การตรวจสอบว่าปัจจัยพหุนามเป็นปัจจัยเชิงเส้น

ปล่อย $f\in\mathbb{Q}[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]$ เป็นพหุนามที่กำหนดโดยวงจรคณิตศาสตร์ $C$ ขนาด $s$. ป.ร. ให้ไว้$C$ เป็นอินพุตมีอัลกอริทึมที่กำหนดขึ้นเพื่อตรวจสอบว่าปัจจัยลดลงทั้งหมดของ $f$ ใน $\mathbb{Q}[x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}]$รูปแบบเชิงเส้นคืออะไร? ในบันทึกที่เกี่ยวข้องกำหนดรูปแบบเชิงเส้น$l=\sum_{i=1}^{n}l_{i}\cdot x_{i}$เราสามารถตรวจสอบได้อย่างแม่นยำว่า $l$ เป็นปัจจัยของ $f$. แน่นอนเราต้องการให้เวลาเป็นพหุนามในทั้งสองกรณี ตามขนาดเราหมายถึงขนาดบิตทั้งหมด นอกจากนี้ยังสามารถสันนิษฐานได้ว่าระดับของ$f$ คือพหุนามใน $n$.

เท่าที่ฉันรู้อัลกอริทึมที่ดีที่สุดที่เรามีในปัจจุบันเพื่อตรวจสอบว่า $f$(กำหนดโดยวงจรเลขคณิต) สามารถแยกเป็นปัจจัยเชิงเส้นได้โดยใช้อัลกอริธึมแบบสุ่มของKaltofen (PDF)ซึ่งจริง ๆ แล้วสร้าง blackboxes สำหรับทุกปัจจัยที่ลดลงของ$f$และทำงานบนสนามที่มีขนาดใหญ่พอ ในความเป็นจริงปัญหาการแยกตัวประกอบพหุนามสำหรับวงจรทั่วไปเมื่อเร็ว ๆ นี้แสดงโดยKopparty, Saraf และ Shpilkaให้เทียบเท่ากับปัญหาของ blackbox-PIT สำหรับวงจรทั่วไป

ดังที่คุณบรูโน่กล่าวไว้หากคุณสนใจที่จะตรวจสอบวงจรที่ให้นั้นจะถูกหารด้วยค่าที่กำหนด $\ell$ดังนั้นสิ่งนี้จะช่วยลดปัญหา PIT ที่เฉพาะเจาะจง เราไม่รู้วิธีการทำสิ่งนี้โดยทั่วไปแบบกำหนดค่าได้ แต่ฉันรู้กรณีพิเศษหนึ่งกรณีที่เรารู้วิธีการทำ PIT นี้ มีอัลกอริทึมโพลีเวลากำหนด (PDF)เพื่อตรวจสอบว่าได้รับ$\ell$ หารพหุนามแบบกระจาย $f$.

อีกกรณีพิเศษเล็กน้อยเมื่อ $f$ถูกกำหนดโดยวงจรความลึกของพัดลมสามระดับ ที่นั่น$f \bmod \ell$ เป็นแฟนคลับที่มีความลึกสามระดับและเรารู้วิธีที่จะทำ PIT ในเวลาพหุนามที่กำหนดขึ้น)