หลักฐานเชิงโต้ตอบสำหรับระดับของลำดับชั้นพหุนาม

33

เรารู้ว่าถ้าคุณมีเครื่อง PSPACE มันมีพลังมากพอที่จะพิสูจน์การโต้ตอบของลำดับชั้นพหุนามในทุกระดับ (และถ้าฉันจำได้ถูกต้องสิ่งที่คุณต้องการคือ #P) แต่สมมติว่าคุณต้องการแสดงหลักฐานการเป็นสมาชิกแบบโต้ตอบในภาษามันเพียงพอที่จะสามารถแก้ปัญหาในไหม? การแก้ปัญหาในเพียงพอหรือไม่ โดยทั่วไปถ้าคุณสามารถแก้หรือปัญหาสำหรับสิ่งนี้เพียงพอที่จะสร้างบทพิสูจน์การโต้ตอบของ languates ทั้งหมดใน ? $\Sigma_2$ $\Sigma_2$ $\Sigma_5$ $\Sigma_k$ $\Pi_k$ $\Sigma_\ell$ $\Sigma_\ell$

คำถามนี้ได้รับแรงบันดาลใจจากคำถามการแลกเปลี่ยนสแต็คของ cstheoryนี้

cc.complexity-theory interactive-proofs

— ปีเตอร์แคระ
แหล่งที่มา

คุณสนใจในกรณีผู้เดียวหรือคุณสนใจในกรณีของผู้พิสูจน์หลายคน? สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่าวิธีการที่ชัดเจนในการโจมตีผ่าน PCPs ซึ่งอาจตรงไปตรงมาสำหรับผู้พิสูจน์สองคน

— Joe Fitzsimons

1

ฉันสนใจทั้งสองกรณี ฉันสงสัยเกี่ยวกับคำถามนี้สำหรับผู้พิสูจน์เพียงคนเดียวมาระยะหนึ่งแล้ว แต่ก็ไม่เคยคิดเลยว่าจะมีผู้พิสูจน์หลายคน

— Peter Shor

4

@Peter: มองกระดาษ IP = PSPACE ดูเหมือนว่าหลักฐานจะผ่านการใช้

(ซึ่งเสร็จสมบูรณ์สำหรับ

) มากกว่า QBF โดยที่คุณมีนักพิสูจน์ที่มีประสิทธิภาพเพียงพอในการคำนวณอัตลักษณ์พหุนามที่เกิดจาก arithmitization ของ

k

ฉันพลาดอะไรไปรึเปล่า?

{QBF}_{k}

$\mbox{QBF}_k$

Σ_{k}^{P}

$\Sigma^P_k$

{QBF}_{k}

$\mbox{QBF}_k$

— Joe Fitzsimons

1

@ โจฉันไม่ได้คิดว่าความคิดนั้น มันอาจทำงานได้

— Peter Shor

2

โจบางทีคุณควรโพสต์มันเป็นคำตอบ

— Suresh Venkat

25

แม้แต่การให้ IP สำหรับ coNP โดยใช้เทคนิคปัจจุบันสิ่งหนึ่งที่ต้องทำให้ชัดเจนคือใช้การนับซึ่งหมายถึงพลังเต็มของ #P ผู้ที่อ่อนแอกว่าแม้แต่สำหรับ coNP ก็น่าสนใจมากฉันคิดว่า (โดยเฉพาะอย่างยิ่งน่าจะหมายถึงเทคนิคที่ไม่ใช่เชิงสัมพัทธภาพใหม่)

— โนม
แหล่งที่มา

@Peter: Noam ถูกต้อง ฉันอ้างอิงบรรทัดต่อไปนี้จากที่นี่ : ... การยึดฐานการชนกันของความแข็งบนตัวเรือนที่แย่ที่สุดของ NP ผ่านการลดกล่องดำหมายถึงระบบการพิสูจน์เชิงโต้ตอบสำหรับ co-NP กับผู้พิสูจน์ใน BPP ^ NP ... ทั้งหมดที่รู้จักกัน (แม้หลาย prover) ระบบหลักฐานร่วม NP ต้อง provers กับความซับซ้อน #P ...

— MS Dousti

ในกรณีนี้คำตอบของฉันเป็นเรื่องไร้สาระที่สุด ขอบคุณที่ชี้นำสิ่งนี้

— Joe Fitzsimons

ที่จริงแล้วสิ่งนี้น่าสนใจจริง ๆ เนื่องจากการพิสูจน์แบบโต้ตอบสำหรับกราฟที่ไม่ใช่ลัทธิมอร์ฟิซึ่มต้องการเพียงตัวพิสูจน์ที่มี oracle สำหรับปัญหานั้น มันให้ความรู้สึกเหมือนเป็นหลักฐานว่าทั้ง GI นั้นอ่อนแอมาก (เช่นใน P) หรือขอบเขตสำหรับการพิสูจน์เชิงโต้ตอบของระดับของลำดับชั้นพหุนามมีแนวโน้มที่จะหลวมมาก

— Joe Fitzsimons

1

ฉันคิดว่ามีผู้พิสูจน์หลายคนที่ไม่รู้จะช่วย ถูกต้องหรือไม่

— Peter Shor

1

@ โจการพิสูจน์กราฟที่ไม่ใช่มอร์ฟิซึ่มคือการพิสูจน์เหรียญสาธารณะรอบที่คงที่ดังนั้นจึงใส่ไว้ในคลาส AM (เชื่อกันอย่างกว้างขวางว่าเท่ากับ NP และด้วยเหตุนี้ GI และ GNI จึงเชื่อว่าเป็น

) นี่ต่ำกว่าการพิสูจน์รอบพหุนามที่เชื่อว่าจำเป็นสำหรับการพิสูจน์การเป็นสมาชิกในปัญหาที่สมบูรณ์ของ coNP

N P \cap c o N P

$NP \cap coNP$

— Boaz Barak

21

นี่เป็นปัญหาแบบเปิด (มหัศจรรย์) ที่เป็นที่รู้จักซึ่งฉันได้ทำงานมาเป็นครั้งคราวโดยไม่ประสบความสำเร็จ

Avi Wigderson และฉันพูดถึงปัญหาในบทความ algebrizationของเราซึ่งเราตั้งคำถามว่าการกักกันหรือไม่เช่น coNP ⊆ IP _NPสามารถพิสูจน์ได้ด้วยเทคนิค algebrizing (ที่นี่ IP _NPหมายถึง IP พร้อมกับตัวตรวจสอบ BPP และตัวแก้^{ปัญหา} BPP ^NP ) หาก (ในขณะที่ฉันคาดเดา) คำตอบคือไม่นั่นก็จะให้เหตุผลที่เป็นทางการว่าทำไมโปรโตคอลแบบโต้ตอบเช่นเดียวกับที่ Peter ร้องขอ เทคนิคที่ใช้ "เกินพื้นฐาน" ที่ใช้สำหรับ IP = PSPACE

คำถามที่คล้ายคลึงกันคือ BQP = IP _BQPหรือไม่โดยที่ IP _BQPหมายถึง IP ที่มีตัวตรวจสอบ BPP และตัวตรวจสอบ BQP (ควอนตัมเชิงพหุนามเวลา) คำถามนั้นยังเปิดอยู่ --- แม้ว่าการค้นพบล่าสุดของ Broadbent, Fitzsimons และ Kashefi แสดงให้เห็นว่าคำแถลงที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดนั้นเป็นจริง

— Scott Aaronson
แหล่งที่มา

20

ใช่คำถามว่า coNP มีการพิสูจน์แบบโต้ตอบหรือไม่โดยที่ prover นั้นอ่อนแอกว่า #P (เช่น polytime ที่มีการเข้าถึง NP oracle) เป็นคำถามเปิดที่รู้จักกันดี บทความล่าสุดของHaitner, Mahmoody และ Xiaoกล่าวถึงคำถามนี้และแสดงให้เห็นถึงผลกระทบบางอย่างจากการสันนิษฐานว่าสิ่งนี้ไม่สามารถทำได้

— โบอาราบารักค
แหล่งที่มา

11

ตั้งแต่ Suresh ได้แนะนำให้ฉันโพสต์ความคิดเห็นของฉันเป็นคำตอบฉันจะ อย่างไรก็ตามฉันไม่คิดว่านี่เป็นคำตอบแบบเต็มเนื่องจากฉันไม่ได้พยายามพิสูจน์สิ่งนี้และมันอาจกลายเป็นจุดจบ

$\mbox{QBF}_k$ $\Sigma^P_k$ $\mbox{QBF}_k$ $\Sigma^P_k$

— Joe Fitzsimons
แหล่งที่มา

ปัญหาเกิดขึ้นแล้วในการพิสูจน์สำหรับ coNP โปรโตคอล sumcheck มี n รอบ (หนึ่งสำหรับแต่ละตัวแปร) ในแต่ละรอบผู้พากย์จะต้องหาค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามที่ได้มาจากผลรวมจำนวนมหาศาล ฉันไม่ทราบวิธีการใช้พลังงานน้อยกว่า #P

— Boaz Barak

@Boaz: ใช่ฉันคิดว่าวิธีการนี้มีเป้าหมายที่จะล้มเหลว ฉันคิดว่าฉันเคยเห็นรุ่นของการคำนวณทางคณิตศาสตร์ทำที่ไหนสักแห่งในลักษณะที่พหุนามใช้ค่า 1 หรือ 0 สำหรับอินพุต 0s และ 1s หากเป็นกรณีนี้ดูเหมือนว่าคุณสามารถใช้ oracle สำหรับปัญหาการตัดสินใจที่สอดคล้องกันได้ จากนั้นอีกครั้งฉันก็อาจจะจินตนาการได้!

— Joe Fitzsimons