กราฟ“ มอนิมอร์ฟิซึม” เล็ก ๆ

ในขณะที่คิดเกี่ยวกับความซับซ้อนของการทดสอบมอร์ฟของกราฟอสมมาตร (ดูคำถามที่เกี่ยวข้องกับ cstheory) คำถามเสริมมาถึงใจ

สมมติว่าเรามีเวลาพหุนามทัวริงเครื่อง $M$ ที่อินพุทสร้างกราฟด้วยโหนด $1^n$ $G_{M,n}$ $n$

เราสามารถกำหนดปัญหา : $\Pi_M$

("จิ๋ว" GI): รับกราฟ , คือ isomorphic ถึง? $G=(V,E)$ $G$ $G_{M,|V|}$

ในคำอื่น ๆ ที่เราต้องเปรียบเทียบกราฟให้ด้วย "อ้างอิง" กราฟขนาดเดียวกันที่สร้างขึ้นโดยเครื่องทัวริงเวลาพหุนามคงM $M$

สำหรับทุกเวลาพหุนามทัวริงเครื่อง $M$ เรามี $\Pi_M \in NP$ และสำหรับคนอีกจำนวนมากที่เรามี $\Pi_M \in P$ P
แต่มันจะเป็นจริงสำหรับทั้งหมด $M$ หรือไม่ เป็นปัญหาที่รู้จักกัน?

เมื่อมองแวบแรกฉันคิดว่าทุกคน $\Pi_M$ ควรจะง่ายกว่า $GI$ มากเพราะสำหรับทุก $n$ มีกราฟ "อ้างอิง" ขนาดเดียวเท่านั้นและบางทีความสมมาตร / ความไม่สมมาตรของกราฟที่สร้างโดย $M$ สามารถถูกเอาเปรียบและ ที่มีประสิทธิภาพเฉพาะกิจมอร์ฟทดสอบสามารถสร้างขึ้น ... แต่ก็ไม่เป็นความจริง: $M$ สามารถมีการเรียงลำดับของพหุนามบางหมดเวลาเครื่องยูนิเวอร์แซทัวริงที่ใช้ (เอก) อินพุต $1^n$ ในการสร้างที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง (ในโครงสร้าง) กราฟอ้างอิงเป็น $n$ เพิ่มขึ้น

graph-isomorphism

— Marzio De Biasi
แหล่งที่มา

น่าสนใจคุณรู้หรือไม่ตัวอย่างเครื่องจักรทัวริง P-time

ที่สร้างกราฟ

? M $M$

GM,N $G_{M,N}$

— Mohammad Al-Turkistany

@ MohammadAl-Turkistany: ตัวอย่างเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่

เป็น TM

ที่เพียงเอาท์พุท

จุดแยก (หรืออีกคนหนึ่งเป็น TM ที่เอาท์พุท

) โดยไม่สูญเสียของทั่วไปเรายังสามารถคิดรูปแบบที่ทุกเวลา TM พหุนามมากกว่าตัวอักษรไบนารีสร้างกราฟอ้างอิง: เพียงแค่เลือกแรก

บิตของเทปหลังจากที่มันหยุดและตีความมันเป็นเมทริกซ์ถ้อยคำของ

. ΠM∈P $\Pi_M \in P$

M $M$

n $n$

Kn $K_n$

n2 $n^2$

GM,n $G_{M,n}$

— Marzio De Biasi

สำหรับ TM

ที่รับประกันว่า

มีวงจรมิลแล้วผมคิดว่า

ไม่ได้อยู่ในP

M $M$

GM,n $G_{M,n}$

ΠM $\Pi_M$

P $P$

— Mohammad Al-Turkistany

@ MohammadAl-Turkistany: ฉันคิดว่ามันไม่เป็นความจริง: เพียงแค่เลือก TM ที่เพียงสร้างวงจรของ

โหนด: สำหรับทุก

กราฟอ้างอิง - ที่มีวงจรมิล - เป็นอย่างที่ตรวจสอบได้ในเวลาพหุนาม ฉันมีในใจเป็นตัวอย่างที่ไม่น่าสนใจของเครื่องกำเนิดไฟฟ้า (ค่อนข้างง่าย) ซึ่งมันยากที่จะแสดงให้เห็นว่าปัญหาอยู่ใน

; แต่ฉันต้องการทดสอบกับ nauty ก่อนที่จะเพิ่มลงในคำถาม n $n$

n $n$

P $P$

— Marzio De Biasi

สิ่งที่เกี่ยวกับ GI "Itsy Bitsy" ที่ M และ N คงที่เราต้องตัดสินใจว่ากราฟสองตัวที่สร้างบน 1 ^ n เหมือนกันหรือไม่ (นี่เป็นภาษาเอก.)

— domotorp

คำตอบ:

[นี่เป็นความคิดเห็นเพิ่มเติมสองสามข้อมากกว่าคำตอบ]

1) หากแล้วไม่มีคงพหุนามผูกพันอยู่กับความซับซ้อนของเวลาทั้งหมดแม้สำหรับเท่านั้นที่ใช้เวลาในการพูด, : ถ้าทุกเวลา , จากนั้นต่อไปนี้เป็นอัลกอริทึมโพลีเวลาสำหรับ GI บนอินพุท , สร้างเครื่องทัวริงพร้อมนาฬิกาที่รับรองว่า $GI \notin \mathsf{P}$ $\Pi_{M}$ $M$ $n^3$ $n^3$ $M$ $\Pi_{M} \in \mathsf{DTIME}(n^k)$ $(G, H)$ $M_{G}$ $M_{G}$ ไม่เคยทำงานมานานกว่าขั้นตอนเกี่ยวกับปัจจัยการผลิตที่มีขนาดและเช่นที่แล้วแก้ในเวลา ) $n^3$ $n$ $M_{G}(1^{|V(G)|}) = G$ $\Pi_{M_G}(H)$ $O(n^k)$

2) สำหรับการใด ๆ ตั้งแต่ , ไม่มีหนักกว่า GI หนึ่งอาจจะคิดว่าผลที่ดีที่สุดตามสายของ " ดูเหมือนจะไม่เป็นใน " หนึ่งจะหวังเป็นผล Gi-ครบถ้วน แต่ก็ดูเหมือนว่าไม่น่ากับผมว่าคนใดคนหนึ่งจะ GI สมบูรณ์อย่างน้อยด้วยเหตุผลต่อไปนี้: $M$ $\Pi_{M}$ $\Pi_M$ $\mathsf{P}$ $\Pi_M$

ผลลัพธ์ความครบถ้วนสมบูรณ์ของ GI ทั้งหมดที่ฉันรู้นั้นมีไว้สำหรับกราฟที่ค่อนข้างใหญ่แทนที่จะเป็นกราฟเดี่ยวของแต่ละขนาด แม้ว่าคุณจะลดความต้องการด้านประสิทธิภาพลงอย่างสิ้นเชิง แต่ฉันก็ไม่รู้จักรายการกราฟใด ๆเช่นนั้น (หรือแม้กระทั่ง ) เช่นนั้นการทดสอบมอร์ฟิซึ่มกับคือค่า GI ที่สมบูรณ์ $G_1, G_2, \dotsc$ $|V(G_n)| = n$ $poly(n)$ $G_n$
ในบันทึกที่เกี่ยวข้องผลลัพธ์ของความสมบูรณ์แบบของ GI ส่วนใหญ่ไม่ใช่เพียงการลดจำนวนมาก แต่มีรูปแบบต่อไปนี้: มีฟังก์ชันซึ่งให้อินสแตนซ์ของ GI, เป็นตัวอย่างของปัญหา GI-complete อื่น ๆ (เหล่านี้เป็น morphisms เพียงแค่โพลีเวลาของความสมดุลความสัมพันธ์หรือสิ่งที่Fortnow และฉันเรียกว่า "การลดลงของเคอร์เนล.) เราสามารถแสดงให้เห็นอย่างไม่มีเงื่อนไขว่าจะไม่มีการลดลงดังกล่าวจาก GI ใด ๆ (แม้ว่าคุณจะปรับเปลี่ยนความหมายเพื่อให้ $f$ $(G,H)$ $(f(G), f(H))$ $\Pi_M$ $M$ เพื่อส่งออกกราฟหลายกราฟ) คำแนะนำ: ได้รับความขัดแย้งด้วยการแสดงที่ใด ๆ เช่นต้องมีภาพที่มีอยู่อย่างสมบูรณ์ใน 0 $f$ $\{G_{M,n}\}_{n \geq 0}$

3) แม้ว่าใคร ๆ ก็สามารถสร้างโดยใช้ TM สากลตามที่แนะนำในคำถาม แต่ก็สามารถสร้างเครื่องทดสอบที่มีประสิทธิภาพได้ นั่นคืออาจจะให้แต่ละ , อยู่ใน ? $M$ $M$ $\Pi_{M}$ $\mathsf{P/poly}$

— Joshua Grochow
แหล่งที่มา

ผมไม่มีคำตอบสำหรับคำถามของคุณ แต่เสนอให้พิจารณาเป็นรุ่นที่ จำกัด มากขึ้นของที่เราสามารถแสดงให้เห็นว่ามันอยู่ในพี $\Pi_M$

ขอให้เราพิจารณาตระกูลของกราฟเท่านั้นว่าจำนวนของขอบจะเพิ่มขึ้นแบบลอการิทึม ฉันจะทำสิ่งนี้ให้เป็นรูปเป็นร่างโดยการนำเสนอสูตรปัญหาของคุณอีกครั้งเพื่อดูว่าฉันเข้าใจถูกต้องหรือไม่

กราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางมีขอบสามารถอธิบายได้โดย $G$ $n$ ยาวสองเส้นเชื่อมต่อรายการของ adjacency matrix ของในรูปสามเหลี่ยมด้านบน ดังนั้นจึงมี $\frac{n^2-n}{2}$ $G$ กราฟที่เป็นไปได้บนจุดยอด ตามด้วยฟังก์ชันใด ๆเช่นนั้น $2^{\frac{n^2-n}{2}}$ $n$ $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ สำหรับทุกอธิบายตระกูลของกราฟ สำหรับฟังก์ชั่นดังกล่าวคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพเรากำหนดเป็น $0 \leq f(n) < 2^{\frac{n^2-n}{2}}$ $n$ $f$ $\Pi_f$

G \in Π f ⟺ G is isomorph to the graph described by f (| V (G) |)

$G \in \Pi_f \iff G \text{ is isomorph to the graph described by $f(|V(G)|)$}$

สำหรับจำนวนธรรมชาติให้เป็นจำนวน 1 ในการแทนเลขฐานสอง ตอนนี้ให้เราพิจารณาเท่านั้นสำหรับฟังก์ชันที่คำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพซึ่งมันถือว่า ซึ่งเป็นตระกูลของกราฟที่จำนวนขอบเติบโตเพียงลอการิทึมตามที่ระบุไว้ข้างต้น . $x$ $b_1(x)$ $\Pi_f$ $f$

b 1 (f (n)) \in O (log n)

$b_1(f(n)) \in \mathcal{O}(\log n)$

เราแสดงให้เห็นว่าสำหรับคลาสของฟังก์ชั่นนี้มีหน่วยเป็น P $\Pi_f$

ให้เป็นฟังก์ชันและเป็นกราฟอินพุตที่มีจุดยอด ขอให้เราโทรกราฟอ้างอิง มีขอบในกราฟอ้างอิง ดังนั้นทุก MCC (Component เชื่อมต่อสูงสุด) สามารถประกอบด้วยที่มากที่สุดจุดที่สามารถมีได้มากที่สุดnหมายเหตุว่าสำหรับคู่ของกราฟใด ๆ มีเพียงจุดเรานิด ๆ สามารถตรวจสอบมอร์ฟใน polynomialy เวลา WRT $f$ $G$ $n$ $f(n)$ $\mathcal{O}(\log n)$ $\mathcal{O}(\log n)$ $n$ $\mathcal{O}(\log n)$ $n$ เพราะเราสามารถลองเปลี่ยนเรียงทั้งหมด ดังนั้นการใช้อัลกอริทึมแบบโลภเพื่อกำหนด MCC แต่ละรายการของกราฟอินพุต MCC ในกราฟอ้างอิงเราสามารถทราบได้ว่ากราฟทั้งสองนั้นเป็นไอโซมอร์ฟหรือไม่

— จอห์นดี
แหล่งที่มา

ถ้าฉันเข้าใจดี

ของคุณ, ถ้าจำนวนของขอบเพิ่มขึ้นเพียงลอการิทึม wrt

แล้วมันง่ายที่จะวางจุดยอดที่แยกได้และทดสอบในเวลาพหุนามถ้า

isomorphic ไปยังกราฟอ้างอิง ดังนั้นสำหรับระดับที่ จำกัด นี้

f $f$

n $n$

G $G$

Πf∈P $\Pi_{f} \in P$

— Marzio De Biasi

แน่นอนว่ามันเป็นข้อโต้แย้งที่ง่ายกว่าที่ฉันคิด ฉันจะรวมไว้ในคำตอบของฉัน

— John D.

เมื่อพิจารณาว่าการโต้แย้งแบบเดียวกันนี้ใช้ได้กับ GI โดยทั่วไปสิ่งนี้ไม่น่าพอใจจริงๆ ผมคิดว่ามันจะน่าสนใจถ้าใครสามารถปรับปรุงขอบเขตบนขอบในที่

ตั้งค่าดังกล่าวว่าไม่สามารถแสดง analogously การทำงานสำหรับ GI ทั่วไปอีกต่อไป Πf $\Pi_f$

— John D.

สำหรับการโต้เถียงโดยใช้กำลังดุร้าย (การเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดในแต่ละองค์ประกอบ) ฉันคิดว่าคุณต้องการให้แต่ละส่วนที่เชื่อมต่อกันมี

มากที่สุด

vertices:

เป็นหลัก

อย่างไรก็ตามการใช้อัลกอริทึม GI ที่รู้จักกันดีซึ่งต้องใช้เวลา

O(logn/loglogn) $O(\log n / \log \log n)$

(logn)! $(\log n)!$

(logn)logn=nloglogn $(\log n)^{\log n} = n^{\log \log n}$

, คุณสามารถแทนที่

โดย

)

2vlogv√ $2^{\sqrt{v \log v}}$

$O(\log n/\log \log n)$

$O(\log^2 n)$

— Joshua Grochow