การสนทนากับความไม่เท่าเทียมของ Fano หรือไม่?

10

ความไม่เสมอภาคของ Fanoนั้นสามารถระบุได้ในหลายรูปแบบและสิ่งที่มีประโยชน์อย่างหนึ่งคือเนื่องจาก (มีการดัดแปลงเล็กน้อย) เพื่อOded Regev :

ให้เป็นตัวแปรสุ่มและให้โดยที่เป็นกระบวนการสุ่ม สมมติว่าการดำรงอยู่ของขั้นตอนที่ว่าได้รับสามารถสร้างมีโอกาสหน้าจากนั้น $X$ $Y = g(X)$ $g(\cdot)$ $f$ $y = g(x)$ $x$ $p$
$I (X; Y) \geq p H (X) - H (p)$ $I(X; Y) \ge pH(X) − H(p)$

กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้าฉันสามารถสร้างใหม่มีข้อมูลร่วมกันจำนวนมากในระบบ

มี "การสนทนา" ต่อความไม่เท่าเทียมของ Fano หรือไม่: รูปแบบบางอย่าง

"กำหนดช่องสัญญาณที่มีข้อมูลร่วมกันอย่างเพียงพอมีขั้นตอนในการสร้างอินพุตจากเอาต์พุตที่มีข้อผิดพลาดซึ่งขึ้นอยู่กับข้อมูลร่วมกัน"

มันจะมากเกินไปที่จะคาดหวังว่ากระบวนการนี้จะมีประสิทธิภาพ แต่มันก็น่าสนใจที่จะเห็นตัวอย่าง (ธรรมชาติ) ที่มีการสร้างใหม่ แต่ต้องไม่มีประสิทธิภาพ

it.information-theory randomized-algorithms

— Suresh Venkat
แหล่งที่มา

คำตอบ:

12

$P(y)$ $y$ $x$ $\Pr[X = x \mid Y = y]$ $\max_x \Pr[x \mid Y = y]$ $2^{-H_\infty(X | Y = y)}$ $H_\infty(X \mid Y = y)$ $X$ $Y = y$ $H_\infty(X) \leq H_1(X)$ $H_1(X)$ $X$ $H_\infty(X|Y = y)$ $I(X:Y)$

$I(X:Y) = H(X) - H(X|Y) = H(X) - \mathbb{E}_y[H(X \mid Y = y)]$ $I(X:Y) \leq H(X) - \mathbb{E}_y[H_\infty(X \mid Y = y)]$ $\mathbb{E}_y[H_\infty(X \mid Y = y)] \leq H(X) - I(X:Y)$

$X$ $Y$ $\mathbb{E}_y [2^{-H_\infty(X\mid Y = y)}]$ $2^{-\mathbb{E}_y[H_\infty(X \mid Y = y)]}$ $2^{I(X:Y) - H(X)}$ .

$P$ $\mathbb{E}_y [ \sum_{x} \Pr(X = x \mid Y = y) \Pr(P(y) = x) ]$ $P(y)$ $x$

— Henry Yuen
แหล่งที่มา

1

ดังนั้นจะมีคำสั่งเชิงปริมาณซึ่งเป็นการสนทนาของความไม่เท่าเทียมกันของ Fano ที่ตามมาจากการโต้แย้งนี้หรือไม่?

— mobius dumpling

I (X : Y)

$I(X:Y)$

1 - 2^{I (X : Y) - H (X)}

$1 - 2^{I(X:Y) - H(X)}$

2

p_{e r r} \leq 1 - 2^{I (X; Y) - H (X)} = 1 - 2^{- H (X | Y)}, (1)

$p_{err} \leq 1-2^{I(X;Y)-H(X)}=1-2^{-H(X|Y)},\quad\quad(1)$

I (X; Y) = H (X) - H (X | Y)

$I(X;Y)=H(X)-H(X|Y)$

p_{e r r} \leq 1 - \sum_{y \in Y} P_{Y} (y) 2^{- H_{2} (X | Y)}, (2)

$p_{err} \leq 1 - \sum_{y \in {\cal Y}} P_Y(y) 2^{-H_2(X|Y)},\quad\quad(2)$

H_{α} (Z) = \frac{1}{1 - α} (\sum_{z \in Z} P_{Z} (z)^{α})

$H_{\alpha}(Z)=\frac{1}{1-\alpha}\left( \sum_{z \in {\cal Z}} P_Z(z)^{\alpha}\right)$

α \in (0, 1) \cup (1, \infty) .

$\alpha \in (0,1)\cup(1,\infty).$

α = 2,

$\alpha=2,$

— kodlu
แหล่งที่มา

โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว

Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.