ข้อ จำกัด แบบสุ่มและการเชื่อมต่อกับอิทธิพลโดยรวมของฟังก์ชั่นบูลีน

สมมติว่าเรามีฟังก์ชั่นบูลีน $f:\{-1,1\}^n\rightarrow \{-1,1\}$ และเราใช้ $\delta$- ข้อ จำกัด แบบสุ่มใน $f$. นอกจากนี้บอกว่าต้นไม้ตัดสินใจ$T$ ที่คำนวณ $f$ ย่อขนาด $O(1)$เนื่องจากข้อ จำกัด แบบสุ่ม สิ่งนี้แปลว่า$f$ มีอิทธิพลรวมต่ำมาก?

อ้างสิทธิ์:ถ้า$\delta$- ข้อ จำกัด แบบสุ่มของ $f$ มีต้นไม้ตัดสินใจขนาด $O(1)$ (ในความคาดหมาย) แล้วรวมอิทธิพลของเช่น $f$ คือ $O(\delta^{-1})$.

หลักฐานภาพร่าง: โดยนิยามของอิทธิพลที่เรามี $Inf(f) = n \cdot \Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)]$. ให้เราอยู่บนขอบเขตเป็นครั้งแรกโดยใช้ข้อ จำกัด จากนั้นเลือกระหว่างพิกัดที่เหลือและแก้ไขที่ ทุกอย่างสุ่มยกเว้นx_i$\Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)]$$\delta$$i \in [n]$$x_i$

ตอนนี้ถ้า -restriction ลดต้นไม้การตัดสินใจของเป็นขนาดดังนั้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งข้อ จำกัด ของขึ้นอยู่กับการประสานงานให้เราเลือกหนึ่งพิกัดที่ไม่มีการสุ่มแบบสุ่ม (ในหมู่ ) และแก้ไขแบบสุ่มอื่น ๆ ทั้งหมด ตั้งแต่ -restriction ของขึ้นอยู่กับที่มากที่สุดพิกัดที่เราได้รับฟังก์ชั่น (หนึ่งบิต) ที่ไม่ได้อย่างต่อเนื่องกับความน่าจะเป็นที่มากที่สุดn} ดังนั้นตามที่ต้องการ$\delta$$f$$O(1)$$\delta$$f$$r = O(1)$$\delta n$$\delta$$f$$r$$\frac{r}{\delta n}$$Inf(f) = n \cdot \Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)] \leq \frac{r}{\delta}$

หมายเหตุ:เรียกร้องดังกล่าวข้างต้นจะแน่นโดยการใช้ฟังก์ชั่นความเท่าเทียมกันในบิต$O(1/\delta)$