Chernoff มุ่งมั่นกับผลรวมถ่วงน้ำหนัก

พิจารณาโดยที่ lambda_i> 0 และ Y_i มีการแจกแจงแบบปกติ ขอบเขตความเข้มข้นชนิดใดที่สามารถพิสูจน์ได้ใน X ในฐานะฟังก์ชันของสัมประสิทธิ์ (คงที่) lambda_i$X = \sum_i \lambda_i Y_i^2$

ถ้า lambda_i ทุกตัวเท่ากันนี่คือขอบเขตของ Chernoff อีกสิ่งเดียวที่ฉันทราบคือบทแทรกจากกระดาษของ Arora และ Kannan ("การเรียนรู้การผสมผสานของ Gaussians โดยพลการ", STOC'01, Lemma 13) ซึ่งพิสูจน์ความเข้มข้นของรูปแบบกล่าวคือขอบเขตจะขึ้นอยู่กับผลรวมของกำลังสองของสัมประสิทธิ์$Prob(X < E[X] - t) < exp(-t^2/(4 \sum_i \lambda_i^2)$

หลักฐานของบทแทรกของพวกเขาคล้ายกับหลักฐานทั่วไปของ Chernoff ที่ถูกผูกไว้ มี "บัญญัติ" ขอบเขตอื่น ๆ อีกหรือมีทฤษฎีทั่วไปที่ฟังก์ชันของ lambda_i นั้นมีความใหญ่โตของมันทำให้มั่นใจว่ามีความเข้มข้นของเลขชี้กำลังที่ดี (ในที่นี้ฟังก์ชันนั้นเป็นผลรวมของกำลังสอง) อาจเป็นมาตรวัดทั่วไปของเอนโทรปี?

การอ้างอิงมาตรฐานเพิ่มเติมสำหรับบทแทรกของ Arora-Kannan ก็น่าจะดีเช่นกันถ้ามี

หนังสือของ Dubhashi และ Panconesiรวบรวมขอบเขตดังกล่าวไว้ด้วยกันจำนวนมากเกินกว่าที่จะแสดงไว้ที่นี่ หากคุณพบว่าเข้าถึงได้ยากในทันทีมีการสำรวจออนไลน์ของ Chung และ Lu