จำนวนประตูน้อยที่สุดสำหรับการคูณ

อะไรคือผลลัพธ์ที่ดีที่สุดสำหรับจำนวนประตูในวงจรคูณจำนวนเต็มสองบิต n-bit?

วิธีการที่ชัดเจนสร้างประตู มีวิธีการที่ดีกว่าสำหรับประตูและ $\theta(n^2)$ $\theta(n\log n \log\log n)$ $\theta(n\log n2^{\log^*(n)})$

ฉันไม่พบตระกูลวงจรบูลีนใด ๆ ที่สามารถจัดการการคูณด้วยประตู ฉันสงสัยว่าวงจรของครอบครัวนั้นมีอยู่จริงหรือไม่ $n\log n$

cc.complexity-theory circuit-complexity

— อาเมียร์
แหล่งที่มา

คุณกำลังมองหาวงจรเลขคณิตหรือวงจรบูลีน?

— Suresh Venkat

ฉันกำลังมองหาวงจรบูลีน

— Amir

สำหรับบันทึกอัลกอริทึมคืออะไร มันจะใช้ประตูมากมายใช่ไหม

O (n \log n)

$O(n \log n)$

— vzn

@vzn ไม่มีอัลกอริทึมมาร์ติน Fuerer เป็นที่รู้จักกันดีที่สุดและก็จะให้วงจรที่มีประตู Schonhage-Strassen ถูกใช้จริงในระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์บางระบบสำหรับจำนวนมาก

O (n \log n 2^{\log^{*} n})

$O(n\log n 2^{\log^* n})$

— Sasho Nikolov

มีค่าใช้จ่ายในการเปลี่ยน TM เป็นวงจร ประตูอัลกอริธึมเวลาไม่ให้วงจรที่มีประตูการแปลทั่วไปไม่สามารถทำได้ดีกว่าความซับซ้อนของวงจรของปัญหาค่าวงจร ในทางกลับกันความซับซ้อนที่สม่ำเสมอที่สุดไม่ได้หมายถึงขอบเขตล่างที่ซับซ้อนของวงจรเนื่องจากมีค่าใช้จ่ายอยู่ในทิศทางตรงกันข้ามเช่นมีวงจรขนาดแม้ว่าจะไม่มี TM ด้วย ใช้เวลาในการคูณ

t (n)

$t(n)$

t (n)

$t(n)$

O (n \lg n)

$O(n\lg n)$

— Kaveh

ด้านล่างคือแบบสำรวจปี 2008 โดยละเอียดที่ครอบคลุมอัลกอริทึมเชิงทฤษฎีชั้นนำสำหรับการคูณรวมถึงแบบสำรวจที่กล่าวถึงในคำถามของคุณ (รวมถึงอัลกอริทึมSchönhage – Strassen และขั้นตอนวิธี Fuerer ดูหน้า 335 ของการสำรวจ) อย่างไรก็ตามการนำไปปฏิบัตินั้นเป็นเรื่องที่แตกต่างกันและอัลกอริธึมบางอย่างอาจไม่สามารถนำไปใช้ได้จริง การสำรวจไม่ครอบคลุมการใช้งานจริง แม้ว่าการสำรวจจะมีอัลกอริทึมสำหรับพหุนาม, อนุกรมกำลัง, จำนวนจริงและตัวเลข 2 adic, จำนวนเต็มเป็นกรณีพิเศษของสิ่งเหล่านี้ (ดูรูปที่ 1 ในหน้า 336) $O(n\log n \, 2^{\log^* n})$

การคูณที่รวดเร็วและการประยุกต์ใช้ของมัน Bernstein (ทฤษฎีจำนวนขั้นตอนวิธี / MSRI สิ่งพิมพ์ / เล่ม 44, 2008)

— vzn
แหล่งที่มา

กระดาษที่เชื่อมโยงไม่มีหน้า 335 หรือ 336 คุณอาจต้องการลิงก์ไปยังไฟล์อื่นหรือไม่?

— argentpepper

โอ๊ะ! ขอบคุณสำหรับเคล็ดลับ เวอร์ชันด้านบนทำเครื่องหมายว่าเป็นแบบร่าง รุ่นนี้ที่มี pg #s ที่อ้างถึงอาจจะเป็นเวอร์ชั่นสุดท้าย

— vzn

@vzn:

$\:$ แม้แต่กระดาษแผ่นนั้นก็มีขนาดใหญ่ -O รอบ ๆ

\log^{*} (n)

$\log^*(n)$ .

$\;\;\;\;$