ความแข็งของการประมาณที่สมมติว่า NP! = coNP

สมมติฐานทั่วไปสองข้อสำหรับการพิสูจน์ความแข็งของผลการประมาณ ได้แก่และการคาดเดาเกมที่ไม่ซ้ำ มีความแข็งของผลการประมาณโดยประมาณที่สมมติว่าหรือไม่? ฉันกำลังมองหาปัญหาดังกล่าวว่า "มันเป็นเรื่องยากที่ใกล้เคียงกับภายในเป็นปัจจัยเว้นแต่ "N P ≠ c o N P A A α N P = c o N $P \neq NP$$NP \neq coNP$$A$$A$$\alpha$$NP = coNP$

เป็นที่ทราบกันดีว่า "การแสดงแฟคเตอร์ความกระด้าง NP สำหรับปัญหาเวกเตอร์ที่สั้นที่สุดจะบ่งบอกว่า " โปรดทราบว่านี่คือ "ตรงกันข้าม" ของสิ่งที่ฉันกำลังมองหา$n$$NP = coNP$

ชี้แจง: เป็นไปได้ที่และยังคงมีคำถาม P vs NP เปิดอยู่ ฉันกำลังมองหาความแข็งของผลประมาณซึ่งจะกลายเป็นเท็จถ้าแต่ได้รับผลกระทบ (กล่าวคือยังคงเป็นการคาดเดา) โดยNP$NP=coNP$$NP=coNP$$P \neq NP$

นี่คือข้อสังเกตที่ตรงไปตรงมา ถ้าคุณคิดว่ามันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่ามีการเพิ่มประสิทธิภาพซึ่งไม่มีแม้แต่อัลกอริทึมการประมาณค่าnondeterministicที่ดีในบางแง่มุม$NP \neq coNP$$NP$

ยกตัวอย่างเช่นทฤษฎีบท PCP บอกว่าคุณสามารถแปล SAT เป็นปัญหาในการแยกแยะว่าของคำสั่งมีความพึงพอใจและทุกข้อมีความพึงพอใจสำหรับบาง0 สมมติว่ามีอัลกอริทึม nondeterministic ซึ่งสามารถแยกความแตกต่างระหว่างสองกรณีนี้ในแง่ที่ว่าอัลกอริทึม nondeterministic สามารถรายงานในแต่ละเส้นทางการคำนวณเช่น "พอใจทั้งหมด" หรือ "มากที่สุด " และมันบอกว่า "ที่สุด "ในบางเส้นทางถ้ามากที่สุดจะพอใจมิฉะนั้นมันจะบอกว่า" พอใจทั้งหมด "ในทุกเส้นทางการคำนวณถ้าสมการทั้งหมดจะพอใจ นี้ก็เพียงพอที่จะตัดสินใจนั่งอยู่ใน ,$1-\varepsilon$$\varepsilon > 0$$1-\varepsilon$$1-\varepsilon$$1-\varepsilon$$coNP$$NP=coNP$. มันเห็นได้ชัดว่าการดำรงอยู่ของดังกล่าวเป็นขั้นตอนวิธีการ nondeterministic มีไม่มีผลกับว่า P$P = NP$

มันเป็นเรื่องที่เป็นไปได้มากที่เป็น "ธรรมชาติ" สถานการณ์ที่มีอยู่: ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพซึ่งยากที่จะใกล้เคียงกับในกำหนดเวลาพหุนามภายใต้แต่ไม่รู้จักกันเป็นอย่างหนักภายใต้P ≠ N P (นี่อาจเป็นสิ่งที่คุณต้องการถาม) ความแข็งของผลลัพธ์การประมาณจำนวนมากได้รับการพิสูจน์ครั้งแรกภายใต้สมมติฐานที่แข็งแกร่งกว่า (เช่นN Pไม่ได้อยู่ในเวลาเอ็กซ์โปแนนเชียลหรือN Pไม่ใช่ในB P P ) ในบางกรณีการปรับปรุงในภายหลังทำให้ข้อสันนิษฐานที่จำเป็นอ่อนแอลงบางครั้งก็ลดลงเป็นP ≠ $NP \neq coNP$$P \neq NP$$NP$$NP$$BPP$P ดังนั้นจึงมีความหวังว่าจะมีคำตอบที่น่าพอใจมากกว่าคำถามนี้เล็กน้อย มันยากที่จะสงสัยว่าอาจจะมีปัญหาที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ยากที่จะใกล้เคียงกับใน polytime กำหนดขึ้นภายใต้ P ≠ N Pแต่ก็สามารถพิสูจน์ได้ยากภายใต้ N P ≠ C o N P นั่นหมายความว่า N P ≠ c o N Pบอกเราบางอย่างเกี่ยวกับการคำนวณที่กำหนดว่า P ≠ N Pไม่ได้พูดไปแล้ว สังหรณ์ใจนี่เป็นเรื่องยากที่จะเข้าใจ$P \neq NP$$P \neq NP$$NP \neq coNP$$NP \neq coNP$$P \neq NP$

คำเตือน: นี่ไม่ใช่คำตอบโดยตรง

จริงๆแล้วมีเงื่อนไขความแข็งอื่น ๆ อีกมากมายนอกเหนือจาก P! = NP และ UGC David Johnson เขียนคอลัมน์ที่สวยงามสำหรับธุรกรรมบน Algorithms ย้อนกลับไปในปี 2549 ในประเด็นนี้อย่างแม่นยำ เขาแสดงสมมติฐานที่แตกต่างมากมายที่ใช้ในการแสดงความแข็งและวิธีการที่เกี่ยวข้องกับแต่ละอื่น ๆ

น่าเสียดายที่คลาสเหล่านี้เป็น NP และคลาสที่กำหนดขึ้นเอง (ยกเว้น NP และ co-AM) NP กับ co-NP ไม่ได้ครอบคลุมเลย

เป็นสมมติฐานที่แข็งแกร่งกว่า P ≠ N Pตั้งแต่ N P ≠ C o N Pหมายถึง P ≠ N P ดังนั้นความแข็งใด ๆ ของผลประมาณสมมติ P ≠ N Pก็จะตามมาจาก N P ≠ C o N Pสมมติฐาน$NP \ne coNP$$P \ne NP$$NP\ne coNP$$P\ne NP$$P\ne NP$$NP\ne coNP$

นี่ไม่ใช่คำตอบโดยตรง

ปัญหา k-Choosability คือ - สมบูรณ์ ภายใต้สมมติฐานว่า N P ≠ C o N P , K-Choosability เป็นอย่างเคร่งครัดหนักกว่า k-ระบายสีบนกราฟทั่วไป ดังนั้นการประมาณหมายเลขรายการสีจึงยากกว่าหมายเลขสีอย่างเคร่งครัด เป็นที่ทราบกันดีว่าการทำสี k นั้นเป็นเรื่องเล็กน้อยสำหรับกราฟสองฝ่าย อย่างไรก็ตามการกำหนดจำนวนรายการสีของกราฟสองฝ่ายคือN P -hard (แม้กระทั่ง 3-Chooseability คือ∏ P 2 - สมบูรณ์)$\prod_2^P$$NP \ne coNP$$NP$$\prod_2^P$

Noga Alon, การ จำกัด สีของกราฟ