สามารถทำได้ด้วยลำดับชั้นของเอกภพ

เหตุผลที่ไม่ได้ใช้กันอย่างแพร่หลายเป็นเพราะปริมาณ impredicative ไม่เข้ากันกับตรรกะคลาสสิก หากคุณได้คุณไม่สามารถให้รูปแบบของประเภททฤษฎีที่ประเภทจะถูกตีความเป็นชุดในทางที่ไร้เดียงสา --- เห็นกระดาษที่มีชื่อเสียงจอห์นนาดส์Polymorphism ไม่ได้ตั้งทฤษฎี

เนื่องจากคนจำนวนมากต้องการใช้ทฤษฎีชนิดเป็นวิธีการตรวจสอบพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์สามัญเครื่องพวกเขามักจะ unenthusiastic เกี่ยวกับคุณสมบัติทางทฤษฎีประเภทที่ไม่เข้ากันกับฐานรากปกติ ในความเป็นจริง Coq สนับสนุนการแสดงอารมณ์ในขั้นต้น แต่พวกเขาได้ละทิ้งมันไปเรื่อย ๆ

— Neel Krishnaswami
แหล่งที่มา

9

ฉันจะชมเชยคำตอบของ Neel (ยอดเยี่ยมตามปกติ) พร้อมการอธิบายเพิ่มเติมว่าทำไมระดับจึงถูกใช้ในทางปฏิบัติ

ข้อ จำกัด ที่สำคัญแรกของ CoC ก็คือมันเป็นเรื่องเล็กน้อย! ข้อสังเกตที่น่าประหลาดใจก็คือไม่มีประเภทใดที่คุณสามารถพิสูจน์ได้ว่ามันมีองค์ประกอบมากกว่าหนึ่งองค์ประกอบและมีจำนวนอนันต์น้อยกว่ามาก การเพิ่มเพียง 2 จักรวาลช่วยให้คุณได้ตัวเลขที่เป็นธรรมชาติพร้อมองค์ประกอบหลายอย่างที่ไม่สิ้นสุดและประเภทข้อมูล "ที่เรียบง่าย" ทั้งหมด

ข้อ จำกัด ที่สองคือกฎการคำนวณ: CoC รองรับการทำซ้ำเท่านั้นนั่นคือฟังก์ชันที่เกิดซ้ำไม่สามารถเข้าถึงเงื่อนไขย่อยของการขัดแย้ง ด้วยเหตุนี้จึงสะดวกกว่าในการเพิ่มประเภทอุปนัยเป็นโครงสร้างดั้งเดิมทำให้เกิด CIC แต่ตอนนี้มีปัญหาอื่นเกิดขึ้น: กฎการเข้ารับตำแหน่งที่เป็นธรรมชาติที่สุด (เรียกว่าการกำจัดในบริบทนี้) ไม่สอดคล้องกับกลางยกเว้น! ปัญหาเหล

โดยสรุปปรากฏว่า CoC ไม่มีทั้งความหมายและความมั่นคงที่คุณต้องการในระบบพื้นฐาน การเพิ่มจักรวาลแก้ปัญหาเหล่านี้มากมาย

— Cody
แหล่งที่มา

คุณมีข้ออ้างอิงสำหรับข้อ จำกัด แรกหรือไม่? ถ้าไม่คุณสามารถให้คำแนะนำว่าเอกภพที่สองช่วยพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันได้อย่างไร

— Łukasz Lew

@ ŁukaszLewจริงๆแล้วมันเป็นผลมาจากรูปแบบ "หลักฐานที่ไม่เกี่ยวข้อง" ซึ่งง่ายต่อการใช้งาน ในรุ่นนั้นไม่มีประเภทที่มีมากกว่า 1 องค์ประกอบ การมีสองจักรวาลป้องกันโมเดลนั้นจากที่มีอยู่ วิทยานิพนธ์ของ Alexandre Miquel ให้การอ้างอิงสำหรับชนิดที่มีจำนวนองค์ประกอบไม่สิ้นสุดพร้อมด้วย 2 จักรวาล

— ดี้