True Bit Complexity ของการคูณเมทริกซ์คือ

การคูณเมทริกซ์โดยใช้เทคนิคปกติ (ผลิตภัณฑ์ภายในแถว - คอลัมน์) ใช้เวลา $O(n^{3})$ การคูณและ $O(n^{3})$เพิ่มเติม อย่างไรก็ตามสมมติว่ารายการมีขนาดเท่ากัน (จำนวนบิตในแต่ละรายการของเมทริกซ์ทั้งสองที่ถูกคูณ) ของขนาด$m$ บิตการดำเนินการเพิ่มเติมเกิดขึ้นจริง $O(n^{3}nm) = O(n^{4}m)$ เกร็ด

ดังนั้นจึงดูเหมือนว่าความซับซ้อนที่แท้จริงของการคูณเมทริกซ์ถ้าวัดด้วยความซับซ้อนบิตควรเป็น $O(n^{4})$.

$(1)$ถูกต้องหรือไม่

หากว่ามีใครสร้างอัลกอริทึมที่ช่วยลดความซับซ้อนของบิตให้ $O(n^{3+\epsilon})$ มากกว่าการคูณและการเพิ่มทั้งหมดนี่อาจเป็นวิธีที่ทำให้เกิดเสียงมากกว่าพูดว่าการลดการคูณและการเพิ่มทั้งหมดลงใน $O(n^{2+\epsilon})$ ตามที่นักวิจัยพยายามเช่น Coppersmith และ Cohn

$(2)$ นี่เป็นอาร์กิวเมนต์ที่ถูกต้องหรือไม่?

ไม่ความซับซ้อนของการคูณเมทริกซ์เปิดอยู่ $M$รายการบิตคือ $n^{\omega} (\log n)^{O(1)} \cdot M (\log M)^{O(1)}$ที่ไหน $\omega < 2.4$เป็นเลขยกกำลังการคูณเมทริกซ์ที่รู้จักกันดีที่สุด การคูณและการเพิ่ม$M$- บิตตัวเลขสามารถทำได้ $M (\log M)^2$เวลา. การคูณสอง$M$ตัวเลขบิตทำให้ได้ตัวเลขที่มีไม่เกิน $2M$เกร็ด เพิ่ม$n$ ตัวเลขของ $M$ บิตแต่ละตัวให้ผลตัวเลขที่ไม่เกิน $M+\log n+O(1)$เกร็ด คิดดูสิ: ผลรวมนั้นมากที่สุด$n 2^M$ดังนั้นการเป็นตัวแทนบิตจะไม่เกิน $\log (n 2^M)+O(1)$ บิต.)

การอ้างอิงถึงอัลกอริทึมการคูณจำนวนเต็มอย่างรวดเร็วสามารถพบได้ด้วยการค้นหาเว็บหรือวิกิพีเดีย