คำขออ้างอิง: การย่อขนาด Submodular และฟังก์ชั่นบูลีน Monotone

พื้นหลัง:ในการเรียนรู้ของเครื่องเรามักจะทำงานกับแบบกราฟิกเพื่อแสดงฟังก์ชั่นความหนาแน่นของความน่าจะเป็นมิติสูง หากเรายกเลิกข้อ จำกัด ที่ความหนาแน่นรวม (ผลรวม) กับ 1 เราจะได้รับฟังก์ชั่นพลังงานที่มีโครงสร้างของกราฟที่ผิดปกติ

สมมติว่าเรามีฟังก์ชั่นเช่นพลังงาน, , กำหนดไว้ในกราฟG = ( V , E ) มีตัวแปรหนึ่งคือxสำหรับจุดสุดยอดของกราฟในแต่ละครั้งและมีฟังก์ชั่นเอกและคู่จริงมูลค่าθ ฉัน ( x ฉัน ) : ฉัน∈ Vและθ ฉันJ ( x ฉัน , x J ) : ฉันเจ∈ E , ตามลำดับ พลังงานเต็มแล้ว$E$$G = (\mathcal{V}, \mathcal{E})$$x$$\theta_i(x_i) : i \in \mathcal{V}$$\theta_{ij}(x_i, x_j) : ij \in \mathcal{E}$

$$E(\mathbf{x}) = \sum_{i \in \mathcal{V}} \theta_i(x_i) + \sum_{ij \in \mathcal{E}} \theta_{ij}(x_i, x_j)$$

ถ้าทั้งหมดเป็นเลขฐานสองเราสามารถคิดว่าxเป็นตัวบ่งบอกความเป็นสมาชิกชุดและด้วยการใช้คำเล็ก ๆ ในทางที่ผิด ในกรณีนี้ฟังก์ชั่นพลังงาน submodular IFF θ ฉันJ ( 0 , 0 ) + θ ฉันJ ( 1 , 1 ) ≤ θ ฉันJ ( 0 , 1 ) + θ ฉันJ ( 1 , 0 $x \in \mathbf{x}$$x$$\theta_{ij}(0, 0) + \theta_{ij}(1, 1) \le \theta_{ij}(0, 1) + \theta_{ij}(1, 0)$$\mathbf{x}^* = \arg \min_{\mathbf{x}} E(\mathbf{x})$

ดูเหมือนว่าจะมีการเชื่อมต่อระหว่างการลดฟังก์ชั่นพลังงาน submodular และฟังก์ชั่นบูลีนโมโนโทน: ถ้าเราลดพลังงานของสำหรับใด ๆ(เช่นเพิ่มการตั้งค่าให้เป็น "จริง") การกำหนดตัวแปรสามารถเปลี่ยนจาก 0 เป็น 1 ("false" เป็น "true") เท่านั้น หากทั้งหมดถูก จำกัด ให้เป็น 0 หรือ 1 เราจะมีฟังก์ชั่นบูลีน monotone:$\theta_i(x_i=1)$$x_i$$x_i^* \in \mathbf{x}^*$$\theta_i$$|\mathcal{V}|$

$$f_i(\mathbf{\theta}) = x_i^*$$

ในขณะที่ข้างต้น{x})$\mathbf{x^*} = \arg \min_{\mathbf{x}} E(\mathbf{x})$

คำถาม:เราสามารถเป็นตัวแทนของเสียงเดียวฟังก์ชั่นบูลทั้งหมดโดยใช้การตั้งค่านี้โดยการเปลี่ยนแปลงเงื่อนไขคู่ที่ ? จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเรายอมให้เป็นฟังก์ชันพลังงานแบบ submodular โดยพลการ? ในทางกลับกันเราสามารถเป็นตัวแทนของปัญหาการลดขนาดข้อมูลแบบกลุ่มย่อยเป็นชุดฟังก์ชั่นบูลีน monotone?$\theta_{ij}$$E$$|\mathcal{V}|$

คุณสามารถแนะนำการอ้างอิงที่จะช่วยให้เข้าใจการเชื่อมต่อเหล่านี้ได้ดีขึ้นหรือไม่? ฉันไม่ใช่นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี แต่ฉันพยายามที่จะเข้าใจว่ามีข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับฟังก์ชั่นบูลีนโมโนโทนซึ่งไม่ได้ถูกจับโดยการคิดในแง่ของการย่อเล็กสุดย่อย

เท่าที่ฉันเข้าใจกรณีการลดขนาด submodular จับทั้งหมดจะต้องมีการพูดเกี่ยวกับกรณีบูลีนเสียงเดียวและฟังก์ชั่นบูลีน submodular ไบนารีสามารถแสดงฟังก์ชั่นบูลีน submodular ทั้งหมด อย่างไรก็ตามถ้าโดเมนนั้นไม่ใช่บูลีนฟังก์ชันเลขฐานสองแบบไบนาลจะไม่เพียงพอที่จะแสดงฟังก์ชั่น submodular ทั้งหมดแม้ว่าตัวแปรที่ซ่อนอยู่อาจถูกนำมาใช้ (ขออภัยถ้าฉันพลาดความละเอียดอ่อนในการใช้ถ้อยคำปัญหาที่แม่นยำของคุณ)

สถานะของงานศิลปะได้ถูกกล่าวถึงในบทความฉบับนี้ซึ่งมีลิงค์เชื่อมโยงไปยังงานที่เกี่ยวข้องมากมายและนั่นทำให้การเชื่อมโยงไปยังคอมพิวเตอร์วิสัยทัศน์ค่อนข้างชัดเจน:

• Stanislav Živný, David A. Cohen, Peter G. Jeavons, พลังแห่งการแสดงออกของฟังก์ชัน submodular binary , DAM 157 3347–3358, 2009 doi: 10.1016 / j.dam.2009.07.001 ( พิมพ์ )

ในกรณีที่คำถามถัดไปของคุณเกี่ยวกับการประมาณบทความล่าสุดนี้จะดูที่เวอร์ชันการประมาณ:

• Dorit S. Hochbaum , ปัญหา Submodular - การประมาณและอัลกอริธึม , arXiv: 1010.1945

แก้ไข:ลิงก์ถาวร