ความซับซ้อนของฐานสิบหกพร้อมลำดับการหมุนแบบสุ่ม

ฉันเคยคิดว่าจะเป็นตัวแปรhexซึ่งแทนที่จะเป็นผู้เล่นสองคนทำการสลับกันผู้เล่นแต่ละคนที่สุ่มเลือกจะทำการย้าย มันยากแค่ไหนที่จะตัดสินโอกาสสำหรับผู้เล่นแต่ละคนที่ชนะ? เห็นได้ชัดว่าปัญหานี้อยู่ใน PSPACE แต่ไม่สามารถที่จะเป็น NP-hard ได้น้อยกว่า PSPACE ที่สมบูรณ์ ความยากลำบากมาจากวิธีการสุ่มที่ทำให้ผู้เล่นถูกบังคับให้เลือกระหว่างตัวเลือก; ถ้าผู้เล่นคนนั้นโชคดีที่เขาได้รับการเคลื่อนไหวมากพอสองตัวเลือกทั้งสองและถ้าผู้เล่นโชคไม่ดีที่ฝ่ายตรงข้ามได้รับการเคลื่อนไหวเพียงพอที่จะปิดกั้นตัวเลือกทั้งสอง ในทางกลับกันฉันไม่สามารถนึกถึงอัลกอริทึมเวลาพหุนามใด ๆ สำหรับเรื่องนี้

cc.complexity-theory board-games

— Itai Bar-Natan
แหล่งที่มา

ให้ S เป็นสตริงไบนารี่ n-bit ที่แสดงว่าผู้เล่นคนใดกำลังเลี้ยว ในกรณีที่แย่ที่สุดคุณกู้คืนเกม hex มาตรฐานหากลำดับสุ่มคือ 010101 ... หรือ 101010 .... ดังนั้นปัญหาของคุณอย่างน้อยที่สุดก็ยากเท่า hex มาตรฐาน

— Mohammad Al-Turkistany

มีการตีความที่เป็นไปได้สองประการของเกมนี้ (1) ก่อนถึงทุกเทิร์นผู้เล่นพลิกเหรียญเพื่อตัดสินว่าใครจะไปต่อ (2) ในตอนต้นของเกมผู้เล่นพลิกเหรียญ

ครั้ง (บนกระดานขนาด

) และใช้ลำดับนี้เพื่อผลัดกัน Turkistany ดูเหมือนว่าจะเป็นแบบอย่าง (2); คำถามเดิมนั้นคลุมเครือ แต่จากถ้อยคำของเขาบางคำฉันเดาว่า Itai กำลังถามเกี่ยวกับ (1) ซึ่งอาจจะง่ายกว่าเลขฐานสิบหกมาตรฐาน

n^{2}

$n^2$

n

$n$

— Peter Shor

อันที่จริงฉันหมายถึงการตีความครั้งแรกว่าเหรียญถูกพลิกก่อนที่จะย้าย นอกจากนี้ฉันสังเกตเห็นความคลุมเครืออื่นในคำถามของฉัน: ความแม่นยำที่ฉันต้องการทราบความน่าจะเป็น ในขณะที่ความประทับใจที่ฉันทิ้งไว้เมื่อถามถึงปัญหาคือฉันต้องการทราบถึงความน่าจะเป็นในความแม่นยำที่สมบูรณ์ แต่ฉันแค่ต้องการทราบถึงความน่าจะเป็นในความแม่นยำแบบลอการิทึมเท่านั้น เช่นเดียวกับความแตกต่างระหว่าง PP และ BPP ในภายหลังดูเหมือนจะมีประโยชน์และเป็นธรรมชาติมากกว่า

— Itai Bar-Natan

@Itai: คำถามอื่น ทำไมคุณถึงอ้างว่าสิ่งนี้ชัดเจนใน PSPACE สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่ามันเป็นเกมที่อ้างสิทธิ์ซึ่งหมายความว่าขอบเขตบนของความซับซ้อนตามทฤษฎีคือ EXPTIME ดู Feige และ Kilian "การทำให้เกมสั้น"

— Peter Shor

@tukistany ไร้ประโยชน์ไม่ได้หมายถึงเรื่องเล็กน้อย!

— Jeffε

คุณอาจต้องการดูกระดาษ "Random-Turn Hex และเกมตัวเลือกอื่น ๆ " โดย Yuval Peres, Oded Schramm, Scott Sheffield และ David Wilson จากการแนะนำ:

"Random-Turn Hex นั้นเหมือนกับ Hex สามัญยกเว้นว่าแทนที่จะสลับกันผู้เล่นจะโยนเหรียญก่อนรอบแต่ละรอบเพื่อตัดสินใจว่าใครจะวางหินก้อนถัดไปแม้ว่า Hex สามัญจะยากที่จะวิเคราะห์ชื่อเสียง แต่กลยุทธ์ที่ดีที่สุดสำหรับการสุ่ม - Turn Hex กลายเป็นเรื่องง่ายมาก "

ดังนั้นสัญชาตญาณของคุณถูกต้อง: จะอยู่ใน BPP (หรืออาจ P)

— Peter Shor
แหล่งที่มา

ฉันประหลาดใจที่ผู้คนทำงานจริง ๆ ในเรื่องนี้ :) การอ้างอิงที่ดี!

— Suresh Venkat

มันเป็นข้อพิสูจน์ที่ดีมากเช่นกัน ฉันคิดว่าฉันได้ยิน Scott Sheffield พูดถึงมันในการพูดคุยของเขา (แต่แล้วฉันก็ลืมมันไปจนหมดใน Google)

— Peter Shor

นอกจากนี้เว็บไซต์ของ David Wilson มีแอปพลิเคชันที่ช่วยให้คุณเล่น Hex-turn แบบสุ่ม (กับกลยุทธ์ที่เผยแพร่ฉันเชื่อว่า): dbwilson.com/#software

— Andy Drucker

ในการไปเยือนอิสราเอลครั้งล่าสุดของเขาโดยได้แรงบันดาลใจจากกระดาษของ PSSW, Oded Schramm และฉันเล่นเกมหมากรุกแบบสุ่มสองสามรอบเพื่อรู้ว่ามันไม่ใช่เกมที่น่าสนใจเป็นพิเศษ

— Gil Kalai

ปรากฎว่ามีการเชื่อมต่อที่น่าทึ่ง (เนื่องจาก David Richman) ระหว่างเกมแบบสุ่มและเกมประมูลซึ่งผู้เล่นเสนอราคาสำหรับการย้ายครั้งต่อไป ดูarxiv.org/pdf/0812.3677.pdf และusers.math.yale.edu/~sp547/pdf/Discrete-bidding-games.pdf การเชื่อมต่อนี้ช่วยให้การเล่น Hex ประมูลเป็นไปได้อย่างดีที่สุดโดยใช้ผลงานของ Peres et al ฉันชอบสิ่งนี้เพราะเกมการเสนอราคาเป็นอย่างน้อยอย่างเห็นได้ชัดปราศจากโชคและฉันคิดว่าการเสนอราคา Hex น่าจะพอใจมากกว่าการเล่น Hex แบบสุ่ม (การเสนอราคาทุกเทิร์นอาจเป็นงานที่เรียกร้องอย่างน่ารำคาญ)

— Andy Drucker