มีจำนวนสูงสุดของท้องถิ่นในจำนวนการเคลื่อนไหวที่ต้องใช้ในการแก้ปัญหาลูกบาศก์รูบิคหรือไม่?

Peter Shor นำเสนอประเด็นที่น่าสนใจเกี่ยวกับความพยายามที่จะตอบคำถามก่อนหน้านี้เกี่ยวกับความซับซ้อนในการแก้ปัญหา Rubiks cube ฉันโพสต์ความพยายามที่ค่อนข้างไร้เดียงสาเพื่อแสดงว่าจะต้องมีอยู่ใน NP ดังที่ปีเตอร์ชี้ให้เห็นแนวทางของฉันล้มเหลวในบางกรณี กรณีที่เป็นไปได้อย่างหนึ่งของอินสแตนซ์ดังกล่าวคือที่ซึ่งมี maxima ท้องถิ่นอยู่ในความยาวพา ธ โดยนี้ผมหมายถึงว่าอาจใช้เวลาย้ายไปแก้ก้อนจากการกำหนดค่าและทั้งหรือย้ายไปแก้ก้อนจากตำแหน่งใด ๆ ที่สามารถเข้าถึงได้ในหนึ่งย้ายจาก ตอนนี้ไม่จำเป็นต้องเป็นปัญหาเช่นนี้หากS S S - 1 $n \times n \times n$$S_A$$A$$S_A$$S_A - 1$$A$$S_A$คือจำนวนการเคลื่อนไหวสูงสุดที่ต้องใช้ในการแก้ปัญหาลูกบาศก์โดยทั่วไป ( เลขพระเจ้าสำหรับลูกบาศก์นั้น) แต่เป็นปัญหาอย่างแน่นอนหากนั้นน้อยกว่าเลขพระเจ้าอย่างเคร่งครัดสำหรับลูกบาศก์นั้น ดังนั้นคำถามของฉันคือ maxima ท้องถิ่นนั้นมีอยู่จริงหรือไม่? แม้แต่คำตอบสำหรับ cube ก็น่าสนใจสำหรับฉัน 3 × 3 × $S_A$$3 \times 3 \times 3$

การถามโทมัส Rokicki คำถามนี้ให้คำตอบที่ถูกต้องทันที ("ใช่, มีอยู่ในท้องถิ่นสูงสุด"):

หากตำแหน่งแสดงถึงความสมมาตรรวมเป็นสิ่งจำเป็นสูงสุดในท้องถิ่น (ทั้งหมดยกเว้นจุดเริ่มต้น) ความคิดเล็ก ๆ น้อย ๆ ควรทำให้ชัดเจนว่าเหตุใดในกรณีนี้ใน QTM [การคำนวณผลัดไตรมาส] สำหรับ HTM [ตัวชี้วัดครึ่งทาง] มันละเอียดกว่านี้เล็กน้อย แต่ก็ไม่ได้แย่เกินไป

...

ตำแหน่งดังกล่าวคือ pons asinorum ซึ่งเป็นระยะทาง 12 ใน QTM และระยะทาง 6 ใน HTM (U2D2F2B2L2R2)

ฉันไม่เห็นสาเหตุที่เป็นเช่นนี้สำหรับตัวชี้วัดครึ่งทาง แต่สำหรับตัวชี้วัดในไตรมาสที่สี่เป็นที่ชัดเจน ในตำแหน่งที่มีความสมมาตรรวมตำแหน่งที่อยู่ใกล้เคียงทั้งหมดจะต้องมีความยาวเส้นทางเท่ากัน (เนื่องจากการเคลื่อนไหวทั้งหมดนั้นเทียบเท่ากันด้วยสมมาตร) ดังนั้นตำแหน่งที่มีความสมมาตรทั้งหมดจะต้องเป็นค่าสูงสุดในท้องถิ่นหรือค่าต่ำสุดในท้องถิ่นที่เข้มงวด แต่ข้อ จำกัด ขั้นต่ำของท้องถิ่นไม่สามารถดำรงอยู่ได้ ... ต้องมีการเคลื่อนไหวบางอย่างที่ช่วยลดระยะทางไปสู่สถานะที่แก้ไขแล้วเพียงแค่นิยามตามระยะทาง อาร์กิวเมนต์สมมาตรแปลเป็น cube เช่นเดียวกับตำแหน่งตัวอย่างที่ให้ไว้$n \times n \times n$

นี่คือการโต้แย้งแบบฮิวริสติกอย่างมากที่แนะนำสถานที่ซึ่งอาจพบจุดสูงสุดในท้องถิ่น ให้เป็นจำนวนตำแหน่งที่ต้องการการเลื่อนเพื่อแก้ปัญหา การย้ายจากตำแหน่งดังกล่าวแต่ละครั้งจะใช้คิวบ์ไปยังระยะทาง ,หรือ ; ดังนั้นจึงมีตำแหน่งทั้งหมดที่สามารถเข้าถึงได้ มีการเคลื่อนไหวจากแต่ละตำแหน่งนำไปสู่ตำแหน่งใหม่ ; ตำแหน่งที่ระยะทางเป็นค่าสูงสุดในพื้นที่เมื่อไม่มีตำแหน่งเหล่านี้อยู่ที่ระยะทาง d d - 1 d d + 1 N d - 1 + N d + N d + 1 M M d M d + $N_d$$d$$d-1$$d$$d+1$$N_{d-1} + N_d + N_{d+1}$$M$$M$$d$$M$$d+1$. หากเรานำตำแหน่งเหล่านี้ไปสุ่มอย่างเท่าเทียมกันจากตำแหน่งที่เข้าถึงได้ (ซึ่งแน่นอนว่าพวกเขาไม่ได้; นี่คือส่วนที่เรียนรู้) เรามี:

จำนวนที่คาดหวังของแม็กซิม่าท้องถิ่นที่ระยะเป็นX_d$d$$N_d X_d$

สำหรับก้อนจำนวนการย้ายจากตำแหน่งที่กำหนดคือและประมาณการสำหรับให้ที่จำนวนของพระเจ้าคือ 20 การใช้ค่าเหล่านี้เราพบจำนวนสูงสุดของท้องถิ่นที่คาดว่าจะเป็น , , และ{19} ดังนั้นจึงมีไม่น่าจะเป็นสูงสุดในท้องถิ่นใด ๆ สำหรับ16 ที่จำนวนตำแหน่งทั้งหมดโดยประมาณคือดังนั้นหนึ่งอาจคาดว่าจะทดสอบหนึ่งพันล้านตำแหน่งก่อนที่จะหาตำแหน่งสูงสุดในท้องถิ่น ในที่สุด, ที่$3 \times 3 \times 3$$M=18$$N_d$$N_{16} X_{16} = 0.2$$N_{17} X_{17} = 9 \times 10^9$$N_{18} X_{18} = 1.5 \times 10^{19}$$d \le 16$$d=17$$12 \times 10^{18}$$d=18$หนึ่งคาดว่าสูงสุดในท้องถิ่นในทุก ๆ ยี่สิบตำแหน่ง