ความแข็งของการประมาณ - ข้อผิดพลาดเพิ่มเติม

มีวรรณกรรมมากมายและหนังสือที่ดีอย่างน้อยหนึ่งเล่มที่ระบุความแข็งของผลการประมาณค่าสำหรับปัญหา NP-hard ในบริบทของข้อผิดพลาดทวีคูณ (เช่นการประมาณ 2 รอบสำหรับการครอบจุดยอดนั้นถือว่าเหมาะสมที่สุด UGC) นอกจากนี้ยังรวมถึงคลาสที่มีความซับซ้อนที่เข้าใจได้ดีเช่น APX, PTAS และอื่น ๆ

จะทราบได้อย่างไรว่าข้อผิดพลาดเพิ่มเติมนั้นต้องพิจารณาเมื่อใด การค้นหาวรรณกรรมแสดงผลลัพธ์ประเภทขอบบนที่เห็นได้ชัดเจนที่สุดสำหรับการจัดเก็บในถังขยะ (ดูตัวอย่างhttp://www.cs.princeton.edu/courses/archive/spr03/cs594/dpw/lecture2.ps ) แต่มี การจำแนกประเภทความซับซ้อนที่ครอบคลุมมากขึ้นหรือมีเหตุผลว่าทำไมมันจึงไม่น่าสนใจหรือเกี่ยวข้อง?

ในฐานะที่เป็นความคิดเห็นเพิ่มเติมสำหรับการบรรจุถังขยะมีเท่าที่ฉันรู้ว่าไม่มีเหตุผลทางทฤษฎีว่าทำไมโพลีไทม์อัลกอริทึมซึ่งมักจะอยู่ในระยะเติมแต่งจากที่ดีที่สุดของ 1 ไม่สามารถพบได้ (แม้ว่าฉันจะแก้ไข ) อัลกอริทึมดังกล่าวจะยุบคลาสความซับซ้อนใด ๆ หรือมีผลกระทบทางทฤษฎีที่สำคัญอื่น ๆ หรือไม่?

แก้ไข: วลีสำคัญที่ฉันไม่ได้ใช้คือ "คลาสประมาณ asymptotic" (ขอบคุณ Oleksandr) ดูเหมือนว่าจะมีงานบางอย่างในพื้นที่นี้ แต่มันก็ยังไม่ถึงขั้นตอนของวุฒิภาวะเดียวกัน แต่เป็นทฤษฎีของคลาสการประมาณแบบคลาสสิก

คำถามค่อนข้างเปิดกว้างดังนั้นฉันไม่คิดว่าจะสามารถตอบได้อย่างสมบูรณ์ นี่คือคำตอบบางส่วน

การสังเกตง่าย ๆ คือปัญหามากมายไม่น่าสนใจเมื่อเราพิจารณาการเติมสารเติมแต่ง ตัวอย่างเช่นหน้าที่ตามวัตถุประสงค์ของปัญหา Max-3SAT คือจำนวนของคำสั่งที่พอใจ ในสูตรนี้การประมาณ Max-3SAT ภายในข้อผิดพลาดการเติม O (1) นั้นเทียบเท่ากับการแก้ Max-3SAT อย่างแน่นอนเพราะฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์สามารถปรับขนาดได้โดยการคัดลอกสูตรอินพุตหลายครั้ง การคูณแบบทวีคูณนั้นมีความสำคัญยิ่งกว่าสำหรับปัญหาประเภทนี้

[แก้ไข: ในการแก้ไขก่อนหน้านี้ฉันใช้ชุดอิสระเป็นตัวอย่างในย่อหน้าก่อนหน้า แต่ฉันเปลี่ยนเป็น Max-3SAT เพราะชุดอิสระไม่ใช่ตัวอย่างที่ดีในการแสดงความแตกต่างระหว่างการประมาณแบบทวีคูณและการประมาณแบบเพิ่มเติม การประมาณค่าเซ็ตอิสระแม้ในปัจจัยการคูณ O (1) ก็เป็น NP-hard เช่นกัน ในความเป็นจริงHåstad [Has99] ได้แสดงความไม่สามารถผ่านได้มากขึ้นสำหรับชุดอิสระ

แต่อย่างที่คุณพูดการประมาณค่าเพิ่มเติมนั้นน่าสนใจสำหรับปัญหาต่างๆเช่นการจัดเก็บในถังขยะซึ่งเราไม่สามารถขยายฟังก์ชันวัตถุประสงค์ได้ ยิ่งไปกว่านั้นเราสามารถปรับแก้ปัญหาได้บ่อยครั้งเพื่อให้การประมาณค่าที่น่าสนใจยิ่งขึ้น

ตัวอย่างเช่นหากฟังก์ชันวัตถุประสงค์ของ Max-3SAT ถูกนิยามใหม่เป็นอัตราส่วนของจำนวนของคำสั่งที่พอใจกับจำนวนทั้งหมดของคำสั่ง ในการตั้งค่านี้การประมาณค่าบวกไม่ได้ยากกว่าการประมาณแบบหลายค่าในแง่ที่ความประมาณได้ภายในปัจจัยคูณ 1 1 ε (0 < ε <1) แสดงถึงการประมาณค่าภายในข้อผิดพลาดของสารเติมแต่งεเนื่องจากค่าที่เหมาะสมที่สุดคือ 1

ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจ (ซึ่งดูเหมือนว่าจะมองข้ามไปอย่างน่าเสียดาย) คือผลลัพธ์ที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้หลายข้อพิสูจน์ว่าปัญหาความไม่สมบูรณ์ของปัญหาช่องว่างบางประการซึ่งไม่เป็นไปตามเพียงความแข็งของ NP ของการประมาณแบบหลายค่า (ดู Petrank [Pet94] และ Goldreich [Gol05, ส่วนที่ 3]) ต่อจากตัวอย่างของ Max-3SAT มันเป็นผลลัพธ์ที่รู้จักกันดีโดยHåstad [Has01] ว่ามันเป็น NP-hard ที่จะประมาณ Max-3SAT โดยประมาณภายในปัจจัยคูณแบบคงที่ดีกว่า 7/8 ผลลัพธ์นี้เพียงอย่างเดียวดูเหมือนจะไม่ได้หมายความว่ามันเป็น NP-hard ที่จะประมาณค่าอัตราส่วนรุ่นของ Max-3SAT ภายในข้อผิดพลาดของสารเติมแต่งคงที่เกินขีด จำกัด บางอย่าง อย่างไรก็ตามสิ่งที่Håstad [Has01] พิสูจน์ได้นั้นดีกว่าความสามารถในการหยั่งรู้เชิงลบเพียงอย่างเดียว: เขาพิสูจน์ได้ว่าปัญหาสัญญาต่อไปนี้สมบูรณ์แบบสำหรับปัญหาค่าคงที่ทุก 7/8 < s <1:

Gap-3SAT _s
Instance : สูตร CNF φโดยที่แต่ละ clause เกี่ยวข้องกับตัวแปรที่แตกต่างกันสามประการ
ใช่สัญญา : φเป็นที่น่าพอใจ
ไม่มีสัญญา : ไม่มีความพึงพอใจที่ได้รับมอบหมายความจริงมากกว่าsส่วนของคำสั่งของφ

จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่ามันเป็น NP- ยากที่จะประมาณรุ่นอัตราส่วนของ Max-3SAT ภายในข้อผิดพลาดการเติมดีกว่า 1/8 ในทางกลับกันการสุ่มแบบปกติธรรมดาให้การประมาณภายในข้อผิดพลาดเพิ่มเติม 1/8 ดังนั้นผลลัพธ์โดยHåstad [Has01] ไม่เพียง แต่จะให้ความสามารถในการแก้ไขปัญหาการคูณแบบคูณที่ดีที่สุดสำหรับปัญหานี้เท่านั้น ฉันเดาว่ามีผลการเพิ่มความไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้อย่างนี้ซึ่งไม่ปรากฏอย่างชัดเจนในวรรณกรรม

อ้างอิง

[Gol05] Oded Goldreich ในปัญหาที่เกิดขึ้น (การสำรวจในความทรงจำของ Shimon Even Electronic Colloquium ต่อความซับซ้อนในการคำนวณ , รายงาน TR05-018, ก.พ. 2005. http://eccc.hpi-web.de/report/2005/018/

[Has99] Johan Håstad ก๊กเป็นเรื่องยากที่ใกล้เคียงภายในn ^1- ε Acta Mathematica , 182 (1): 105–142, มีนาคม 1999 http://www.springerlink.com/content/m68h3576646ll648/

[Has01] Johan Håstad ผลลัพธ์ที่ไม่สามารถทำได้ที่เหมาะสมที่สุด วารสาร ACM , 48 (4): 798–859, กรกฎาคม 2001 http://doi.acm.org/10.1145/502090.502098

[Pet94] Erez Petrank ความแข็งของการประมาณ: ตำแหน่งช่องว่าง ความซับซ้อนในการคำนวณ , 4 (2): 133–157, เมษายน 1994. http://dx.doi.org/10.1007/BF01202286

นี่คือคำตอบบางส่วน

A B $ABS$เป็นคลาสของปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพ NP ที่แก้ไขได้ในเวลาพหุนามจนถึงภายในข้อผิดพลาดสารเติมแต่งแน่นอนจากทางออกที่ดีที่สุด ปัญหาที่สองต่อไปนี้อยู่ในABS$ABS$

- ปัญหาที่โด่งดังที่มีการประมาณข้อผิดพลาดเพิ่มเติม: 3 สีของกราฟระนาบคือสมบูรณ์ในขณะที่กราฟระนาบทุก 4 สีในเวลาพหุนาม (โดยทฤษฎีบทสี่สี)$NP$

กราฟิกลูกบาศก์ทุกใบมีขอบ 4 สีในเวลาพหุนาม แต่ขอบ 3 สีคือ NP-hard

ปัญหาชุดอิสระสูงสุดไม่ได้อยู่ในระบบยกเว้นว่าP = N $ABS$$P=NP$

มีงานล่าสุดในชั้นเรียนประมาณ asymptotic และการเปรียบเทียบกับงานคลาสสิก

Erik Jan van Leeuwen และ Jan van Leeuwen โครงสร้างของพหุนามเวลาประมาณ รายงานทางเทคนิค UU-CS-2009-034 ธันวาคม 2552